Вопросы к экзамену по курсу: «аналитическая геометрия и линейная алгебра»


Скачать 130.27 Kb.
НазваниеВопросы к экзамену по курсу: «аналитическая геометрия и линейная алгебра»
Дата публикации11.03.2013
Размер130.27 Kb.
ТипВопросы к экзамену
userdocs.ru > Астрономия > Вопросы к экзамену
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ:
«АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ и ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»

Составила проф. Л.А. Беклемишева

  1. Векторы и линейные операции с ними

    1. Дать определение направленного отрезка. Перечислить операции с направленными отрезками. Что называется множеством векторов? Что называется вектором?

    2. Какие векторы называются коллинеарными, сонаправленными, компланарными, равными, ортогональными? Что называется углом между векторами?

    3. Что называется суммой векторов, произведением вектора на число, линейной комбинацией векторов? Какая линейная комбинация векторов называется тривиальной, нетривиальной?

    4. Перечислить алгебраические свойства линейных операций над векторами.

    5. Какие векторы называются линейно зависимыми, линейно независимыми?

    6. Доказать, что если один вектор некоторого множества векторов есть линейная комбинация остальных, то векторы этого множества линейно зависимы.

    7. Доказать, что если векторы некоторого множества линейно зависимы, то один вектор этого множества есть линейная комбинация остальных.

    8. Доказать, что если в некотором множестве векторов содержится нулевой, то векторы этого множества линейно зависимы.

    9. Доказать, что если в некотором множестве векторов содержатся два одинаковых, то векторы этого множества линейно зависимы.

    10. Какова связь между линейной зависимостью систем векторов, их коллинеарностью и компланарностью?

    11. Что называется базисом на прямой, базисом на плоскости, базисом в пространстве ?

    12. Дать два определения базиса на плоскости, на прямой и в пространстве в терминах коллинеарности, компланарности, либо понятие линейной независимости.

    13. Сформулировать теорему о возможности разложения вектора по базису. Что называется координатами (компонентами) вектора?

    14. Как выполняются операции сравнения, сложения, умножения на число векторов в координатном представлении?

    15. Выразить признак коллинеарности векторов в терминах операций над векторами и через координаты векторов.

    16. Что называется декартовой (декартовой прямоугольной) системой координат на плоскости? Те же вопросы в пространстве.

    17. Что называется декартовыми координатами точки? Что называется радиус- вектором точки?

    18. Найти координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении, если известны координаты его концов.

    19. Выписать формулы пересчета координат вектора при замене базиса на плоскости и объяснить геометрический смысл входящих в них величин. Те же запросы для координат в пространстве.

    20. Выписать формулы пересчета координат точки при замене декартовой системы координат на плоскости и объяснить смысл входящих в них величин. Те же вопросы для координат в пространстве.

    21. Выписать формулы пересчета координат точки (вектора) при повороте прямоугольной системы координат (ортонормированного базиса) на плоскости на угол а.

    22. Выписать формулы пересчета координат точки при переносе системы координат (переносе начала координат без изменения базиса).

    23. Что называется матрицей перехода при замене системы координат?

    24. Показать, что определитель матрицы перехода отличен от нуля.

    25. Что называется ортогональной проекцией вектора на ось?

    26. Сформулировать правило ортогонального проектирования линейной комбинации векторов на ось.

  2. Произведения векторов

    1. Дать определение скалярного произведения.

    2. Как связаны скалярное произведение и ортогональная проекция одного сомножителя на другой?

    3. Перечислить алгебраические свойства скалярного произведения.

    4. Выразить длину вектора и угол между векторами через скалярное произведение.

    5. Записать неравенство Коши — Буняковского в терминах скалярного произведения и через координаты векторов.

    6. Выразить скалярное произведение, длину вектора, угол между векторами через координаты векторов (базис ортонормированный).

    7. Можно ли вычислить скалярное произведение векторов по их координатам, если базис не ортонормированный? Что для этого еще нужно знать?

    8. Выразить условие ортогональности векторов через их скалярное произведение, через координаты векторов (базис ортонормированный).

    9. Какая тройка векторов называется правой, левой?

    10. Дать определение векторного произведения.

    11. Перечислить алгебраические свойства векторного произведения.

    12. Как выражается площадь параллелограмма, построенного на паре векторов, через их векторное произведение?

    13. Можно ли вычислить векторное произведение векторов по их координатам, если базис не ортонормированный?

    14. Что называется взаимным базисом?

    15. Показать, что тройка попарных различных произведений базисных векторов в пространстве образует базис.

    16. Выразить векторное произведение, площадь параллелограмма, треугольника (на плоскости и в пространстве) через координаты векторов (базис ортонормированный).

    17. Выразить условие коллинеарности векторов через их векторное произведение и через их координаты, используя векторное произведение.

    18. Дать определение смешанного произведения.

    19. Перечислить алгебраические свойства смешанного произведения.

    20. Выразить объем параллелепипеда, построенного на трех векторах, через их смешанное произведение.

    21. Выразить условие компланарности векторов через их координаты.

    22. Выразить смешанное произведение, объем параллелепипеда через координаты векторов в произвольном и в ортонормированном базисе.

    23. Сформулировать признак правой (левой) тройки векторов через их смешанное произведение и через их координаты (базис произвольный).

    24. Записать формулу для двойного векторного произведения.

  3. Прямая и плоскость

    1. Выпишите уравнения прямой на плоскости, заданной точкой и направляющим вектором, или парой точек, в векторной и координатной форме.

    2. Выпишите уравнения прямой на плоскости, заданной точкой и нормальным вектором, в векторной и координатной форме.

    3. Выпишите каноническое уравнение прямой на плоскости, уравнение прямой на плоскости в отрезках, общее линейное уравнение прямой на плоскости.

    4. Сформулируйте основные теоремы об уравнении прямой на плоскости.

    5. Сформулируйте признак параллельности двух прямых на плоскости (в векторной и координатной формах).

    6. Сформулируйте признак перпендикулярности двух прямых на плоскости (в векторной и координатной формах).

    7. Как найти угол между двумя прямыми на плоскости?

    8. Как связаны угловой коэффициент прямой и её направляющий вектор?

    9. Как найти расстояние от точки до прямой на плоскости (в векторной и координатной форме)?

    10. Дайте определение пучка прямых на плоскости и напишите соответствующие уравнения.

    11. Выпишите условия для координат точек, принадлежащих полуплоскости.

    12. Выпишите уравнение плоскости, заданной точкой и парой направляющих векторов, или точкой и нормальным вектором, или тремя точками — в векторной и координатной форме.

    13. Как перейти от уравнения плоскости, заданной точкой и парой направляющих векторов, к уравнению плоскости, заданной точкой и нормальным вектором? Как можно выполнить обратный переход?

    14. Сформулируйте основные теоремы об уравнении плоскости.

    15. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей (в векторной и координатной формах).

    16. Сформулируйте признак перпендикулярности двух плоскостей (в векторной и координатной формах).

    17. Как найти угол между двумя плоскостями по их уравнениям (в векторной и координатной формах)?

    18. Выпишите уравнения прямой в пространстве, заданной точкой и направляющим вектором, или парой точек, в векторной и координатной форме.

    19. Какие уравнения прямой в пространстве называются каноническими?

    20. Как перейти от уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей, к уравнению прямой, заданной точкой и направляющим вектором (в векторной и координатной формах)? Как совершить обратный переход?

    21. Сформулируйте признаки параллельности, перпендикулярности прямых в пространстве (в векторной и координатной формах). Как найти угол между прямыми в пространстве?

    22. Как найти расстояние от точки до плоскости, от точки до прямой в пространстве (в векторной и координатной формах)?

    23. Как найти расстояние между двумя плоскостями, между прямой и плоскостью, между двумя прямыми (в векторной и координатной формах)?

    24. Как найти расстояние от точки до прямой на плоскости, в пространстве, от точки до плоскости (в векторной и координатной формах)?

    25. Дайте определение пучка плоскостей, связки плоскостей и напишите соответствующие уравнения.

    26. Выпишите условия для координат точек, принадлежащих полуплоскости и полупространства.

  4. Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве

    1. Что называется параметрическим уравнением линии на плоскости, в пространстве?

    2. Что называется параметрическим уравнением поверхности в пространстве?

    3. Записать параметрические уравнения прямой, окружности на плоскости и в пространстве, сферы в пространстве, винтовой линии в пространстве.

    4. Что называется алгебраической линией порядка п на плоскости? Алгебраической поверхностью порядка п в пространстве?

    5. Получить алгебраическое уравнение прямой, окружности на плоскости и в пространстве, сферы в пространстве, винтовой линии в пространстве. Указать их порядок.

    6. Может ли одно и то же множество точек на плоскости в одной и той же системе координат быть задано при помощи нескольких различных уравнений различных степеней? Аналогичный вопрос для случая пространства.

    7. Сформулировать теорему об инвариантности степени алгебраического уравнения при замене декартовой системы координат.

    8. В уравнение какого множества точек может перейти уравнение Ах+By+Сz+D=0 при замене декартовой системы координат?

    9. Что называется цилиндрической поверхностью?

    10. Что называется конической поверхностью?

    11. Выписать параметрические уравнения цилиндрической поверхности, конической поверхности.

    12. Выписать алгебраические уравнения прямой круговой цилиндрической поверхности, прямой круговой конической поверхности. Указать их порядок.

    13. Дать определение линии второго порядка на плоскости.

    14. Сформулировать теорему о классификации линий второго порядка на плоскости.

    15. Что называется эллипсом? Гиперболой? Параболой?

    16. Дать определение центра симметрии, оси симметрии множества точек.

    17. Имеет ли эллипс центры и оси симметрии и сколько? Тот же вопрос для гиперболы и параболы.

    18. Существуют ли линии второго порядка с несколькими центрами симметрии?

    19. Доказать, что эллипс, гипербола имеют единственный центр симметрии, а парабола не имеет центра симметрии.

    20. Какие особенности имеет уравнение второй степени, если оно выражает собой окружность?

    21. Дать определение фокусов, директрис, полуосей, эксцентриситета и фокального параметра для эллипса, гиперболы, параболы.

    22. Какие значения может принимать эксцентриситет эллипса, гиперболы или параболы?

    23. Сформулировать локальное свойство эллипса, гиперболы, параболы.

    24. Сформулировать оптическое свойство эллипса, гиперболы, параболы.

    25. Написать уравнения и нарисовать семейства софокусных эллипсов, гипербол, парабол.

    26. Написать уравнение пары асимптот гиперболы, заданной каноническим уравнением.

    27. Доказать, что парабола не имеет асимптот.

    28. Сколько общих точек может иметь прямая с линией второго порядка? Рассмотреть все возможные случаи.

    29. Написать уравнение касательной к эллипсу, гиперболе, параболе, если они заданы каноническими уравнениями.

    30. Может ли прямая иметь с гиперболой одну общую точку, не будучи ее касательной? Тот же вопрос для эллипса, параболы.

    31. Может ли касательная к одной ветви гиперболы пересекать ее другую ветвь?

    32. Дать определение алгебраической поверхности второго порядка.

    33. Может ли алгебраическая поверхность второго порядка представлять собой прямую? Плоскость? Приводите примеры.

    34. Какое множество называется поверхностью вращения?

    35. Сформулировать теорему о классификации поверхностей второго порядка.

    36. Какой вид может иметь множество общих точек плоскости и поверхности второго порядка? Рассмотрите все возможные случаи.

    37. Что называется прямолинейной образующей поверхности?

    38. Какие поверхности второго порядка имеют прямолинейные образующие?

    39. Сколько прямолинейных образующих может проходить через одну точку поверхности второго порядка? Приведите примеры. Рассмотрите конус, плоскость, цилиндр, эллипсоид и т.д.

    40. Напишите уравнения семейств прямолинейных образующих конуса, однополостного гиперболоида, гиперболического параболоида.

    41. Может ли через одну точку поверхности второго порядка проходить более двух прямолинейных образующих? Одна прямолинейная образующая?

    42. Верно ли утверждение, что поверхность, получающаяся при вращении линии второго порядка вокруг одной из координатных осей, всегда может быть задана алгебраическим уравнением второго порядка?

  5. Преобразования плоскости

    1. Что называется матрицей размера mxn? Какая матрица называется квадратной матрицей порядка n? Что называется транспонированием матрицы?

    2. Какие Вы знаете алгебраические операция с матрицами? Какими свойствами обладают эти операции? Какие из алгебраических операций с матрицами обладают свойством коммутативности?

    3. Какая матрица называется единичной? Какая матрица называется нулевой? Какая матрица называется обратной?

    4. Показать, что строки единичной матрицы линейно независимы.

    5. Показать, что любая строка из n чисел есть линейная комбинация строк единичной матрицы порядка n. Верно ли аналогичное утверждение для столбцов?

    6. Сформулировать правило транспонирования произведения матриц.

    7. Сформулировать правило обращения произведения матриц.

    8. Дать определения следующих понятий: оператор, функционал, отображение, преобразование, взаимнооднозначное отображение, тождественное преобразование, линейное преобразование плоскости, невырожденное линейное преобразование плоскости.

    9. Привести примеры невырожденных и вырожденных линейных преобразований векторной плоскости.

    10. Доказать, что линейное преобразование плоскости вырождено тогда и только тогда, когда образ некоторого ненулевого вектора есть нулевой вектор.

    11. Доказать, что при невырожденном линейном преобразовании плоскости линейно независимые векторы переходят в линейно независимые.

    12. Дать определение аффинного преобразования плоскости.

    13. Доказать, что аффинное преобразование взаимно однозначно.

    14. Пояснить геометрический смысл величин, входящих в формулу аффинного преобразования.

    15. Какие свойства аффинных преобразований Вы знаете?

    16. Что называется определителем аффинного преобразования? Докажите, что определитель аффинного преобразования не зависит от выбора системы координат.

    17. Привести примеры аффинных преобразований.

    18. Что называется движением (перемещением, ортогональным преобразованием)?

    19. Что называется произведением преобразований, обратным преобразованием? При каких условиях преобразование имеет обратное?

    20. Доказать ассоциативность операции умножения преобразований.

    21. Привести пример двух не коммутирующих между собой преобразований.

    22. Сформулировать теорему о разложении произвольного аффинного преобразования в произведение ортогонального преобразования и сжатия к двум взаимно перпендикулярным прямым.

    23. Единственным ли способом определены сомножители в разложении произвольного аффинного преобразования в произведение ортогонального преобразования и сжатия к двум взаимно перпендикулярным прямым?

    24. Показать, что при аффинном преобразовании эллипс не может перейти в параболу.

    25. Показать, что при аффинном преобразовании гипербола не может перейти в параболу.

    26. Показать, что при аффинном преобразовании гипербола не может перейти в прямую.

    27. Показать, что при аффинном преобразовании гипербола не может перейти в пару прямых.

    28. Записать формулу аффинного преобразования плоскости для оператора:
              ортогонального проектирования на прямую x + y = 1;
              отражения симметрично прямой x + y = 1;
              сжатия к прямой x + y = 1 с коэффициентом 5;
              гомотетии с центром в точке (5 ; -1) с коэффициентом -2.

  6. Системы линейных уравнений

    1. Что называется перестановкой из чисел 1,...,n?

    2. Что называется числом беспорядков (нарушений порядка) в перестановке?

    3. Что называется определителем квадратной матрицы?

    4. Перечислите основные свойства определителей.

    5. При каких условиях на матрицу ее определитель равен нулю?

    6. Сформулируйте теорему о разложении определителя по строке.

    7. Что называется минором элемента матрицы? Его алгебраическим дополнением?

    8. Запишите систему из n линейных уравнений с m неизвестными в развернутой и в краткой форме.

    9. Что называется решением системы линейных уравнений?

    10. Сформулируйте теорему о существовании и единственности решения системы из n линейных уравнений с m неизвестными (правило Крамера).

    11. Докажите, что системы линейных уравнений, матрица которой имеет линейно независимые столбцы имеет не более одного решения.

    12. Докажите, что для того, чтобы система двух линейных уравнений с двумя неизвестными не имела решений, необходимо, чтобы определитель ее матрицы был равен нулю. Является ли это условие достаточным?

    13. Докажите, что для того, чтобы система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имела больше, чем одно решение, необходимо, чтобы определитель ее матрицы был равен нулю. Является ли это условие достаточным? Является ли это условие достаточным для однородной системы двух линейных уравнений?

    14. Что называется рангом матрицы mxn? Какие значения может иметь ранг матрицы mxn?

    15. Что называется базисным минором матрицы mxn?

    16. Какие столбцы (строки) матрицы mxn называются базисными?

    17. Сформулируйте теорему о базисном миноре.

    18. Сформулируйте теорему о равенстве нулю определителя квадратной матрицы.

    19. Сформулируйте теорему о ранге матрицы.

Похожие:

Вопросы к экзамену по курсу: «аналитическая геометрия и линейная алгебра» iconЛинейная алгебра и аналитическая геометрия
Решением системы называется набор значений переменных (с1, …, сn), при подстановке которых в систему все уравнения обращаются в верные...
Вопросы к экзамену по курсу: «аналитическая геометрия и линейная алгебра» iconКафедра математических методов в экономике Линейная алгебра
...
Вопросы к экзамену по курсу: «аналитическая геометрия и линейная алгебра» iconЭкзаменационные вопросы по курсу “геометрия и алгебра” для студентов специальности “информатика”
Система координат на плоскости: прямоугольная декартова, полярная. Формула расстояния между двумя точками
Вопросы к экзамену по курсу: «аналитическая геометрия и линейная алгебра» iconЛинейная алгебра. Вопросы к экзамену
Минор. Алгебраическое дополнение. Способы вычисления определителей. Разложение определителя по элементам строки или столбца
Вопросы к экзамену по курсу: «аналитическая геометрия и линейная алгебра» iconИстория Алгебра Физика Среда: Физкультура Химия Геометрия География Алгебра Биология

Вопросы к экзамену по курсу: «аналитическая геометрия и линейная алгебра» iconВопросы к экзамену по дисциплине «Линейная алгебра»
Профиль подготовки Мировая экономика. Финансы и кредит. Бухгалтерский учет, анализ и аудит. Налоги и налогообложение. Экономика предприятий...
Вопросы к экзамену по курсу: «аналитическая геометрия и линейная алгебра» iconМетодические указания по выполнению контрольной работы в соответствии...
Линейная алгебра. Учебно-методическое пособие для студентов первого курса бакалавриата, обучающихся по направлениям 080100. 62 «Экономика»...
Вопросы к экзамену по курсу: «аналитическая геометрия и линейная алгебра» iconГеометрия это раздел математики. С одной стороны, понимают 2 под...
С другой стороны, понятие Геометрия охватывает ряд больших разделов математики, отношение которой сильно узнаваемо только более к...
Вопросы к экзамену по курсу: «аналитическая геометрия и линейная алгебра» icon«Линейная и векторная алгебра»
Разложить вектор по базису, где. Координаты векторов заданы в базисе
Вопросы к экзамену по курсу: «аналитическая геометрия и линейная алгебра» iconЛинейная алгебра, часть 1
Определители 3 порядка и их вычисление разложением по элементам строки или столбца
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница