Исследовательская работа Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат Автор: Комарова О. Ф. Чувашская республика г. Чебоксары моу «Гимназия №1»


Скачать 89.06 Kb.
НазваниеИсследовательская работа Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат Автор: Комарова О. Ф. Чувашская республика г. Чебоксары моу «Гимназия №1»
Дата публикации05.05.2013
Размер89.06 Kb.
ТипИсследовательская работа
userdocs.ru > Астрономия > Исследовательская работа



Исследовательская работа

Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат



Автор: Комарова О.Ф.

Чувашская республика

г. Чебоксары

МОУ «Гимназия №1»

11 класс

Научный руководитель:

Сафиуллина Л.В.

Преподаватель математики

МОУ «Гимназия№1»
Чебоксары 2003


Введение

В этой работе выведены теоремы и формулы с помощью которых можно исследовать функции в полярной системе координат. Целью этой работы является разработка исследований функций и построение их графиков в полярной системе координат.

Обычно функции исследуются в декартовой системе координат, а графики функций, заданных в полярной системе координат, строят по точкам, не приводя полного исследования, подобное тому которое проводится в декартовой системе координат. Но построение графика по точкам не является математически строгим, так как например оно не позволяет определить интервалы возрастания и убывания функции, ее выпуклость и вогнутость или найти асимптоты.

При выводе формул и при их доказательстве мы использовали методы дифференциального исчисления функций. Работа состоит из 4 параграфов: 1. Условия убывания и возрастания функции. Точки максимума и минимума. 2. Выпуклость и вогнутость функций. Точки перегиба. 3. Асимптоты графика функции . 4. Пример, в котором применены полученные нами формулы и теоремы.

Данная работа актуальна, так как свойства функций в полярной системе координат используются для решения задач повышенной сложности.

При написании работы мы использовали справочник Корна, в котором в сжатой форме даются некоторые примеры, определения и свойства заданные в полярной системе координат
^

§1 Условия убывания и возрастания функции .

Точки максимума и минимума


Определение 1.1

Функцияназывается возрастающей на (a;b) если для всех и , то .

Определение 1.2

Функция называется убывающей на (a;b) если для всех и , то .

Определение 1.3

Функция называется убывающей в точке , если для всех достаточно близком , и если для всех достаточно близком ; .

Определение 1.4

Функция называется возрастающей в точке . Если для всех достаточно близком и для всех достаточно близком .

Теорема 1.1

Функция убывает на (a;b) тогда и только тогда , когда убывает для всех точек (a;b).

Теорема 1.2

Функция возрастает на (a;b) тогда и только тогда , когда возрастает для всех точек (a;b).

Теорема 1.3

Функция убывает в точке тогда и только тогда , когда график функции входит в круг, ограниченный окружностью при переходе через .

Теорема 1.4

Функция возрастает в точке тогда и только тогда, когда график функции выходит из круга, ограниченного окружностью при переходе через .

Теоремы 1.1-1.4 не доказаны, так как их доказательство очевидно.

Исходя из геометрического смысла убывания и возрастания функции с помощью

теоремы 1.3 и теоремы 1.4 можно установить возрастание и убывание функции в терминах производной.

Пусть М точка пересечения графика функции .

МN-касательная к графику в точке М .



Теорема 1.5

Функция убывает в точке тогда и только тогда , когда угол между прямыми ОМ и MN – тупой , то есть (1.5)

Теорема 1.6

Функция убывает в точке тогда и только тогда, когда имеет место неравенство (1.7) , где k1, k2 определяется по формуле (1.6).

Доказательство

k1- угловой коэффициент прямой ОМ, то есть k1= tg

k2- угловой коэффициент прямой MN, то есть k2= (1.6) По формуле угла между двумя прямыми : tg (1.7)

Теорема доказана.

Теорема 1.7

Функция возрастает в точке тогда и только тогда, когда угол между прямыми

OM и MN острый, то есть (1.8)

Теорема 1.8

Функция возрастает в точке тогда и только тогда, когда имеет место неравенство tg (1.9)
Пример 1.1

Доказать, что функция - возрастающая .

Доказательство.

1. По формуле (1.6), имеем: k1=tg k2==

2. По формуле (1.9), имеем: , то есть >0

3. Отсюда по теореме 1.8 функция - возрастающая

Пример доказан.

Пример 1.2

Доказать, что функция - убывающая.

Доказательство.

1. По формуле (1.6), имеем: k1=tg

k2==

2.По формуле (1.7), имеем:

, то есть -1<0.

3. Отсюда, по теореме (1.5) функция - убывающая

Пример доказан.

Пример 1.3

Дана функция , где . Определите возрастающей или убывающей является функция .

Решение:

  1. По формуле (1.6) найдем k1 и k2:




  1. Имеем:

  2. Получили при tg>0, 0функция возрастающая ;приtg,функция убывающая.

4. - точка максимума ; - точка максимума.

5.Функция в декартовой системе координат имеет вид:

Ответ: 1. при - функция возрастает; 2.при - функция убывает.

С помощью теоремы (1.6) и (1.8) можно доказывать сложные тригонометрические неравенства.

1. Возьмем . Очевидно эта функция возрастает при всех . Поэтому для нее

выполняется неравенство .



Запишем неравенство:

Теорема 1.9

При всех допустимых значениях справедливо неравенство :

(1.10)

2.Функция - убывающая .



Запишем неравенство:

Теорема 1.10

При всех допустимых значениях справедливо неравенство:

(1.11)

3. Возьмем функцию ,очевидно, возрастающую при всех . Поэтому для нее выполняется неравенство : . k1=tg k2= Запишем неравенство:

Теорема1.11

При всех допустимых значениях справедливо неравенство:

(1.12)

4.Возьмем функцию ,очевидно, убывающую при всех . Поэтому для нее выполняется неравенство: tg.

Запишем неравенство:

Теорема 1.12

При всех допустимых значениях справедливо неравенство:

(1.13)

5.Возьмем функцию , функция возрастает на. Поэтому выполняется неравенство .

Запишем неравенство:

Теорема 1.13

При всех допустимых значениях справедливо неравенство:

(1.14)

6.Возьмем функцию , функция убывает на . Поэтому выполняется неравенство: tg



Запишем неравенство: .

Теорема 1.14

При всех допустимых значениях справедливо неравенство:

. (1.15)
^

§2 Выпуклость и вогнутость функции.
Точки перегиба


Определение 2.1 Пусть дана функция . Рассмотрим ее график на отрезке .

Функция называется выпуклой на , если для любого , то

Определение 2.2



Функция называется вогнутой на , если для любого , то

Но эти определения не удобны для исследования функции на выпуклость и вогнутость. Поэтому, мы даем следующее определения.

Определение 2.1

Функцияназывается выпуклой, если является выпуклой параметрическая функция , заданная в декартовой системе координат.

Определение 2.2

Функция называется вогнутой, если является вогнутой параметрическая функция , заданная в декартовой системе координат.

Теорема 2.1

Если вторая производная на интервале , то функция - является выпуклой на этом же интервале.

Теорема 2.2

Если вторая производная на интервале , то функция - является вогнутой на этом же интервале.

Пример 2.1

Рассмотрим функцию - окружность радиусом R.



1.

2.

3. Исследуем знак, где .

- критические точки.

  1. выпуклая вогнутая

Ответ: 1. при функция выпуклая;

2. при функция вогнутая.

§3 Асимптоты графика функции

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: y=kx+b, где , где - значение угла , для которого

при или при



Теорема 3.1

Уравнение наклонной асимптоты для функции имеет вид: y=kx+b, где , .

Пример 3.1

Функция y= имеет две асимптоты y=x и y=0.

В полярной системе координат это уравнение имеет вид:



k= b=

В полярной системе координат уравнение наклонной асимптоты функции y= имеет вид: y=kx+b, где k= и b=

§4 Пример

Исследовать функцию в полярной системе координат. (Определить возрастание и убывание, найти наклонную асимптоту функции.)

Решение.1. Определим возрастание и убывание функции. По формуле (1.6), имеем: и


Найдем О.Д.З. функции:





О.Д.З. О.Д.З.



Функция возрастает при

убывает при

  1. Найдем наклонную асимптоту.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: y=kx+b, где

,

Ответ: функция возрастает при

убывает при . Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: y=kx+b, где , ..

Заключение


Мы поставили своей целью научиться определять возрастание и убывание функции, точки максимума и минимума, интервалы выпуклости и вогнутости, находить асимптоты и в конечном итоге научились строить графики функций в полярной системе координат. В этой работе выведены формулы и теоремы, которые помогают исследовать функции в полярной системе координат, а также выведено уравнение наклонной асимптоты графика функции , кроме того с помощью наших теорем можно вывести сложные неравенства, связанные с тригонометрией.

В дальнейшем нам бы хотелось предоставить больше примеров, в которых находят применение формулы, выведенные в этой работе.

Литература


1. Н.Я.Виленкин и др. Алгебра и математический анализ. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.-М.: Просвещение, 1995.-334 с.

2. А.Н.Колмогоров. Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 9-10 классов средней школы.-М.: Просвещение, 1986.-334 с.

3. Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров.-М.: Наука, 1984.-831 с.



Похожие:

Исследовательская работа Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат Автор: Комарова О. Ф. Чувашская республика г. Чебоксары моу «Гимназия №1» iconОкружность радиуса с центром в начале координат
Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости в декартовой системе координат называется уравнение, где функция двух переменных...
Исследовательская работа Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат Автор: Комарова О. Ф. Чувашская республика г. Чебоксары моу «Гимназия №1» iconРуководителю предприятия; службе снабжения Коммерческое предложение. Ооо «Титан»
Адрес: 428018, Чувашская Республика, г. Чебоксары, ул. Афанасьева, д. 8, офис 303
Исследовательская работа Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат Автор: Комарова О. Ф. Чувашская республика г. Чебоксары моу «Гимназия №1» iconИнструкция «Построение графиков тригонометрических функций». Критерии оценки
Параллельно перенести вдоль оси абсцисс (Ох) в отрицательном направлении на единиц. (= 6 клеток, = 2 клетки)
Исследовательская работа Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат Автор: Комарова О. Ф. Чувашская республика г. Чебоксары моу «Гимназия №1» iconИсследовательская работа по экономике «Музей в экономической системе»
Гмз «Петергоф». В ходе близкого знакомства с данными культурными учреждениями, стали возникать некоторые вопросы экономической направленности,...
Исследовательская работа Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат Автор: Комарова О. Ф. Чувашская республика г. Чебоксары моу «Гимназия №1» iconКонтрольная работа №2 по курсу «Алгоритмические языки и программирование»...
Цель работы. Встроенные функции в Microsoft Excel. Построение графиков и диаграмм
Исследовательская работа Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат Автор: Комарова О. Ф. Чувашская республика г. Чебоксары моу «Гимназия №1» icon1 Построение чертежа по методу Монжа. Четверти и октанты пространства...
Эти оси пересекаются в точке о- точке начала координат. Оси проекций принимают за оси координат – натуральной системой прямоугольных...
Исследовательская работа Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат Автор: Комарова О. Ф. Чувашская республика г. Чебоксары моу «Гимназия №1» iconИсследование систем линейных уравнений. Базисное решение
...
Исследовательская работа Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат Автор: Комарова О. Ф. Чувашская республика г. Чебоксары моу «Гимназия №1» iconЛабораторная работа №1. Перегрузка функций. Шаблоны функций
Цель работы – изучить определение и варианты использования перегрузки функций и шаблонов функций в языке С++
Исследовательская работа Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат Автор: Комарова О. Ф. Чувашская республика г. Чебоксары моу «Гимназия №1» iconАзербайджанская Республика, Республика Армения, Республика Беларусь,...
Азербайджанская Республика, Республика Армения, Республика Беларусь, Республика Казахстан, Республика Кыргызстан, Республика Молдова,...
Исследовательская работа Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат Автор: Комарова О. Ф. Чувашская республика г. Чебоксары моу «Гимназия №1» iconУчреждение информационно-методический центр системы образования ейского района
Доводим до Вашего сведения, что на базе моу гимназия№14 г. Ейска 19. 01. 2013г в 13-00 для выпускников 11-х классов будет проводиться...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
userdocs.ru
Главная страница