Исследовательская работа Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат Автор: Комарова О. Ф. Чувашская республика г. Чебоксары моу «Гимназия №1»

Скачать 89.06 Kb.

Название	Исследовательская работа Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат Автор: Комарова О. Ф. Чувашская республика г. Чебоксары моу «Гимназия №1»
Дата публикации	05.05.2013
Размер	89.06 Kb.
Тип	Исследовательская работа

userdocs.ru > Астрономия > Исследовательская работа

Содержание

§1 Условия убывания и возрастания функции . Точки максимума и минимума
§2 Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба

Исследовательская работа

Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат

Автор: Комарова О.Ф.

Чувашская республика

г. Чебоксары

МОУ «Гимназия №1»

11 класс

Научный руководитель:

Сафиуллина Л.В.

Преподаватель математики

МОУ «Гимназия№1»
Чебоксары 2003

Введение

В этой работе выведены теоремы и формулы с помощью которых можно исследовать функции в полярной системе координат. Целью этой работы является разработка исследований функций и построение их графиков в полярной системе координат.

Обычно функции исследуются в декартовой системе координат, а графики функций, заданных в полярной системе координат, строят по точкам, не приводя полного исследования, подобное тому которое проводится в декартовой системе координат. Но построение графика по точкам не является математически строгим, так как например оно не позволяет определить интервалы возрастания и убывания функции, ее выпуклость и вогнутость или найти асимптоты.

При выводе формул и при их доказательстве мы использовали методы дифференциального исчисления функций. Работа состоит из 4 параграфов: 1. Условия убывания и возрастания функции. Точки максимума и минимума. 2. Выпуклость и вогнутость функций. Точки перегиба. 3. Асимптоты графика функции

. 4. Пример, в котором применены полученные нами формулы и теоремы.

Данная работа актуальна, так как свойства функций в полярной системе координат используются для решения задач повышенной сложности.

При написании работы мы использовали справочник Корна, в котором в сжатой форме даются некоторые примеры, определения и свойства заданные в полярной системе координат
^

§1 Условия убывания и возрастания функции .

Точки максимума и минимума

Определение 1.1

Функция

называется возрастающей на (a;b)

если для всех

, то

.

Определение 1.2

Функция

называется убывающей на (a;b)

если для всех

, то

.

Определение 1.3

Функция

называется убывающей в точке

, если для всех

достаточно близком

и если для всех

достаточно близком

;

.

Определение 1.4

Функция

называетсявозрастающей в точке

. Если для всех

достаточно близком

и для всех

достаточно близком _.

Теорема 1.1

Функция

убывает на (a;b) тогда и только тогда , когда

убывает для всех точек

(a;b).

Теорема 1.2

Функция

возрастает на (a;b) тогда и только тогда , когда

возрастает для всех точек

(a;b).

Теорема 1.3

Функция

убывает в точке

тогда и только тогда , когда график функции

входит в круг, ограниченный окружностью

при переходе

через

.

Теорема 1.4

Функция

возрастает в точке

тогда и только тогда, когда график функции

выходит из круга, ограниченного окружностью

при переходе

через

.

Теоремы 1.1-1.4 не доказаны, так как их доказательство очевидно.

Исходя из геометрического смысла убывания и возрастания функции с помощью

теоремы 1.3 и теоремы 1.4 можно установить возрастание и убывание функции в терминах производной.

Пусть М точка пересечения графика функции

.

МN-касательная к графику

в точке М .

Теорема 1.5

Функция

убывает в точке

тогда и только тогда , когда угол между прямыми ОМ и MN – тупой , то есть

(1.5)

Теорема 1.6

Функция

убывает в точке

тогда и только тогда, когда имеет место неравенство (1.7) , где k₁, k₂ определяется по формуле (1.6).

Доказательство

k₁- угловой коэффициент прямой ОМ, то есть k₁= tg

k₂- угловой коэффициент прямой MN, то есть k₂=

(1.6) По формуле угла между двумя прямыми : tg

(1.7)

Теорема доказана.

Теорема 1.7

Функция

возрастает в точке

тогда и только тогда, когда угол между прямыми

OM и MN острый, то есть

(1.8)

Теорема 1.8

Функция

возрастает в точке

тогда и только тогда, когда имеет место неравенство

(1.9)
Пример 1.1

Доказать, что функция

- возрастающая .

Доказательство.

1. По формуле (1.6), имеем: k₁=tg

k₂=

2. По формуле (1.9), имеем:

, то есть

>0

3. Отсюда по теореме 1.8 функция

- возрастающая

Пример доказан.

Пример 1.2

Доказать, что функция

- убывающая.

Доказательство.

1. По формуле (1.6), имеем: k₁=tg

k₂₌

2.По формуле (1.7), имеем:

, то есть -1<0.

3. Отсюда, по теореме (1.5) функция

- убывающая

Пример доказан.

Пример 1.3

Дана функция

, где

. Определите возрастающей или убывающей является функция

.

Решение:

По формуле (1.6) найдем k₁и k₂:

Имеем:
Получили при tg>0, 0функция возрастающая ;приtg,функция убывающая.

- точка максимума ;

- точка максимума.

5.Функция

в декартовой системе координат имеет вид:

Ответ: 1. при

- функция возрастает; 2.при

- функция убывает.

С помощью теоремы (1.6) и (1.8) можно доказывать сложные тригонометрические неравенства.

1. Возьмем

. Очевидно эта функция возрастает при всех

. Поэтому для нее

выполняется неравенство

Запишем неравенство:

Теорема 1.9

При всех допустимых значениях

справедливо неравенство :

(1.10)

2.Функция

- убывающая .

Запишем неравенство:

Теорема 1.10

При всех допустимых значениях

справедливо неравенство:

(1.11)

3. Возьмем функцию

,очевидно, возрастающую при всех

. Поэтому для нее выполняется неравенство :

. k₁=tg

k₂=

Запишем неравенство:

Теорема1.11

При всех допустимых значениях

справедливо неравенство:

(1.12)

4.Возьмем функцию

,очевидно, убывающую при всех

. Поэтому для нее выполняется неравенство: tg

Запишем неравенство:

Теорема 1.12

При всех допустимых значениях

справедливо неравенство:

(1.13)

5.Возьмем функцию

, функция возрастает на

. Поэтому выполняется неравенство

Запишем неравенство:

Теорема 1.13

При всех допустимых значениях

справедливо неравенство:

(1.14)

6.Возьмем функцию

, функция убывает на

. Поэтому выполняется неравенство: tg

Запишем неравенство:

.

Теорема 1.14

При всех допустимых значениях

справедливо неравенство:

. (1.15)
^

§2 Выпуклость и вогнутость функции.
Точки перегиба

Определение 2.1 Пусть дана функция

. Рассмотрим ее график на отрезке

Функция

называется выпуклой на

, если для любого

, то

Определение 2.2

Функция

называется вогнутой на

, если для любого

, то

Но эти определения не удобны для исследования функции на выпуклость и вогнутость. Поэтому, мы даем следующее определения.

Определение 2.1

Ф

ункция

называется выпуклой, если является выпуклой параметрическая функция

, заданная в декартовой системе координат.

Определение 2.2

Ф

ункция

называется вогнутой, если является вогнутой параметрическая функция

, заданная в декартовой системе координат.

Теорема 2.1

Если вторая производная

на интервале

, то функция

- является выпуклой на этом же интервале.

Теорема 2.2

Если вторая производная

на интервале

, то функция

- является вогнутой на этом же интервале.

Пример 2.1

Рассмотрим функцию

- окружность радиусом R.

3. Исследуем знак, где

- критические точки.

выпуклая вогнутая

Ответ: 1. при

функция

выпуклая;

2. при

функция

вогнутая.

§3 Асимптоты графика функции

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: y=kx+b, где

, где

- значение угла

, для которого

при

или

при

Теорема 3.1

Уравнение наклонной асимптоты для функции

имеет вид: y=kx+b, где

.

Пример 3.1

Функция y=

имеет две асимптоты y=x и y=0.

В полярной системе координат это уравнение имеет вид:

В полярной системе координат уравнение наклонной асимптоты функции y=

имеет вид: y=kx+b, где k=

и b=

§4 Пример

Исследовать функцию

в полярной системе координат. (Определить возрастание и убывание, найти наклонную асимптоту функции.)

Решение.1. Определим возрастание и убывание функции. По формуле (1.6), имеем:

Найдем О.Д.З. функции:

О.Д.З.

Функция

возрастает при

убывает при

Найдем наклонную асимптоту.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: y=kx+b, где

Ответ: функция

возрастает при

убывает при

. Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: y=kx+b, где

Заключение

Мы поставили своей целью научиться определять возрастание и убывание функции, точки максимума и минимума, интервалы выпуклости и вогнутости, находить асимптоты и в конечном итоге научились строить графики функций в полярной системе координат. В этой работе выведены формулы и теоремы, которые помогают исследовать функции в полярной системе координат, а также выведено уравнение наклонной асимптоты графика функции

, кроме того с помощью наших теорем можно вывести сложные неравенства, связанные с тригонометрией.

В дальнейшем нам бы хотелось предоставить больше примеров, в которых находят применение формулы, выведенные в этой работе.

Литература

1. Н.Я.Виленкин и др. Алгебра и математический анализ. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.-М.: Просвещение, 1995.-334 с.

2. А.Н.Колмогоров. Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 9-10 классов средней школы.-М.: Просвещение, 1986.-334 с.

3. Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров.-М.: Наука, 1984.-831 с.

	Окружность радиуса с центром в начале координат Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости в декартовой системе координат называется уравнение, где функция двух переменных...		Руководителю предприятия; службе снабжения Коммерческое предложение. Ооо «Титан» Адрес: 428018, Чувашская Республика, г. Чебоксары, ул. Афанасьева, д. 8, офис 303
	Инструкция «Построение графиков тригонометрических функций». Критерии оценки Параллельно перенести вдоль оси абсцисс (Ох) в отрицательном направлении на единиц. (= 6 клеток, = 2 клетки)		Исследовательская работа по экономике «Музей в экономической системе» Гмз «Петергоф». В ходе близкого знакомства с данными культурными учреждениями, стали возникать некоторые вопросы экономической направленности,...
	Контрольная работа №2 по курсу «Алгоритмические языки и программирование»... Цель работы. Встроенные функции в Microsoft Excel. Построение графиков и диаграмм		1 Построение чертежа по методу Монжа. Четверти и октанты пространства... Эти оси пересекаются в точке о- точке начала координат. Оси проекций принимают за оси координат – натуральной системой прямоугольных...
	Исследование систем линейных уравнений. Базисное решение ...		Лабораторная работа №1. Перегрузка функций. Шаблоны функций Цель работы – изучить определение и варианты использования перегрузки функций и шаблонов функций в языке С++
	Азербайджанская Республика, Республика Армения, Республика Беларусь,... Азербайджанская Республика, Республика Армения, Республика Беларусь, Республика Казахстан, Республика Кыргызстан, Республика Молдова,...		Учреждение информационно-методический центр системы образования ейского района Доводим до Вашего сведения, что на базе моу гимназия№14 г. Ейска 19. 01. 2013г в 13-00 для выпускников 11-х классов будет проводиться...

Исследовательская работа

Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат

§1 Условия убывания и возрастания функции .

Точки максимума и минимума

§2 Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба

Заключение

Литература

Похожие:

§2 Выпуклость и вогнутость функции.
Точки перегиба