Закон де Муавра


Скачать 148.75 Kb.
НазваниеЗакон де Муавра
страница1/3
Дата публикации12.07.2013
Размер148.75 Kb.
ТипЗакон
userdocs.ru > Финансы > Закон
  1   2   3
    1. Финансовый анализ в экономике страхования.



В данном параграфе изучаются вопросы платежеспособности страховой компании на основе синтеза методов современной актуарной и финансовой математики, как в случае дискретного, так и непрерывного времени.1

При этом нас будут интересовать указанные вопросы в контексте инвестиционной активности страховой компании на финансовом рынке. Проведение финансового анализа такой инвестиционной структуры как страховая фирма еще не нашел адекватного отражения в соответствующей литературе в силу того, что является "пограничным" между финансовой экономикой и страхованием.

Договор страхования предполагает, что за определенную плату, называемую премией, страховая компания (страховщик) берет на себя

обязательство возместить возможные потери клиента (страхователя). Основанием для оплаты указанных потерь, часто отождествляемых с рисками, является полис страхования. Страховаться может достаточно широкий круг возможных рисков: автомобиль на случай кражи или аварии, имущество на случай пожара или стихийного бедствия, здоровье и жизнь. В структуре деятельности страховой фирмы важное место занимают юридические и экономические вопросы. При этом адекватное решение ее экономических проблем невозможно без применения количественных расчетов: от моделирования сроков и размеров предъявляемых компании исков, до адекватного расчета премий и резервов. Например, если премия будет слишком высокой, клиенты обратятся к услугам компаний-конкурентов, слишком низкой – значительно увеличится риск неплатежеспособности.

Применение математических методов анализа финансовой состоятельности страховой компании имеет достаточно долгую историю. Например, в страховании жизни ключевым параметром, уже встречавшимся нам ранее, является остаточная продолжительность жизни – вероятность того, что индивид возраста проживет по меньшей мере еще лет. Определяя "силу смертности" равенством , можно предложить следующие ее модели:

закон де Муавра (1721):

,

где – "максимально возможный" возраст, обычно полагаемый равным 100-120 лет;

закон Гомпертца (1824):



закон Мэйкхема (1860):



В последнем случае



что хорошо согласуется даже с современными реальными данными. Эти законы о виде остаточного распределения жизни находят свое естественное применение и в работе пенсионных фондов.

В имущественном страховании используется два основных типа моделей: модель индивидуального и коллективного риска. В модели индивидуального риска рассматривается полисов с независимыми выплатами . Ее характерными чертами являются сравнительно короткий промежуток времени для адекватного применения модели, а также фиксированное и неслучайное количество договоров . В модели коллективного риска по одному полису допускается более одной выплаты, количество подаваемых исков заранее неизвестно, а рассматриваемая модель носит динамический характер, когда процесс подачи исков "растянут" во времени.

Зададим некоторое вероятностное пространство и введем следующие понятия:

  • начальный капитал страховой компании.

  • Неубывающая последовательность случайных величин – моменты наступления отдельных исков от клиентов, – время между наступлениями исков.

  • Общее количество поданных исков к моменту времени : , при этом .

  • Последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин определяет возможный размер исков в момент с функцией распределения , .

  • Процесс риска определяет суммарные выплаты по искам к моменту , , если .

  • – величина всех премий, полученных к моменту времени .

  • определяет капитал компании к моменту .

Процессы и считаются независимыми. Если , то говорят о страховых моделях дискретного времени, если – о моделях непрерывного времени.

С
для всех
огласно актуарной традиции мерой платежеспособности, или финансовой состоятельности компании, выбирается вероятность неразорения (соответственно, на бесконечном и конечном промежутке времени):


для всех

для всех




Поскольку договор страхования предполагает передачу того или

иного риска от клиента к компании, то гарантировать исполнение своих обязательств компания может лишь в случае, когда в среднем поступающие премии больше средних выплат по искам:



Данное соотношение предполагается выполненным для всех рассматриваемых ниже моделей. Распространенным принципом начисления премий является принцип математического ожидания, когда выбирается некоторое число , называемое коэффициентом нагрузки, и полагается .

Введенные выше вероятности зависят не только от временного промежутка функционирования страховой компании и начального капитала, но и от "внутренних" параметров процессов и . Тем не менее, ключевой является зависимость именно от времени и начального капитала . По этим параметрам удается получать уравнения интегрального (разностного) и интегро-дифференциального типа для нахождения вероятностей неразорения, что позволяет производить количественный финансовый анализ экономической деятельности страховой фирмы.

Часто поиск явного аналитического выражения для решения представляет существенные технические трудности, а получаемые при этом формулы неудобны для дальнейшего анализа. В такой ситуации оказывается полезным иметь адекватные апроксимации для вероятности неразорения.

Рассмотрим сначала биномиальную модель:

  • – биномиальный процесс, т. е. представим как сумма бернуллиевских случайных величин с некоторой вероятностью успеха ;

  • (детерминированные премии);

  • – сложный биномиальный процесс.

В качестве процесса премий может рассматриваться независимый от другой сложный биномиальный процесс . Тогда капитал компании имеет вид



Это означает, что в каждый момент времени независимым от прошлого образом с некоторой вероятностью компания получает, вообще говоря, случайную премию , и с некоторой вероятностью вынуждена выплачивать величину .

В случае целочисленных процессов для вероятностей неразорения могут быть получены разностные уравнения, которые удается разрешить аналитически для некоторых типов распределений премий и исков. В общем случае оценивание вероятности неразорения может проводиться с помощью техники мартингалов дискретного времени:

если – положительное решение характеристического уравнения



(в терминах функций распределения и случайных величин и это уравнение переписывается в виде



то – мартингал и .

Далее, широко известная модель Крамера-Лундберга определяется следующими процессами:

  • – пуассоновский процесс с интенсивностью ;

  • – линейная функция времени;

  • – сложный пуассоновский процесс.

Рассмотрим в качестве процесса премий независимый от сложный пуассоновский процесс . Тогда капитал компании имеет вид



Для вероятности неразорения могут быть получены интегральные уравнения, которые в случае экспоненциальных распределений размеров премий и исков удается решить аналитически. В общем случае оценка вероятности неразорения проводится с помощью техники мартингалов непрерывного аргумента:

если – положительное решение характеристического уравнения





или, что эквивалентно,



то – мартингал и .

Поскольку страховая компания в целях повышения своей конкурентоспособности инвестирует свои средства на финансовом рынке, то весьма актуальным является проведение финансового анализа ее платежеспособности с учетом этого обстоятельства, как правило, не освещаемого надлежащим образом в актуарной науке. Такой анализ осуществляется ниже сначала для биномиальной, а затем для диффузионной моделей рынка.

Сначала рассмотрим в качестве объекта инвестирования
  1   2   3

Похожие:

Закон де Муавра iconЗакон распределения Пуассона и его характеристики
Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа. Теорема Пуассона Понятие случайной величины. Виды случайных величин
Закон де Муавра iconА Закон о рекламе б Закон о связях с общественностью в Закон о маркетинге г Закон о ребрендинге
Втупительный тест в российскую ассоциацию студентов по связям с общественностью (рассо)
Закон де Муавра iconИстория политических и правовых учений
Он считал, что любой закон, принятый в надлежащем порядке, необходимо исполнять, даже если этот закон будет не справедлив. Закон...
Закон де Муавра icon2 Закон о статусе судей говорит, что судьёй может быть гражданин РФ
Ст. 1195 гк рф, личный закон иностранцев, постоянно проживающих в рф, является закон РФ
Закон де Муавра iconВопросы к зачету по химии за 1 полугодие для 9-го класса
...
Закон де Муавра iconЗакон от 21 июля 2011 г. N 254-фз "О внесении изменений в Федеральный закон "
...
Закон де Муавра icon«Пусть погибнет мир, но закон должен быть соблюден». (Изречение римского права)
«узаконенная справедливость» и закон не может нарушать естественные данные человеку от рождения, свободы. По—моему, необходимо соблюдать...
Закон де Муавра iconЗакон сохранения электрического заряда
Электростатика. Эл заряд. Точечный заряд. Закон сохр заряда. Закон Кулона в вакууме. Принцип суперпозиции сил
Закон де Муавра iconЗакон о такси 69 Федеральный закон о такси от 21 апреля 2011 года
Президент РФ дмитрий Медведев подписал новый федеральный закон №69 фз «О внесении изменений в отдельные законодательные акты Российской...
Закон де Муавра iconЗакон Российской Федерации от 8 июня 2012 г. N 65-фз г. Москва "О...
Изменения в Коап и закон о собраниях, митингах, демонстрациях, шествиях и пикетированиях
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
userdocs.ru
Главная страница