Закон де Муавра


Скачать 148.75 Kb.
НазваниеЗакон де Муавра
страница2/3
Дата публикации12.07.2013
Размер148.75 Kb.
ТипЗакон
userdocs.ru > Финансы > Закон
1   2   3
биномиальный рынок, или модель Кокса-Росса-Рубинштейна.

Пусть задан финансовый рынок (-рынок), состоящий из двух активов (безрискового, банковский счет) и (рискового, акции), цены которых эволюционируют согласно разностным уравнениям:





где , – последовательность независмых бернуллиевских величин, .

На данном рынке работает страховая компания, формирующая свой капитал следующим образом. В момент времени , имея начальный капитал , компания инвестирует его на данном рынке, распределяя доступные средства в количестве в банковский счет и в количестве в акции. Соответственно,



В момент времени изменяются цены активов рынка, компания получает премии и оплачивает иски клиентов. Процесс премий и исков будем считать сложными биномиальными процессами. Соответственно изменится и капитал:



В случае имеем разорение в момент времени , иначе компания вновь перераспределяет капитал между активами и ожидает следующего момента изменения цен:



Приращение капитала запишем в следующем виде:



Таким образом, для произвольного изменение капитала можно представить в такой форме:



Данное уравнение означает, что изменение капитала происходит как за счет изменения самих цен активов, так и за счет потребления и инвестирования. Последовательность , как мы знаем из предыдущего, называют портфелем компании. Естественно считать, что выбор компонент портфеля происходит на основе информации, доступной к моменту времени информации . В данной модели имеем ограничение



которое в отсутствии страховой составляющей приводит к классу самофинансируемых стратегий финансового рынка:



Возвращаясь к исследованию платежеспособности страховой компании, естественно предполагать стохастическую независимость страховой и финансовой составляющих модели.

При инвестировании всего капитала в банковский счет, что соответствует стратегии , динамика капитала описывается уравнением:



Примерами нахождения явных формул для вероятностей неразорения при инвестировании только в банковский счет являются следующие теоремы:

I. Пусть , тогда для

вероятности неразорения имеем интегральное уравнение



решение которого записывается в виде:

где
Напомним, что функция является вероятностью неразорения на отрезке времени.

II. Пусть , тогда вероятности неразорения связаны рекуррентным интегральным уравнением



^ Если при этом – решение характеристического уравнения



то , где



Доказательство проведем только для второй теоремы. Рекуррентное соотношение на следует из формулы полной вероятности. Далее, рассуждая по индукции, будем искать оценку в виде .

База индукции: . Предположим, что , подставим данное соотношение в уравнение, фигурирующее в формулировке:



Последнее выражение должно быть больше или равно, чем , что выполнено при выборе из формулировки теоремы. Для этого следует учесть, что – решение характеристического уравнения, и значение в формулировке записано в более компактной форме.

При инвестировании всего капитала в акции, что соответствует стратегии , динамика капитала описывается уравнением



и имеет место следующая теорема:

III. Пусть все , тогда при инвестировании в акции вероятности неразорения удовлетворяют рекуррентному интегральному уравнению

^ Если при этом – решение характеристического уравнения



то , где



Доказательство проводится совершенно аналогично предыдущим теоремам и опускается.

Теперь рассмотрим в качестве инвестиционного пространства страховой компании модель Блэка-Шоулса. Пусть задана пара активов – безрискового (банковский счет) и – рискового (акция), цены на которые эволюционируют согласно стохастическим дифференциальным уравнениям



где – стандартный винеровский процесс.

На данном рынке работает страховая компания с начальным капиталом . По аналогии со случаем дискретного времени финансовую активность компании характеризует пара случайных процессов , "согласованных" с рыночной информацией , компонента – количество "единиц банковского счета" в портфеле компании, – количество акций, а капитал портфеля равен



Для эволюции капитала во времени имеем уравнение



Выражение представляет собой изменение капитала за счет изменения цен на финансовом рынке. Второе выражение характеризует изменение капитала за счет изменения средств в портфеле. Установим естественное ограничение на класс используемых стратегий, проистекающее из страховой специфики компании с учетом вида процесса премий и выплат (см. модель Крамера-Лундберга и ее обобщение):



Это означает, что перераспределение средств в портфеле может происходить лишь за счет излишков страховой составляющей.

Пусть сначала весь капитал инвестируется в банковский счет. Тогда динамика капитала описывается уравнением



решение которого имеет вид



где – скачки , – скачки .

Введем случайную величину , являющуюся моментом разорения. Тогда вероятность неразорения



характеризируется следующей теоремой:

В случае инвестирования капитала в банковский счет вероятность неразорения удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению



где и – интенсивности пуассоновских процессов и , а и – функции распределения и .

Доказательство. Поскольку при фиксированном дальнейшее развитие процесса не зависит от предыстории и , пользуясь указанным выше уравнением динамики , для малого промежутка времени запишем:



По формуле Тейлора . Поэтому при делении на и предельном переходе при получим нужное утверждение теоремы.

Для оценок вероятности неразорения на конечном интервале времени рассмотрим дисконтированный капитал . Очевидно, для дисконтированного капитала и процесса имеем совпадение вероятностей неразорения на всяком конечном промежутке:


для всех

для всех




поскольку указанные процессы отличаются лишь положительным сомножителем.

Соответствующая оценка снизу вероятности неразорения дается следующей теоремой:

1   2   3

Похожие:

Закон де Муавра iconЗакон распределения Пуассона и его характеристики
Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа. Теорема Пуассона Понятие случайной величины. Виды случайных величин
Закон де Муавра iconА Закон о рекламе б Закон о связях с общественностью в Закон о маркетинге г Закон о ребрендинге
Втупительный тест в российскую ассоциацию студентов по связям с общественностью (рассо)
Закон де Муавра iconИстория политических и правовых учений
Он считал, что любой закон, принятый в надлежащем порядке, необходимо исполнять, даже если этот закон будет не справедлив. Закон...
Закон де Муавра icon2 Закон о статусе судей говорит, что судьёй может быть гражданин РФ
Ст. 1195 гк рф, личный закон иностранцев, постоянно проживающих в рф, является закон РФ
Закон де Муавра iconВопросы к зачету по химии за 1 полугодие для 9-го класса
...
Закон де Муавра iconЗакон от 21 июля 2011 г. N 254-фз "О внесении изменений в Федеральный закон "
...
Закон де Муавра icon«Пусть погибнет мир, но закон должен быть соблюден». (Изречение римского права)
«узаконенная справедливость» и закон не может нарушать естественные данные человеку от рождения, свободы. По—моему, необходимо соблюдать...
Закон де Муавра iconЗакон сохранения электрического заряда
Электростатика. Эл заряд. Точечный заряд. Закон сохр заряда. Закон Кулона в вакууме. Принцип суперпозиции сил
Закон де Муавра iconЗакон о такси 69 Федеральный закон о такси от 21 апреля 2011 года
Президент РФ дмитрий Медведев подписал новый федеральный закон №69 фз «О внесении изменений в отдельные законодательные акты Российской...
Закон де Муавра iconЗакон Российской Федерации от 8 июня 2012 г. N 65-фз г. Москва "О...
Изменения в Коап и закон о собраниях, митингах, демонстрациях, шествиях и пикетированиях
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
userdocs.ru
Главная страница