Закон де Муавра


Скачать 148.75 Kb.
НазваниеЗакон де Муавра
страница3/3
Дата публикации12.07.2013
Размер148.75 Kb.
ТипЗакон
userdocs.ru > Финансы > Закон
1   2   3
для всякого такого, что



для всех , процесс – мартингал и



Доказательство. Обозначим и вычислим :



Отсюда следует интегро-дифференциальное уравнение:



Будем искать решение данного уравнения в виде , что приводит к уравнению на :



с начальным условием , или .

Далее можем записать, что



где последнее равенство справедливо в силу того, что имеет независимые приращения. Заметим, что функции распределения случайных величин и совпадают.

Отсюда



и поэтому процесс – мартингал.

Далее с помощью техники мартингалов для момента разорения можем записать цепочку неравенств:



откуда следует утверждение теоремы.

Пусть теперь весь капитал вкладывается в акции, эволюционирующие согласно модели Блэка-Шоулса (что соответствует стратегии ). В этом случае капитал компании удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению:



Вероятность неразорения в этом случае характеризируется теоремой:

В случае инвестирования капитала в акции вероятность неразорения удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению



которое в случае экспоненциального распределения выплат и премий , может быть сведено к обыкновенному дифференциальному уравнению третьей степени и для имеем асимптотику

.

Доказательство.2

Поскольку при фиксированном дальнейшее развитие процесса не зависит от предыстории и , то, пользуясь указанной выше динамикой , для малого промежутка времени можем записать



При помощи формулы Колмогорова-Ито данное соотношение может быть переписано в виде



откуда при получаем нужное интегро-дифференциальное уравнение для .

Далее исследуем случай экспоненциального распределения размеров премий и исков , . Тогда интегро-дифференциальное уравнение для вероятности неразорения имеет вид:



где



при этом



Дифференцирование рассматриваемого интегро-дифференциального уравнения дает:



или



Дальнейшее дифференцирование этого уравнения дает:



или



К последнему уравнению прибавим предыдущие уравнения умноженные на и соответственно. В результате получим:



Заменой запишем уравнение в виде



Далее будем искать асимптотику решения данного уравнения при

согласно стандартной методике.3

Для этого сделаем замену , выбирая коэффициент таким образом, чтобы свободный член в коэффициенте при остался равным нулю. Получим уравнение на :



откуда . Значение отбрасывается, поскольку – ограниченная функция. Рассмотрим случай , тогда уравнение не изменится. Далее делаем замену , чтобы новый коэффициент при был равен нулю. Уравнение для имеет вид



Данная замена позволяет найти решение в виде ряда , который формально может расходиться, но дает асимптотику

.

В этом случае

.

Рассмотрение случая приводит к асимптотике

.

Заметим, что полученная теорема содержит в себе то принципиальное заключение, что при инвестировании страховой компании в рисковые активы финансового рынка вероятность неразорения уже может не иметь обычной экспоненциальной асимптотики, как в обычной модели Крамера-Лундберга.

1 См., например, Бойков А. В., Мельников А. В., Элементы страхового риск-менеджмента, М., Актуарно-Фин. Центр., 2000, 87 с.

2 См., например, Frolova A., Kabanov Yu., Pergamenshchikov S., In insurance business risky investments are dangerous, Finance and Stochastics, 2002.

3 См., например, Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, М., Наука, 1965.

1   2   3

Похожие:

Закон де Муавра iconЗакон распределения Пуассона и его характеристики
Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа. Теорема Пуассона Понятие случайной величины. Виды случайных величин
Закон де Муавра iconА Закон о рекламе б Закон о связях с общественностью в Закон о маркетинге г Закон о ребрендинге
Втупительный тест в российскую ассоциацию студентов по связям с общественностью (рассо)
Закон де Муавра iconИстория политических и правовых учений
Он считал, что любой закон, принятый в надлежащем порядке, необходимо исполнять, даже если этот закон будет не справедлив. Закон...
Закон де Муавра icon2 Закон о статусе судей говорит, что судьёй может быть гражданин РФ
Ст. 1195 гк рф, личный закон иностранцев, постоянно проживающих в рф, является закон РФ
Закон де Муавра iconВопросы к зачету по химии за 1 полугодие для 9-го класса
...
Закон де Муавра iconЗакон от 21 июля 2011 г. N 254-фз "О внесении изменений в Федеральный закон "
...
Закон де Муавра icon«Пусть погибнет мир, но закон должен быть соблюден». (Изречение римского права)
«узаконенная справедливость» и закон не может нарушать естественные данные человеку от рождения, свободы. По—моему, необходимо соблюдать...
Закон де Муавра iconЗакон сохранения электрического заряда
Электростатика. Эл заряд. Точечный заряд. Закон сохр заряда. Закон Кулона в вакууме. Принцип суперпозиции сил
Закон де Муавра iconЗакон о такси 69 Федеральный закон о такси от 21 апреля 2011 года
Президент РФ дмитрий Медведев подписал новый федеральный закон №69 фз «О внесении изменений в отдельные законодательные акты Российской...
Закон де Муавра iconЗакон Российской Федерации от 8 июня 2012 г. N 65-фз г. Москва "О...
Изменения в Коап и закон о собраниях, митингах, демонстрациях, шествиях и пикетированиях
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
userdocs.ru
Главная страница