Курс лекций утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Воронеж 2011


НазваниеКурс лекций утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Воронеж 2011
страница3/14
Дата публикации27.05.2013
Размер1.48 Mb.
ТипУчебное пособие
userdocs.ru > Физика > Учебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14
Энергия, масса и импульс фотона. Давление света

Фотоэффект показывает, что электромагнитное излучение способно вести себя как частица ЁC фотон. При поглощении, испускании или взаимодействии фотона с любыми частицами можно использовать те же законы сохранения энергии и импульса, что и при взаимодействии тел. Однако фотон в любой среде движется со скоростью света (с = 3*108 м/с) и поэтому законы сохранения надо писать в релятивистской форме.

Рассмотрим некоторые особенности частицы-фотона. При скорости частицы равной скорости света знаменатель выражения:

µ § (2.4)

для релятивистской энергии обращается в нуль, а энергия становится бесконечно большой, что физически не имеет смысла.

Чтобы энергия была конечной, математически следует, что числитель дроби так же должен быть в этом случае равен нулю. Из этого вытекает, что частицы, которые двигаются со скоростью света, должны не иметь массы. С другой стороны, фотон как не имеющая массы частица, может двигаться только со скоростью света. В противном случае фотон должен погибнуть. Итак, говорить о фотоне, находящемся в состоянии покоя нет смысла!

При рассмотрении теплового излучения и фотоэффекта полагалось, что свет излучается и поглощается порциями. Однако это не доказывает, что свет существует в виде частиц ЁC фотонов. Весомым доказательством в пользу квантовой (то есть не волновой) теории света являются эффекты, в которых проявляется импульс фотонов. Наличие импульса тела равноценно определению направления его движения в каждый момент времени.

Поскольку фотон не имеет массы, рассматривать импульс этой частицы привычным способом тоже нельзя (в классической механике импульс тела µ §). Импульс фотона можно выразить через энергию:

µ § (2.5)

Формулы (2.4, 2.5) связывают волновые характеристики (частоту или длину волны) с характеристиками обычных тел (массу, энергию, импульс). При этом если мы знаем один из четырех параметров (энергию или импульс фотона, частоту или длину волны света), то автоматически можем по соответствующим формулам рассчитать остальные. То есть описать свойства света можно с помощью любого из этих параметров, и это наглядно показывает, что фотон одновременно обладает свойствами и волны, и частицы. Это называется корпускулярно-волновым дуализмом. Выбор параметра зависит от конкретно поставленной задачи.

Итак, одним из явлений, описываемых с помощью понятия импульс, является давление света. Напомним, что давлением называют величину P, равную импульсу р, переданному единице поверхности в единицу времени µ §. Давление света обусловлено тем, что фотоны передают поверхности свой импульс, определяемый формулой (2.5).

Пусть световой поток, падающий на единичную площадку, содержит N фотонов. Для простоты рассмотрим монохроматическую световую волну. Если коэффициент отражения для данной поверхности равен с, тогда от поверхности отразится с·N фотонов, а поглотится (1ЁCс)·N. Каждый поглощенный фотон передает поверхности импульсµ §, а каждый отраженный ЁC удвоенный импульс µ §, так как при отражении фотона импульс меняется на противоположный (от р до ЁCр), то есть модуль импульса меняется на р=2рфотона.

Суммарный импульс, передаваемый поверхности, равен

µ § (2.6)

µ § (2.7)

Таким образом, давление, оказываемое светом на поверхность пропорционально энергии фотонов, их плотности в световом потоке (N/S ЁC плотность потока или отношение числа фотонов, попадающих на поверхность к площади этой поверхности), а также зависит от отражающей способности поверхности тела.

Эти выводы в 1901 г. экспериментально проверены П. Н. Лебедевым. Им был сконструирован подвес (рис. 2.4), на котором на легчайшей стеклянной нити были закреплены очень тонкие металлические «крылышки» ЁC темные и светлые диски толщиной 0.01 ЁC 0.1 мм. При такой толщине крылышки имели равномерную температуру, что позволило избежать введения поправок на температурный градиент (отличие температуры слоев, находящихся на различной глубине).

Рис. 2.4. Схема опыта Лебедева

Подвес был помещен в вакуумированный баллон, подвижная система зеркал позволяла направлять свет на обе поверхности крылышек. Давление света определялось по углу поворота нити с освещаемыми крылышками. Полученные результаты совпали с теоретически предсказанными, в частности оказалось, что давление света на зачерненную поверхность крылышек в два раза меньше, чем на зеркальную.

Давление света конечно мало. Например, рассмотрим давление естественного солнечного света у поверхности Земли. Даже если отражающая способность тела крайне мала, давление, испытываемое поверхностью, будет составлять примерно 350·10ЁC10 мм рт. ст. Для сравнения ЁC атмосферное давление у поверхности Земли составляет 750 мм рт. ст., то есть на 10 порядков больше.
Эффект Комптона

Наличие у света корпускулярных свойств также подтверждается комптоновским рассеянием фотонов. Эффект назван в честь открывшего в 1923 г. это явление американского физика Артура Холли Комптона. Он изучал рассеяние рентгеновских лучей на различных веществах.

Эффект Комптона ЁC изменение частоты (или длины волны) фотонов при их рассеянии. Может наблюдаться при рассеянии на свободных электронах фотонов рентгеновского диапазона или на ядрах при рассеянии гамма-излучения.

Рис. 2.5. Схема установки для исследования эффекта Комптона.

Тр ЁC рентгеновская трубка

Эксперимент Комптона заключался в следующем: он использовал так называемую линию Кб в характеристическом рентгеновском спектре молибдена с длиной волны л0 = 0.071нм. Такое излучение можно получить при бомбардировке электронами молибденового анода (рис. 2.5), отрезав излучения других длин волн с помощью системы диафрагм и фильтров (S). Прохождение монохроматического рентгеновского излучения через графитовую мишень (М) приводит к рассеянию фотонов на некоторые углы ц, то есть к изменению направления распространения фотонов. Измеряя с помощью детектора (Д) энергию рассеянных под различными углами фотонов, можно определить их длину волны.

Оказалось, что в спектре рассеянного излучения наряду с излучением, совпадающим с падающим, присутствует излучение с меньшей энергией фотонов. При этом различие между длинами волн падающего и рассеянного излучений л = л ЁC л0 тем больше, чем больше угол, определяющий новое направление движения фотона. То есть на большие углы рассеивались фотоны с бульшей длиной волны.

Этот эффект не может быть обоснован классической теорией: длина волны света при рассеянии изменяться не должна, т.к. под действием периодического поля световой волны электрон колеблется с частотой поля и поэтому должен излучать под любым углом вторичные волны той же частоты.

Объяснение эффекту Комптона дала квантовая теория света, в рамках которой процесс рассеяния света рассматривается как упругое столкновение фотонов с электронами вещества. В процессе этого столкновения фотон передает электрону часть своих энергии и импульса в соответствии с законами их сохранения в точности как при упругом столкновении двух тел.

Рис. 2.6. Комптоновское рассеяние фотона

Поскольку после взаимодействия релятивистской частицы фотона с электроном последний может получить ультравысокую скорость, закон сохранения энергии необходимо писать в релятивистской форме:

µ § (2.8)

Где hн0 и hн ЁC энергии соответственно падающего и рассеянного фотонов, mc2 ЁC релятивистская энергия покоя электрона ЁC энергия электрона до столкновения, Ee ЁC энергия электрона после столкновения с фотоном. Закон сохранения импульса имеет вид:

µ § (2.9)

где p0 и p ЁC импульсы фотона до и после столкновения, pe ЁC импульс электрона после столкновения с фотоном (до столкновения импульс электрона равен нулю).

Возведем в квадрат выражение (2.30) и помножим на с2:

µ § (2.10)

Воспользуемся формулами (2.5) и выразим импульсы фотонов через их частоты: µ § (2.11)

Учитывая, что энергия релятивистского электрона определяется формулой:

µ § (2.12)

и используя закон сохранения энергии (2.8), получим:

µ § (2.13)

Возведем в квадрат выражение (2.13):

µ § (2.14)

Сравним формулы (2.11) и (2.14) и проведем простейшие преобразования:

µ § (2.15)

µ §

µ §

µ §

µ § (2.16)

Частота и длина волны связаны соотношением н =с/л, поэтому формулу (2.16) можно переписать в виде: µ § (2.17)

Разность длин волн л ЁC л0 является очень малой величиной, поэтому комптоновское изменение длины волны излучения заметно лишь при малых абсолютных значениях длины волны, то есть эффект наблюдается только для рентгеновского или гамма-излучения.

Длина волны рассеянного фотона, как показывает эксперимент, не зависит от химического состава вещества, она определяется только углом и, на который рассеивается фотон. Это легко объяснить, если учесть, что рассеяние фотонов происходит не на ядрах, а на электронах, которые в любом веществе идентичны.

Величина h/mc в формуле (2.17) называется комптоновской длиной волны и для электрона равна лc = 2.43·10ЁC12м.

^ II. ОСНОВЫ АТОМНОЙ И МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ

3. ЗАКОНОМЕРНОСТИ В АТОМНЫХ СПЕКТРАХ
Теория атома Бора

Со времен Древней Греции вплоть до конца XIX в. считалось, что все тела состоят из мельчайших частиц ЁC атомов, которые являются неделимыми частицами материи, «кирпичиками мироздания». Всякое проявление существования материи сводилось к механическому перемещению этих частиц. О том, что атомы являются сложными частицами материи, первым догадался только Д. И. Менделеев. По его мнению, атомы были неделимы лишь известными в то время химическими методами.

К концу XIX в. были установлены некоторые свойства атомов, свидетельствовавшие о том, что они имеют сложный состав. Было обнаружено, что в электрическом разряде в газе возникают так называемые катодные лучи, представляющие собой потоки отрицательно заряженных частиц, названных электронами. Установлено, что электроны вырываются из атомов, которые при этом становятся положительно заряженными ионами. Стало очевидным, что атомы являются сложной системой, в которой частицы, несущие отрицательный заряд, имеют одинаковую природу для всех атомов. В тоже время положительный заряд связан с основной массой атома, но ничего не было известно о том, как этот заряд распределяется внутри атома.

В 1903 г. Д. Д. Томсон предложил первую модель, согласно которой атом представляет собой сферу, заполненную положительно заряженной материей, в которой взвешены отрицательно заряженные корпускулы ЁC электроны. Томсон рассчитал размер такого шарика исходя из соображений, что электрон внутри сферы-атома совершает колебания с частотой, определяемой его удаленностью от центра сферы. Полученное таким образом значение радиуса атома (ЎЦ 3‡10ЁC8 см) совпадало по порядку величины с газокинетическими размерами. Это совпадение являлось весомым доказательством справедливости модели, но как позже выяснилось, было случайным.

Главное, чего не могла объяснить теория Томсона, это наличия в спектре излучения атомов множества линий. Ведь если электрон один (как в атоме водорода), то и линия должна быть одна, длина волны этой линии должна соответствовать частоте колебания электрона в атоме. Эксперимент же показал, что линий в спектре атома гораздо больше, чем электронов в его составе. К тому моменту уже было известно, что все атомы при определенных условиях испускают волны, частоты которых подчиняются определенным правилам. Для каждого атома набор линий является исключительно индивидуальным, как отпечатки пальцев для человека.

Получить спектр атома, иона или молекулы можно с помощью прибора, снабженного устройством, разделяющим излучение на монохроматические составляющие (кварцевая или стеклянная призма, дифракционная решетка). Кроме того, необходимо заставить частицу излучать, т.е. перевести вещество в возбужденное состояние. Это может наблюдаться при различных видах электрического разряда через исследуемое вещество (гейслерова трубка, искра, дуговой разряд), при бомбардировке атомов газа электронами, испущенными накаленным катодом, при нагревании паров и газов (например, в пламени горелки), при освещении паров светом подходящей длины волны и т.д. Способ возбуждения подбирают исходя из свойств конкретного вещества. Так для наблюдения спектра атомов йода достаточно нагреть над пламенем запаянную кювету с кристаллическим йодом. Получение спектров золота или свинца (или еще более тяжелых элементов) уже требует помещения исследуемого вещества в дуговой разряд, происходящий в промежутке между электродами.

Наиболее простой вид имеют спектры атома водорода и водородоподобных ионов, а также других изолированных атомов. Электроны, входящие в их состав, находятся под действием внутриатомных сил и не испытывают воздействия со стороны окружающих атомов. Спектры излучения этих частиц представляют собой несколько серий дискретных линий разной интенсивности. Такой спектр называют линейчатым. По мере перехода от более длинных волн к более коротким уровни постепенно сгущаются.

С помощью стеклянной призмы глаз человека увидит только несколько линий одной из серий спектра атома водорода (рис. 3.1):

л = 656 нм (красный цвет), л = 486 нм (зелено-голубой цвет)

л = 434 нм (сине-фиолетовый цвет) и л = 410 нм (темно-фиолетовый цвет)

Поэтому свечение возбужденного водорода имеет розоватую окраску (смесь указанных цветов).

Рис. 3.1. Видимая часть спектра атома водорода

Рис. 3.2. Видимая часть спектра атома железа

Уединённый атом имеет бесконечно много уровней. В реальной среде различные взаимодействия с соседними частицами приводят к тому, что у атома остаётся только конечное число нижних уровней. Например, в условиях звёздных атмосфер в спектре атома водорода обычно различают 20 ЁC 30 линий, но в разреженном межзвёздном газе могут наблюдаться сотни уровней, но не более тысячи. Число линий в спектре атома железа даже в земных условиях составляет несколько тысяч (рис. 3.2).

Некоторое время ученые пытались как-то систематизировать линии в спектрах атомов. Первым успеха добился швейцарский физик Бальмер. Изучая спектр атома водорода в 1885 г. он обнаружил, что длины волн линий из серии, располагающейся в видимом диапазоне, удивительно точно описываются формулой: µ § (3.1)

где л0 ЁC константа, n ЁC целое число, принимающее значения 3, 4, 5 и т.д.

Если длину волны выразить через частоту, получится формула:

µ § (3.1’)

где R = 3,29‡1015 сЁC1 ЁC постоянная Ридберга.

Формула (3.1’) называется формулой Бальмера, а соответствующая серия спектральных линий ЁC серией Бальмера. Исследования показали, что другие серии линий, лежащие в далекой ультрафиолетовой, а также в инфракрасной областях спектра, также подчиняются аналогичным формулам:

в ультрафиолетовой области ЁC

серия Лаймана:

µ § (n = 2, 3, 4, ...);

в инфракрасной области ЁC

серия Пашена:

µ § (n = 4, 5, 6, ...),

серия Брэкета:

µ § (n = 5, 6, 7, ...),

серия Пфунда:

µ § (n = 6, 7, 8, ...),

и т.д.

Рис. 3.3. Энергетические состояния атома и серии спектральных линий

Все серии в спектре атома водорода могут быть описаны одной формулой, называемой обобщенной формулой Бальмера:

µ § (3.2)

где т задает номер серии и имеет для данной серии постоянное значение: m = 1, 2, 3, ..., п может принимать значения m + 1, m + 2, ... и определяет отдельные линии в серии. Первая линия в серии, которой соответствует самая большая длина волны, называется головной линией ЁC в серии Бальмера спектра атома водорода это красная линия (рис. 3.1). При возрастании n частота линии в каждой серии стремится к предельному значению µ §, которое называется границей серии.

Линейчатый вид имеют спектры и других атомов. Однако количество линий в спектрах этих атомов значительно больше и взаимное расположение гораздо сложнее.

Итак, характер излучения атомов свидетельствует об их достаточно сложном строении. В 1903 г. Ленард, изучая прохождение быстрых электронов через металлическую фольгу, пришел к выводу, что атом имеет «ажурное» строение, то есть заряд никак не может быть равномерно распределен по объему атома. Стоит добавить, что в то время еще не был открыт электрон как частица, поэтому выводы Ленарда сводились к тому, что через «непрозрачное окно», коим являлась фольга, проникает что-то, несущее отрицательный заряд. Этот факт казался на том момент удивительным.

В 1913 г. Эрнест Резерфорд предпринял попытку прозондировать атом изнутри. В качестве зонда он использовал б-частицы, выделяющиеся при радиоактивном распаде сложных атомов.

Рис. 3.4. Опыт Резерфорда

Оказалось, что при прохождении б-частиц через слой какого-либо вещества (например, через фольгу из золота) наблюдается изменение направления их движения (рассеяние). Отклонившуюся частицу можно зарегистрировать с помощью экрана, покрытого веществом, которое при попадании в него б-частицы, откликается вспышкой света.

Рис. 3.5. Резерфордовское рассеяние

На рис. 3.5 показана траектория отклонения б-частицы при попадании в кулоновское поле ядра. Резерфорд показал, что угол отклонения б-частицы зависит от величины так называемого прицельного параметра b. Можно рассчитать минимальный прицельный параметр b, при котором частица отклонится от прямолинейной траектории, то есть ощутит действие поля ядра:

µ § (3.3)

где b - прицельный параметр, и - угол рассеяния.

Угол и также называют углом рассеяния. Из формулы (3.3) видно, что чем меньше b, тем больше угол рассеяния. Если и > 0, следовательно, частица претерпевает рассеяние.

Было очевидно, что отклонение происходит в результате взаимодействия б-частиц с зарядами, входящими в состав атома. Поскольку столкновение с электроном не может вызвать заметного изменения траектории б-частицы (ее масса в 7000 раз больше массы электрона), Резерфорд пришел к выводу, что сильное отклонение направления движения б-частицы от первоначального происходит в результате ее столкновения с положительно заряженной частью атома. Причем весь положительный заряд сконцентрирован в области, названной ядром и не превышающей 10ЁC12 см. Электроны для поддержания устойчивого равновесия должны находиться в постоянном движении вокруг ядра в области размером порядка 10ЁC8 см.

Резерфорд предложил, что электроны вращаются по замкнутым траекториям вокруг ядра как планеты вокруг Солнца. Эти идеи представляют суть ядерной модели атома Резерфорда, которая в качестве приближенной модели не потеряла значения до наших дней. Однако рассмотрение атома по этой модели с опорой на классическую электродинамику предсказывает следующий результат: электрон двигается по искривленной орбите вокруг ядра, центростремительное ускорение электрона определяется кулоновской силой, действующей на электрон со стороны положительного ядра:

µ § (3.4)

где Ze ЁC заряд ядра атома, при Z = 1 такая система соответствует атому водорода, при иных Z ЁC водородоподобному иону ЁC атому с зарядом ядра Z, у которого удалены все электроны, кроме одного.

Рис. 3.6. Классическая (а) и боровская (б) модели атома

Итак, движение электрона будет заведомо ускоренным, а согласно законам классической электродинамики ускоренно движущийся электрон должен непрерывно испускать электромагнитные волны. В частности при равномерном движении электрона по окружности частота излучения будет равна циклической частоте, при более сложных видах движения должно наблюдаться наложение нескольких монохроматических частотных компонентов. Излучение атома будет сопровождаться уменьшением энергии системы, а вместе с ней будет уменьшаться радиус вращения электрона и период его обращения, что в свою очередь приведет к уменьшению частоты излучения (рис. 3.6.а). Такая система будет излучать непрерывный спектр, и через 10ЁC11с вследствие потери энергии электрон упадет на ядро, т.е. атом как таковой прекратит свое существование. Эти выводы не имеют ничего общего с экспериментальными данными.

В том же 1913 г. решение проблемы было предложено Нильсом Бором. Опираясь на квантовую теорию Планка, он пошел вразрез с классической электродинамикой. Необходимо отметить, что на тот момент не была разработана электродинамика нового образца, поэтому идеи Бора не были следствием логических выводов на основании законов физики. Однако с их помощью можно было получить множество удивительных результатов, безоговорочно согласующихся с действительностью. Итак, развивая теорию Резерфорда, Бор высказал следующие постулаты:

1. Атом может длительное время находиться только в определенных, так называемых стационарных состояниях, которые характеризуются дискретными значениями энергии Е1, Е2, Е3,... В этих состояниях, вопреки классической электродинамике, атом не излучает.

2. При переходе атома из стационарного состояния с большей энергией Е2 в стационарное состояние с меньшей энергией Е1 происходит излучение кванта света (фотона) с энергией ©¤щ:

µ § (3.5)

С точки зрения классической физики в атоме возможно бесконечно большое число орбит. Для определения, какие именно орбиты действительно возможны в атоме, Бор вращение электрона вокруг ядра представил как колебания, частота которых согласно постулату Планка (см. формулу 1.19) определяется из условия: µ § (3.6)

где n ЁC целое число.

Можно показать, что условие квантования энергии электрона сведется к ограничению, которое накладывается на момент импульса механического вращательного движения электрона вокруг ядра ЁC момент импульса электрона может принимать только определенные дискретные значения:

µ § (n = 1, 2, 3, ...) (3.7)

откуда µ § (3.8)

Подставим (3.8) в (3.4): µ § (3.9)

Выразив отсюда r, получим значения радиусов орбит электрона в атоме:

µ § (n = 1, 2, 3, ...) (3.10)

Радиус первой орбиты атома водорода называется боровским радиусом, его значение равно µ § (3.11)

В спектроскопии частоты спектральных линий представляют в виде разности положительных чисел T(n), называемых термами. Для атома водорода µ §. Для других атомов терм имеет более сложный вид. Для любого атома выполняется правило, названное комбинационным принципом Ритца: частоты спектральных линий излучения любого атома могут быть представлены в виде разности двух термов; составляя различные комбинации термов, можно найти все возможные частоты спектральных линий этого атома.

Частота фотона, излучаемого при переходе из состояния n в состояние m, определяется формулой:

µ § (3.12)

Согласно второму постулату Бора и формуле (3.5)

µ § (3.13)

Сопоставив формулы (3.12) и (3.13) получаем:

µ § (3.14)

Таким образом, понятие терм отражает энергию электрона в данном состоянии атома.

Энергия фотона мала, поэтому ее принято измерять в электрон-вольтах. 1 электрон-вольт (эВ) ЁC это энергия, которую приобретает частица с зарядом, равным заряду электрона (|е| = 1.601‡10ЁC9 Кл), при прохождении разности потенциалов в 1 В. 1 эВ = 1.601‡10ЁC19 кулон‡вольт = 1.601 ‡ 10ЁC19 джоуль.

Теория Бора имела огромное значение в развитии физики микромира. Совпадение ее результатов с экспериментальными данными для атома водорода указало на то, что рассматривать микроскопические объекты необходимо с квантовой точки зрения, что классические методы категорически неприменимы в данной ситуации. Однако существенным недостатком теории было именно некорректное совмещение квантовых подходов с классическими методами (не смотря на понимание их невыполнимости). Этот недостаток отчетливо выразился уже при расчете атома гелия, о более сложных атомах и думать было бессмысленно. Кроме того, теория Бора предсказывала излучательный переход, но не говорила, с какой скоростью этот переход осуществляется, не давала информации об относительной интенсивности спектральных линий. Несмотря на все недостатки, старая боровская теория основана на наглядной физической модели, дает правильные энергии уровней атома водорода и часто оказывается полезной для интерпретации результатов квантовомеханических расчетов.

^ 4. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
4.1. Волновые свойства вещества. Гипотеза де Бройля

Размышляя над свойствами света и микрочастиц, французский физик Луи де Бройль пришел к выводу, что «Корпускулярно-волновой дуализм Эйнштейна носит всеобщий характер и распространяется на все физические объекты». В 1924 г. де Бройль опубликовал парадоксальную гипотезу, которая в конечном итоге позволила построить логичную теорию, объясняющую явления, происходящие на субатомном уровне:

Если электромагнитное излучение с длиной волны л = 2рc/щ должно проявлять свойства частицы-фотона с энергией E = ©¤щ = 2рс/л и импульсом p = E/c = 2р©¤/л, то и материальные частицы с энергией E и импульсом p должны обладать свойствами волны с частотой:

µ § (4.1)

и длиной волны µ § (4.2)

Такая волна называется волной де Бройля. Волна, которая сопоставляется частице, может иметь устойчивое состояние в замкнутом пространстве (т.е. в пределах атома) только в одном случае ЁC если вдоль орбиты частицы укладывается целое число длин волн, то есть, если, двигаясь вдоль орбиты, волна де Бройля совершает целое число полных колебаний. Картина аналогична той, которую мы наблюдаем при появлении стоячей волны в натянутой струне: µ § (4.3)

где rn ЁC радиус n-ой орбиты, n = 1, 2, 3, ...

Уже в 1927 г. гипотеза де Бройля была подтверждена экспериментально в лаборатории Bell Telephone в ходе опытов К. Дэвиссона и его ассистента Л. Джермера. Узкий пучок электронов с кинетической энергией E Ў­ 100 эВ (по этой энергии можно посчитать импульс электрона) падал нормально на монокристалл никеля и рассеивался на атомах поверхностного слоя под разными углами и (рис. 4.1). Длина волны де Бройля таких электронов, рассчитанная по формуле (4.2), была сравнима с межатомным расстоянием d Ў­ 10ЁC10 м.

Рис. 4.1. Схема опыта Дэвисона и Джермера

Детектор (гальванометр) улавливал отраженные электроны и измерил четкие максимумы и минимумы тока под углами иn. Углы, под которыми наблюдались максимумы тока, удовлетворяли условию интерференционного максимума: µ § n = 1, 2, 3, ... (4.4)

То есть, наблюдалось явление интерференции микроскопических частиц ЁC электронов. Расчеты показали, что выраженная из формулы (4.4) длина интерферирующих волн и длина волны, полученная по формуле (4.2), совпадают с высокой точностью.

Несколько нагляднее этот эффект можно было бы продемонстрировать, если направлять электроны на преграду, имеющую два отверстия диаметром d Ў­ 10ЁC10 м.

В этом случае мы будем наблюдать несколько максимумов (сильное почернение на фотопластинке), как при интерференции света на двух щелях (пластинка №3). Если одно из отверстий закрыть, получим результат как на пластинках 1 или 2 ЁC в зависимости от того, какая щель остается открытой. Видно, что картина от двух открытых щелей не является суммой картин 1 и 2. То есть каждый электрон, преодолевая преграду со щелями, «чувствует» оба отверстия, он «знает», открыты ли оба отверстия или одно из них закрыто. Это не значит, что он как волна разделяется на две составляющие. Электрон неделим! Но природа его такова, что ведет он себя как волна, следовательно бессмысленно говорить, что электрон прошел через одно из двух отверстий.

Рис. 4.2. Дифракция электронов на щели

В том же 1927 г. Дж. Томсон и независимо от него П.Тартаковский наблюдали дифракцию электронов при прохождении через тонкую металлическую фольгу (рис. 4.3). Дифракционной решеткой в этом случае служила кристаллическая решетка металла. Электроны, проходя через нее, согласно предположению де Бройля действительно могли дать дифракционную картинку. Такая картинка регистрировалась на фотопластинке (электрон, ударяясь о фотослой на пластинке, вызывает такой же эффект, как фотон ЁC оставляет засвеченное пятно). Оставался открытым вопрос: действительно ли дифракция наблюдается для электронов или электроны, ударяясь о фольгу, вызывают вторичные рентгеновские волны, которые и дают дифракционную картинку?

Рис. 4.3. Схема опыта по дифракции электронов

Для ответа на этот вопрос в схему эксперимента были введены два магнита, которые должны отклонять двигающиеся электроны и в тоже время никак не должны влиять на рентгеновские лучи (ведь это фотоны, электрический заряд которых равен нулю). Поскольку наблюдалось отклонение дифракционных колец от первоначального положения, был сделан вывод, что наблюдаемое явление ЁC дифракция электронов.

Как показали более поздние опыты, дифракция возможна не только для пучка электронов, но и для каждого электрона в отдельности. Советские физики Л. Биберман, Н. Сушкин и В. Фабрикант в 1949 г. провели эксперимент, в котором источник электронов имел настолько малую интенсивность, что электроны из него вылетали буквально по одному. Опыт занял довольно большое время, но результат оказался точно такой же, как при интенсивном источнике электронов: на фотопластинке наблюдались четкие дифракционные кольца.

Таким образом, электроны обладают волновыми свойствами. Как показали многочисленные опыты, то же самое можно сказать обо всех микрочастицах. Была получена дифракция атомов и молекул, электронов и нейтронов, и других микрочастиц. В частности, дифракция нейтронов широко используется для исследования кристаллической структуры материалов. Дифракция электронов на белковых молекулах является стандартным методом исследования белков.

Гипотеза де Бройля была подтверждена безоговорочно. Более того, она стала основой для создания «новой квантовой физики». Существенно расширенная, эта теория по сей день принимается верной для процессов, протекающих на микроуровне. А Луи де Бройлю в 1929 г. была присуждена Нобелевская премия по физике.

Фундамент, на котором строилась вся квантовая теория, можно сформулировать следующим образом:

Фотоны и любые микротела не имеют принципиального различия. И тем и другим сопоставляются как волновые, так и корпускулярные свойства. И те, и другие подчиняются единым принципам.
4.2. Принцип неопределенности Гейзенберга

И свет, и микрочастицы в любой момент одновременно являются и частицей и волной. Только в некоторых случаях одно из свойств выражено меньше. Например, для электромагнитной волны частотой меньше 1012 сЁC1 (это радиоволны) корпускулярные свойства практически невозможно обнаружить, а гамма-излучение (частота больше 1020 сЁC1) ведет себя как частица и не проявляет волновых свойств. Рентгеновское и видимое излучение занимают промежуточное положение (1015 ЎЬ щ ЎЬ 1019 сЁC1), и для этих видов мы можем наблюдать как корпускулярные свойства (фотоэффект, эффект Комптона), так и волновые свойства (дифракция, интерференция). Если же говорить о волновых свойствах частиц, то тут правила еще проще: чем мельче частица, тем заметнее для нее волновые свойства, если же частицу заставить расти, то волновые свойства быстро теряются и остаются только корпускулярные. Можно даже сказать, что каждый из нас обладает волновыми свойствами, однако этот эффект настолько мал, что ни зарегистрировать его каким либо прибором, ни использовать для получения, например, дифракции не возможно. И этот факт наглядно отражен в одном из основных принципов квантовой физики ЁC это принцип неопределенности Гейзенберга.

Для понимания ниже сказанного уточним, что понятие неопределенность здесь имеет смысл некоторого интервала x, в который укладывается значение величины x. То есть, если x = 0, то это значит, что мы имеем точное (или определенное) значение величины x. Итак, одна из возможных формулировок принципа неопределенности гласит:

Произведение неопределенностей координаты x частицы и проекции ее импульса px на ту же ось не может по порядку величины быть меньше постоянной планка ©¤: µ § (4.5)

Если сказать другими словами, то чем точнее мы можем измерить одну из указанных величин, тем больший разброс будет иметь вторая.

Рассмотрим движение частицы вдоль оси Y, на пути которой установлено препятствие с небольшим отверстием (рис. 4.4). До прохождения через отверстие частица имеет вполне определенное значение проекции импульса на ось х, так как по условию задачи известно, что перемещение частицы происходит в заданном направлении.

Рис. 4.4. Прохождение частицы через отверстие малой ширины

Однако при этом мы совершенно не знаем, в какой точке находится частица в каждый момент времени. Знаем, куда движется, не знаем, где находится, и наоборот! То есть для частицы квантовой природы утрачивает смысл понятие траектория.

В тот момент, когда частица проходит через отверстие, мы можем указать для нее довольно точное местоположение ЁC ее координата попадет в интервал x, равный ширине отверстия. В тот же самый момент происходит изменение импульса частицы. Его значение становится неопределенным ровно на столько, на сколько определенным стало значение координаты частицы.

То есть мы получаем некоторый разброс в направлении движения частицы после прохождения преграды, что и отражается в виде появления ненулевого px. Как показывают эксперименты, вследствие дифракции, частица может вылететь в любом направлении в пределах угла 2ц (рассматриваем центральный дифракционный максимум, так как при дифракции на одной щели интенсивность остальных максимумов пренебрежимо мала). Вероятность движения под некоторым углом ц можно измерить, определив степень почернения в точке А на фотопластинке. Как видно из рисунка частица, прошедшая под таким углом имеет неопределенность импульса px:

µ § (4.6)

Для первого дифракционного максимума выполняется соотношение:

µ §

Учтем, что длина волны де Бройля может быть записана через импульс:

µ §

Подставляем в формулу (4.6):

µ § (4.7)

Отсюда получаем: µ § (4.8)

Если учесть, что наблюдаются также еще и максимумы второго и бульших порядков, то математически это означает, что x будет больше, чем мы учли в формуле (4.8). Следовательно, произведение µ § будет больше: µ § (4.9)

Таким образом, мы пришли к соотношению неопределенности Гейзенберга.

Соотношение, аналогичное (4.5), можно записать для другой пары физических величин ЁC энергии и времени:

µ § (4.10)

Выполнение этого условия определяет естественную ширину спектральных линий. На схемах спектры атомов рисуют в виде тонких линий. У реальных линий есть определенная ширина ЁC интервал энергий Е, который соответствует данному энергетическому состоянию. Используя формулу (4.10), можно оценить Е. Время жизни в возбужденном состоянии составляет t ЎЦ 10ЁC8 с. Тогда неопределенность энергии составляет:

µ §

Ширину линии можно выразить через частоту:

µ §

Неопределенность частоты конечно мала по сравнению с абсолютным значением частоты света (щ ~ 1015 сЁC1), но она определяет «размытость» спектрального уровня и называется естественной шириной спектральной линии. Никакой высокоточный прибор, ни увеличение числа измерений не сможет позволить определить энергию спектральной линии с точностью бульшей, чем щ.

Гейзенберг и Бор показали, что ни один эксперимент не может дать результатов, противоречащих соотношениям неопределенности. Даже по отношению к массивным телам эти принципы выполняются, но ограничения, накладываемые на движение крупных тел, являются совсем ничтожными. Например, пусть маленькая капля воды диаметром 0.1 мм (m = 5·10ЁC10 кг) движется со скоростью V = 10 м/с. Если точность измерения ее скорости составляет 10%, то p = mV = 5·10ЁC10 кг·м/с. Тогда неопределенность в определении координаты равна:

µ §,

что в 1020 раз меньше диаметра капли. То есть координата капли в каждый момент известна с точностью 10ЁC24 м.
4.3. Волновая функция

Итак, микрочастицы не подчиняются законам классической механики, их поведение нельзя описать принятыми в классической физике способами. Этот факт заставил ученых создать новую теорию. Новая механика, названная квантовой, основывалась на идеях Планка, Эйнштейна, Борна и де Бройля. Основоположниками стали австриец Эрвин Шредингер (1887 ЁC 1961), немец Вернер Карл Гейзенберг (1901 ЁC 1976) и англичанин Поль Адриен Морис Дирак (1902 ЁC 1984).

Одной из основных при этом стала задача математического описания поведения микрочастиц, причем такое, чтоб характеризующая их функция отражала одновременно и волновые и корпускулярные свойства.

Рассмотрим картину, образующуюся при дифракции электронов на двух щелях. В каждой точке фотопластинки степень почернения, вызванного ударами дифрагированных электронов, определяется интенсивностью волн де Бройля в направлении данной точки (рис. 4.2). Напомним, что согласно волновой теории света, число фотонов в данной точке дифракционной картины задается квадратом амплитуды световой волны, то есть ее интенсивностью. С другой стороны, число электронов в каждой точке дифракционной картины определяется вероятностью их попадания в данную точку. Чтобы учесть волновые свойства микрочастиц, де Бройль предложил рассматривать некую функцию Ш(x,y,z,t), меняющуюся по волновому закону, т.е. как волну де Бройля (см. выше):

µ § (4.11)

где µ § ЁC вектор, определяющий положение частицы в пространстве. Ш(x,y,z,t) была названа волновой функцией.

Идея использовать функцию вида (4.11) возникла в связи с тем, что поведение свободной микрочастицы имело выраженную аналогию с поведением световой волны, описываемой волновыми уравнения колебаний векторов электрической и магнитной напряженностей:

µ § (4.12)

где для учета корпускулярных свойств волновые параметры µ § и µ §заменены с учетом формул (4.1, 4.2) энергией и импульсом рассматриваемой частицы:

µ § (4.13)

Однако, не следует думать, что волновая функция получена простой подстановкой соответствующих параметров в выражения (4.12). Она лишь имеет аналогичную формулировку и отражает корпускулярно-волновые особенности как поведения микрочастиц, так и распространения света.

Правильную интерпретацию волновой функции дал М. Борн в 1926 г. Сама волновая функция имеет комплексное значение и не обладает физическим смыслом ЁC то есть в природе не существует такого параметра, измерение которого дало бы значение, равное волновой функции.

Согласно Борну, физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции, который пропорционален вероятности обнаружить частицу в момент времени t в объеме dV (dx, dy, dz) вокруг точки (x, y, z):

µ § (4.14)

µ § (4.15)

где Ш* ЁC функция, комплексно сопряженная с Ш.

Таким образом, в квантовой механике вводится так называемая волновая функция, которая полностью описывает состояние микрочастицы и при этом отражает как ее корпускулярные, так и волновые свойства.

Вероятность обнаружить частицу в элементе объема dV равна:

µ § (4.16)

Вероятность же нахождения частицы в конечном объеме V, согласно теореме сложения вероятностей, равна:

µ § (4.17)

где интегрирование проводится по координатам x, y, z. Очевидно, что сам факт существования частицы означает, что вероятность найти ее где-либо в бесконечном объеме равна 1:

µ § (4.18)

Выражение (4.18) называется условием нормировки волновой функции.

Волновая функция Ш (x, y, z, t) является комплексной, конечной (в противном случае вероятность обнаружения частицы может оказаться больше 1), однозначной и непрерывной. Забегая вперед, уточним, что непрерывными должны быть и частные производные µ §, µ §, µ §, µ §.

Кроме того, волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции: если система может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями Ш1, Ш2, ...,Шn, ..., то она может находиться в состоянии Ш, описываемом линейной комбинацией этих функций:

µ § (4.19)

где Cn (n = 1, 2, ...) ЁC произвольные комплексные числа.

С помощью волновой функции можно найти средние значения физических величин, таких как средние скорость, расстояние электрона от ядра и другие. В частности средняя скорость частицы будет равна:

µ § (4.20)

^ 5. КВАНТОВЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
5.1. Уравнение Шредингера

Итак, состояние системы описывается волновой функцией Ш, которая определяется конфигурацией системы и конкретным видом силового поля, в котором она находится. Найти волновую функцию частицы, движущейся в каком либо силовом поле, можно с помощью уравнения относительно этой функции:

µ § (5.1)

где µ § ЁC оператор Лапласа, U ЁC потенциальная энергия частицы в конкретном силовом поле (например, энергия электрона в поле притяжения ядра), µ § мнимая единица, m ЁC масса частицы.

Это уравнение (5.1) в 1926 г. получил Шредингер исходя из аналогии между уравнениями, описывающими ход световых лучей с уравнениями, определяющими траектории частиц в классической механике. Уравнение Шредингера постулируется.
5.2. Уравнение Шредингера для свободной частицы

Рассмотрим свободно движущуюся частицу. И если волновой функцией фотона является плоская световая волна, для частиц волновая функция является плоской волной де Бройля, (см. раздел 4).

Для простоты ограничимся одномерным случаем:

µ § (5.2)

Запишем волну де Бройля в комплексной форме:

µ § (5.3)

где частота µ §, волновое число µ §.

Продифференцировав Ш по времени t, а также дважды по координате x, получим: µ §, µ § (5.4)

Отсюда получаем:

µ §, µ § (5.5)

В нерелятивистской классической механике кинетическая энергия E и импульс p связаны соотношением: µ § (5.6)

Подставив в (5.6) выражения (5.5) и сократив на Ш, получим уравнение

µ § (5.7)

которое совпадает с (5.1), если в нем U = 0. Отсутствие внешнего силового поля означает, что частица является свободной. Частицу можно считать свободной, если U(x)=const или в общем случае U(r)=const. В этом случае потенциальную энергию можно принять равной нулю.
5.3. Уравнение Шредингера для частицы в силовом поле

Если частица находится в каком-либо силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, то: µ § (5.8)

где Е ЁC полная энергия частицы

В этом случае уравнение Шредингера будет иметь вид:

µ § (5.9)

Уравнение (5.9) является частным случаем уравнения (5.1) для частицы, совершающей одномерное движение. Уравнение (5.1) называется общим уравнением Шредингера.
5.4. Стационарное уравнение Шредингера

Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно (т.е. постоянно во времени), то функция U не зависит явно от t. В этом случае решение уравнения Шредингера распадается на два множителя, один из которых зависит только от координат, другой ЁC только от времени:

µ § (5.10)

Здесь E ЁC полная энергия частицы, которая в случае стационарного внешнего поля остается постоянной. Подставим (5.10) в (5.1):

µ § (5.11)

Сократив на общий множитель µ §, придем к дифференциальному уравнению, определяющему функцию ш(x, y, z):

µ § (5.12)

Уравнение (5.12) относительно координатной части волновой функции называется стационарным уравнением Шредингера. Далее мы будем иметь дело только с ним.

Это уравнение имеет бесчисленное множество решений, однако при наложении граничных условий, а также упомянутых выше требований (ограниченность, однозначность и непрерывность волновых функций, а также непрерывность частных производных) остается ряд решений, который имеет физический смысл. Эти решения имеют место только при определенных значениях параметра E, которые называются собственными значениями энергии. Совокупность собственных значений Е называется энергетическим спектром. Решения, соответствующие собственным значениям энергии Е, называются собственными функциями задачи.

Простейшей задачей на собственные функции и собственные значения является движение свободной частицы, упомянутой выше. Оно задается уравнением:

µ § (5.13)

Его частным решением является функция µ §, где A=const, ш(x) является координатной частью волновой функции Ш(x,t).

Функции ш(x) соответствуют собственные значения энергии

µ § (5.14)

где µ §. Это выражение верно для нерелятивистской частицы. А поскольку волновое число k может принимать любые положительные значения, то энергетический спектр свободной частицы является непрерывным. Таким образом, свободная частица имеет непрерывный спектр. Для пояснения следует вспомнить спектр излучения электрона в атоме. В этом случае электрон находится в связанном состоянии, и спектр имеет дискретный характер. При отрыве электрона от атома он перестает чувствовать поле ядра, то есть для U Ўж 0, а излучение электрона становится непрерывным, как это предсказывает уравнение Шредингера (5.13).
5.5. Уравнение Шредингера для частицы в потенциальной яме

Нахождение электрона в поле ядра можно приближенно считать движением в трехмерной потенциальной яме. Высота этой ямы определяется величиной кулоновского поля ядра.

Рассмотрим простейший случай ЁC движение частицы в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» ЁC потенциальная энергия на границах имеет бесконечно большое значение. Потенциальная энергия такой ямы шириной l имеет вид:

(5.15)

Рис. 5.1. Одномерная потенциальная яма

Ограничимся рассмотрением стационарных состояний системы, уравнение Шредингера для одномерной задачи в этом случае имеет вид:

µ § (5.16)

Поскольку частица не может проникнуть за пределы потенциальной ямы, то волновая функция ш(x) вне ямы тождественна нулю. В силу условия непрерывности ш(x) должна быть равна нулю и на границах ямы:

µ § (5.17)

Выражение (5.17) является граничным условием задачи.

В пределах ямы (0 ЎЬ x ЎЬ l) U=0, следовательно, уравнение Шредингера имеет вид:

µ § (5.18)

Обозначив через µ § (5.19)

получим уравнение, описывающее колебательный процесс:

µ § (5.20)

Решение этого уравнения имеет вид: µ § (5.21)

Подстановка граничных условий позволяет найти константы щ и б:

µ §, из чего следует, что б=0.

µ §, отсюда получаем:

µ § (n=1, 2, 3,...) (5.22)

При n = 0 решение лишено физического смыла, так как ш = 0 означает, что частица нигде не находится, т.е. не существует.

Подставив щ из (5.22) в выражение (5.20), можно найти собственные значения энергии частицы: µ § (n = 1, 2, 3, ...) (5.23)

Итак, энергия, которой может обладать частица в одномерной потенциальной яме, представляет собой дискретный набор значений, то есть энергетический спектр частицы является дискретным. Минимальное значение энергии частицы, находящейся в потенциальной яме, отлично от нуля. Это проявление волновых свойств частиц. Такой результат может быть получен из соотношения неопределенности.

Как будет двигаться электрон, можно узнать, рассчитав волновые функции: Подстановка найденного значения параметра щ в формулу (5.21) дает вид собственных функций задачи: µ § (5.24)

Подставив волновую функцию (5.24) в условие нормировки (4.18), µ §, найдем параметр µ §.

Таким образом, собственные функции имеют вид:

µ § (n=1,2,3,...) (5.25)

На рисунке показаны волновые функции первых трех энергетических состояний частицы в потенциальной яме шириной l, а также вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы ш2=ш*ш.

а) б) в)

Рис. 5.2. а) энергетический спектр (первые 5 состояний) частицы в потенциальной яме шириной L; б) волновая функция частицы в первых трех состояния; в) квадрат волновой функции частицы = вероятность нахождения частицы в определенной точке потенциальной ямы в первых трех состояниях

В частности видно, что в состоянии n = 2 вероятность обнаружить частицу в середине ямы равна нулю. Напомним, что согласно классическим (не квантовым) соображениям, частица с одинаковой вероятностью может находиться в любой точке ямы.

Такое поведение микрочастиц иллюстрирует тот факт, что к ним не применимо понятие траектория. В частности в состоянии n = 2 частица «перемещается» из левой части ямы в правую и при этом не проходит через «середину» этой ямы.

Оценим расстояние между уровнями:

µ § (5.26).

Видно, что чем больше масса частицы и геометрические размеры области, в которой эта частица ограничена, тем меньше расстояние между соседними уровнями. Разумеется, для тел с большой массой ни о каких квантовых эффектах говорить не приходится. Но даже, если взять m порядка массы молекулы (~10ЁC26 кг), а l порядка 0.1 м (размер сосуда, в котором находится молекула), расстояние между уровнями составит En ЎЦ n·10ЁC20 эВ. Спектр с такой густотой линий будет восприниматься как сплошной, а молекула будет вести себя как классическая частица.

Такая же приблизительно ситуация складывается с движением электрона в проводнике. В этом случае в формулу (5.26) нужно подставить массу электрона m ~ 10ЁC30 кг, геометрические размеры области, в которой ограничен электрон, для определенности возьмем l = 0.1 м. Тогда En ЎЦ n·10ЁC16 эВ, то есть квантовые эффекты будут мало заметны, и поведение электрона в проводнике также будет иметь классический характер.

Итак, квантовый характер движения будет иметь только малая частица (нуклон, электрон, атом и даже молекула), ограниченная в очень малой области пространства. Эти условия выполняются, например, для электронов, находящихся в поле ядра. В этом случае масса электрона m ~ 10ЁC30 кг, l ЎЦ 10ЁC9 м, тогда расстояние между уровнями будет En ЎЦ n·1 эВ. В этом случае квантование энергии будет выраженным, следовательно, и поведение электрона будет отличным от классического.

Можно показать, что стационарные уровни в потенциальной яме возникают лишь в том случае, если Е1 В U. То есть в потенциальной яме рассматриваемого вида уровни возникают лишь при условии:

µ § (5.27)

В левой части этого неравенства стоят параметры потенциальной ямы (глубина и ширина), а в правой ЁC только постоянные числа и универсальные постоянные. Если полученное нами условие не выполнено (потенциальная яма слишком узкая или слишком мелкая), в ней не помещается ни одного энергетического уровня. Такие случаи встречаются не так уж редко. Силы взаимодействия между двумя нейтронами являются слабыми силами притяжения. Эти силы определяют величину потенциальной энергии U. Ядра, состоящего из двух нейтронов, в природе не существует, так как потенциальная яма, в которой должны находиться два нейтрона в каких-либо состояниях, не удовлетворяет указанному выше условию (5.27). Аналогичным образом не существует и ядра, состоящего из двух протонов. Сила взаимодействия между протоном и нейтроном совсем немного больше, чем сила взаимодействия двух нейтронов или протонов. Но этой небольшой разницы достаточно, чтоб потенциальная энергия U уже удовлетворяла условию (5.27). В такой яме может образоваться только один уровень ЁC одно состояние. Связанное состояние нейтрона и протона называется дейтроном. Возбужденного состояния дейтрона не существует, так как в соответствующей потенциальной яме может образоваться только одно состояние.

^ 6. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
6.1. Прохождение частицы через потенциальный барьер.

Туннельный эффект

Рассмотрим движение частицы при прохождении потенциального барьера. Пусть она движется слева направо и встречает на своем пути потенциальный барьер высотой U0 и шириной l (рис. 6.1). Согласно классической теории, если энергия частицы больше высоты барьера (E > U0), то она беспрепятственно пройдет над барьером.

Рис. 6.1. Потенциальный барьер

При этом скорость частицы несколько снизится в области II и примет первоначальное значение в области III. Если же энергия частицы меньше высоты барьера (E < U0), то сквозь барьер она проникнуть не сможет, поэтому отразится от стенки барьера и полетит в обратном направлении.

Квантовая механика предсказывает иное поведение частицы. В частности, даже если E>U0, существует ненулевая вероятность, что частица отразится от барьера и полетит в обратную сторону. В тоже время частица может проникнуть сквозь барьер независимо от того, превышает ли ее энергия величину потенциального барьера или нет.

Рассмотрим ситуацию, когда E
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

Похожие:

Курс лекций утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Воронеж 2011 iconКурс лекций утверждено Редакционно-издательским советом университета...
Рембеза Е. С. Квантовая, атомная и ядерная физика: курс лекций: учеб пособие / Е. С. Рембеза, В. С. Железный, Е. А. Косякова. Воронеж:...
Курс лекций утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Воронеж 2011 iconРоссийской федерации
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
Курс лекций утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Воронеж 2011 iconСтратегическое планирование учебное пособие москва 2011 фгб оу впо...
Рекомендовано редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
Курс лекций утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Воронеж 2011 iconВ. В. Жуков Основы менеджмента
Утверждено в качестве методического пособия редакционно-издательским советом мгудт
Курс лекций утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Воронеж 2011 iconМетодические указания к лабораторной работе №2 по дисциплине «Основы...
Утверждено редакционно-издательским советом Тюменского государственного нефтегазового университета
Курс лекций утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Воронеж 2011 iconУчебное пособие Под редакцией И. Б. Гриншпуна Рекомендовано Редакционно-издательским...
И. В. Дубровина Л. П. Кезина М. И. Кондаков В. Г. Костомаров О. Е. Кутафин Н. Н. Малофеев
Курс лекций утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Воронеж 2011 iconУчебно-методическое пособие /Т. П. Синютина, Л. Ю. Миколишина, Т....
Работа одобрена редакционно-издательским советом академии в качестве учебно-методического пособия
Курс лекций утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Воронеж 2011 iconКурс сравнительного правоведения
Рекомендовано Советом по правоведению Учебно-методического объединения университетов Российской Федерации в качестве учебного пособия...
Курс лекций утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Воронеж 2011 iconРадугин А. А. Р15 Философия: курс лекций. 2-е изд., перераб и дополн
...
Курс лекций утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Воронеж 2011 iconРадугин А. А. Р15 Философия: курс лекций. 2-е изд., перераб и дополн
...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
userdocs.ru
Главная страница