Линейные цепи постоянного тока


НазваниеЛинейные цепи постоянного тока
страница3/4
Дата публикации04.06.2013
Размер0.52 Mb.
ТипРеферат
userdocs.ru > Физика > Реферат
1   2   3   4
Раздел 2 Линейные цепи переменного тока
Глава 1 Основные понятия переменного тока
Переменный ток – это ток, изменяющийся во вре-мени. Практически в технике используются периодиче-ские напряжения и токи.

Рассмотрим основные параметры периодических токов и напряжений, которые присущи всем периодиче-ским процессам.

- Мгновенное значение – значение напряжения u(t) и тока i(t) в данный момент времени;

- Период – наименьший промежуток времени T, по истечении которого функция тока или напряжения повторяет своё мгновенное значение;

- Частота – величина обратная периоду. В физике обычно обозначается буквой ν, в технике – буквой f;

f = 1/T

Частота измеряется в Герцах – 1 Гц = 1/с = с-1

- Угловая частота (или циклическая частота) ω – показывает какой угол (в радианах) проходится в секунду;

По аналогии с движением по окружности период составляет 3600 или 2π радиан. Таким образом, ω показывает, какая часть периода проходится в секунду.

ω = 2πf = 2π/Т

ω измеряется в рад/с или с-1 (но не в Герцах!)

Перечисленные основополагающие величины хорошо известны из физики средней школы. Рассмотрим некоторые новые параметры, часто используемые в электротехнике.

- Среднее значение за период (постоянная составляющая) – определяется следующим образом:

Пример показан на рисунке 2.1

Для периодической функции, симметричной относи-тельно оси времени, U0 = 0.




- Действующее значение тока (напряжения) – численно равно значению постоянного тока (напряжения), которое в сопротивлении за период Т выделяет столько же тепла, сколько при тех же условиях выделяет переменный ток (напряжение). Называется также среднеквадратичным значением и обозначается, как и постоянный ток – без индекса: U или I.

В ряде случаев не важны форма напряжения, период, частота и др. параметры, а важна лишь энергия или мощность, которая выделяется в нагрузке.

Действующее значение является одним из основных параметров переменного тока.


Наиболее распространённым видом переменного тока по многим причинам является синусоидальный ток.

Рассмотрим его параметры.

- Мгновенное значение:

u(t) = Umsin (ωt+ψu)

i(t) = Imsin (ωt+ψi)

- Амплитуда Um (Im)– максимальное значение;

ω – угловая частота;

- Фаза (или полная фаза): ψ(t) = ωt + ψ – угол в радианах, соответствующий моменту времени t;

- Начальная фаза - ψui) – угол в радианах в начальный момент времени при t = 0;
Синус и косинус – напоминаем – отличаются только начальной фазой, Синусоидальный ток с тем же успехом можно называть косинусоидальным.
- Действующее значение U (I);
Выведем формулу.



Найдём интеграл:



Второй интеграл равен нулю, так как косинус – чётная функция на периоде Т.

Таким образом:



Аналогично:
Часто студенты ошибаются, говоря, что действующее значение всегда в √2 раз меньше амплитудного. Запомните – это справедливо только для синусоидального тока!
- Средневыпрямленное значение Uср.

Среднее значение функции, симметричной относительно оси t, равно нулю. Поэтому для синусоидального тока используют параметр средневыпрямленное значение (среднее за полпериода).

Для синусоидального тока Uср = 2Um/π ≈ 0,637 Um
^ Глава 2 Активные и реактивные элементы
Представление синусоидальных величин в виде

векторов
Действия с синусоидальными величинами, очевид-но, намного сложнее, чем с постоянными. Для переменно-го тока используют свои специальные методы расчёта. Рассмотренные ниже методы расчёта предполагают, что все токи и напряжения имеют одну и ту же частоту ω. При различных частотах разных источников энергии эти методы работать не будут.

Одним из методов является представление токов и напряжений в виде векторов.

Пусть имеется ток - i(t) = Imsin (ωt+ψi)

Представим его в виде радиус-вектора (рисунок 2.2)



Длина вектора равна амплитудному или действую-щеему значению I. Угол, образуемый вектором с осью t, равен начальной фазе ψi. Угол отсчитывается как обычно в тригонометрии: от оси абсцисс против часовой стрелки. В данном примере ψi > 0.

Вектор вращается против часовой стрелки с угловой частотой ω.
Как известно, синус – проекция вращения вектора единичной длины на ось ординат при вращении его против часовой стрелки с частотой ω.

Аналогично: мгновенное значение i(t) - проекция вращения вектора длиной I на ось ординат при вращении его против часовой стрелки с частотой ω.

Таким же образом можно представить несколько токов или напряжений. Суммой их будет вектор, равный сумме векторов (рисунок 2.3).


Пусть имеются два тока:

i1(t) = Im1sin (ωt+ψ1)

i2(t) = Im2sin (ωt+ψ2)
Суммой их является вектор I (рисунок 2.3)

i(t) = Imsin (ωt+ψ)
Действуют все математические правила действий с векторами. Все вектора вращаются против часовой стрелки с частотой ω, взаимное их расположение при этом не меняется.

Если нет необходимости определять мгновенные значения, то один из векторов можно направить произвольно, главным является взаимное расположение векторов, сдвиг фаз между ними.

То же самое действует и в отношении напряжений. Также можно использовать амплитудные или действую-щие значения.
^ Комплексные числа.

Символический метод расчёта
Другим методом расчёта является символический метод – представление векторов в виде комплексных чисел.

Комплексное число (назовём здесь его Z) имеет действительную и мнимую части. Назовём их R и X. Запись числа в алгебраической форме:

Z = R+jX,

Где j = √-1– «мнимая единица». j2 = -1. В математике также обозначается не j, а буквой i.

Комплексное число может быть представлено векто-ром (или точкой) на комплексной плоскости, где по оси ординат откладывается действительная часть, а по оси абсцисс – мнимая часть (рисунок 2.4).

Именно так в дальнейшем будут обозначаться сопротивления:

R – активное сопротивление;

X – реактивное сопротивление;

Z – полное сопротивление.
Далее эти понятия (R, X, Z) будут изучаться детально.
Существует также показательная форма записи комплексных чисел:

Z = ‌‌Ze
Перевод из одной формы в другую производится, используя формулы Эйлера:

e = cos φ + j sin φ

e-jφ = cos φ - j sin φ
Ещё одна форма записи – тригонометрическая:

Z = Z cos φ + j Z sin φ
Формулы перевода из одной формы в другую имеют вид:




φ = arctg X/R

R = Z cos φ

X = Z sin φ
‌‌

Z = R + jX


Аналогично в символической (комплексной) форме записывается ток и напряжение:

İ = I ei , Ú = U eu

Выражение для комплексов тока и напряжения обычно записываются через действующие значения, но могут быть также записаны и через амплитудные:

İm = Imei , Úm = Umeu
Пояснения к обозначениям. Может возникать путаница при одинаковых обозначениях, например: I – «комплекс тока» и I – «действующее значение тока». То же касается Z и U. Поэтому для символического обозначения комплексного числа нужно использовать другое обозначение. Для функции времени – напряжения и тока – используется обозначение с точкой вверху. Сопротивление Z не является функцией времени, поэтому обозначать его Ż ошибочно. Для сопротивления принято для комплекса обозначение с подчёркиванием снизу: Z.

Для операций сложения (вычитания) удобна запись комплекса в алгебраической форме, для умножения (деления) – в показательной. При выполнении расчётов вручную, часто приходится преобразовывать одну форму в другую, что является довольно громоздким и трудоёмким.
Активное сопротивление в цепи переменного тока

Рисунок 2.5 - Резистор в цепи переменного тока


На рисунке 2.5 показана простейшая цепь с резисто-ром, подключённым к синусоидальному напряжению.
UR(t) = Umsin (ωt+ψu) = i(t) R
iR(t) = Um/R sin (ωt+ψu) = Imsin (ωt+ψi)
ψu = ψi
Im=Um/R или, для действующих значений, I = U/R – закон Ома.

В комплексной форме закон Ома: Ú = İ Z

В данном случае - Z = R , Ú = İ R
Комплексное сопротивление в этой цепи является чисто действительным числом, мнимая часть сопротивле-ния равна нулю – Х = 0 и R называется активным сопротивлением.
Угол φ = ψui – называется сдвигом фаз между током и напряжением.

В цепи с активным сопротивлением R сдвиг фаз между током и напряжением равен нулю:
φ = 0, ψu = ψi
Вектора тока и напряжения совпадают по направлению. Совпадают также формы тока и напряжения.

Катушка индуктивности в цепи переменного тока
Зависимость между током и напряжением в катушке индуктивности L (рисунок 2.6) выражается формулой:







Пусть через катушку течёт ток:
iL(t) = Im sin (ωt + ψi)
Тогда напряжение на катушке:
uL(t) = LImω cos (ωt + ψi) = ωLImsin (ωt + ψi+π/2) =

= UmLsin (ωt + ψu)

где UmL= ωLIm

ψu= ψi+ π/2

Таким образом, ток в катушке отстаёт от напряжения на ней на 900 (рисунок 2.7).



Коэффициент пропорциональности между током и напряжением имеет размерность сопротивления и называется: индуктивным сопротивлением.
XL = UmL/ImL = UL/IL = ωL
XL всегда положительно

Для постоянного тока ω = 0 => XL = 0
При постоянном напряжении, катушка представляет собой просто провод, сопротивлением которого мы дого-ворились пренебрегать, хотя в реальности его активное сопротивление R, хоть и мало, но не равно нулю.

Важное замечание: индуктивное сопротивление XL имеет смысл только для синусоидального тока и равно отношению действительных либо амплитудных, но никак не мгновенных значений!

ХL ≠ uL(t) / iL(t)

^ Конденсатор в цепи переменного тока
Пусть к конденсатору приложено напряжение u(t) (рисунок 2.8):




uc(t) = Um sin (ωt + ψu)
Ток через конденсатор:


Если напряжение постоянно, то ток через конденсатор равен нулю. Для переменного тока:
iC(t) = C Umω cos (ωt + ψu) = ωCUm sin (ωt +ψu+ π/2) = = Im sin (ωt + ψi)
Амплитуда тока: Im = ω C Um

Начальная фаза тока: ψi= ψu+ π/2

Таким образом, ток в конденсаторе опережает напряжение на нём на 900 (рисунок 2.9).

Коэффициент пропорциональности между током и напряжением имеет размерность сопротивления и называет-ся: ёмкостное сопротивление.
XС = UmС/ImС = UС/IС = 1/ωC
XС всегда положительно

Для постоянного тока ω = 0 => XС = ∞

При постоянном напряжении, конденсатор предста-вляет собой бесконечное сопротивление – разрыв в цепи.



Так же, как и в катушке индуктивности: ёмкостное сопротивление XС имеет смысл только для синусоидального тока и равно отношению действительных либо амплитудных, а не мгновенных значений.
ХС ≠ uС(t) / iС(t)
В конденсаторе и катушке комплексное сопротивление является чисто мнимым числом, действительная часть (активное сопротивление) равна нулю – R = 0.


^ Глава 3 Цепи с соединением R, L, C
В цепях переменного тока существует:
- активное сопротивление R;

- реактивное сопротивление Х.

- полное сопротивление Z
Напомним основные соотношения между ними в комплексной форме:

‌‌ Z = R + jX



φ = arctg X/R

R = Z cos φ

X = Z sin φ


Для наглядности можно это представить в виде треугольника сопротивлений (рисунок 2.10).



Реактивное сопротивление Х делится на индуктивное ХL и ёмкостное XC:
Х = ХL-XC = ωL - 1/ωC
Для катушки: - Х = ХL= ωL

Для конденсатора: Х = - ХС = - 1/ωC
В комплексной форме реактивное сопротивление:

Z = jX = j(ХL-XC)
На рисунке для примера реактивное сопротивление и угол φ показаны положительными (индуктивное сопротивление). При ёмкостном сопротивлении вектор Х будет направлен вниз.

Закон Ома: Ú = İ Z

φ = ψui – сдвиг фаз между током и напряжением.
Замечание во избежание путаницы в определениях. Все величины – и токи, и напряжения и сопротивления являются комплексными и имеют действительную и мнимую части. Но термины «активный» и «реактивный» обычно относятся только к сопротивлениям.

В ряде случаев, как и для постоянного тока, используют понятия проводимости. В цепях переменного тока она также может содержать активную (действительную) и реактивную (мнимую) составляющие.
G = 1/R – активная проводимость;

B = 1/X – реактивная проводимость;

Y = 1/Z – полная проводимость;

Y = 1/Zкомплексная проводимость.



Все соотношения такие же, как для сопротивлений, за исключением знака «минус». Треугольник проводимостей показан на рисунке 2.11.




Y = G - jB


φ = arctg (B/G)

G = Y cos φ

B = Y sin φ

Используя полученные соотношения, рассмотрим несколько более сложные цепи, содержащие и активные и реактивные элементы.

^ Последовательное соединение R и L
На рисунке 2.12 показана цепь с последовательным соединением резистора R и катушки L.



Пусть ток в цепи равен iL(t) = Im sin (ωt + ψi)

Комплекс тока: İ = I ei

Полное сопротивление цепи: Z = R + jωL = Z e ,

где φ = arctg (X/R) = arctg (ωL/R)
Треугольник сопротивлений показан на рис. 2.13.



По закону Ома Ú = İ Z = I ei Z e = IZ ej(ψi +φ)

Ú = U eu

Таким образом: U = I Z, ψu = ψi + φ

Напряжение в цепи опережает ток на угол φ.

Напряжение в цепи равно сумме напряжений на резисторе UR и на катушке UL. Рассчитаем их.

Ú = U ej(ψi +φ) = U cos (ψi +φ) + j U sin (ψi +φ)

Если принять для простоты ψi = 0, то

Ú = U e = U cos φ + j U sin φ = UR + UL

UR = U cos φ

UL = U sin φ



Векторная диаграмма тока и напряжений показана на рисунке 2.14.



Последовательное соединение R и C
На рисунке 2.15 показана цепь с последовательным соединением резистора R и конденсатора C.

В этой цепи все выводы аналогичны цепи последовательного соединения R и L, с той разницей, что реактивное сопротивление равно Хс вместо ХL,
Ток в цепи равен iL(t) = Im sin (ωt + ψi), İ = I ei
Полное сопротивление цепи: Z = R – j/ωС = Z e-jφ ,

где φ < 0, модуль│φ│= arctg (XС/R) = arctg (1/ ωRС)



Треугольник сопротивлений показан на рис. 2.16.



По закону Ома Ú = İ Z = I ei Z e- = IZ ej(ψi - φ)

Ú = U eu

Таким образом: U = I Z, ψu = ψi - φ

Ток в цепи опережает напряжение на угол φ.
Напряжение в цепи равно сумме напряжений на резисторе UR и на конденсаторе UС.

Ú = U ej(ψi - φ) = U cos (ψi - φ) + j U sin (ψi - φ)
Если ψi = 0, то

Ú = U e- = U cos φ - j U sin φ = ÚR + ÚC

UR = U cos φ

UC = U sin φ



Векторная диаграмма тока и напряжений показана на рисунке 2.17

Параллельное соединение R и L
Параллельное соединение катушки и конденсатора показано на рисунке 2.18. Методы расчёта не отличаются от рассмотренных в предыдущих примерах, поэтому можно обойтись без детальных пояснений.

При параллельном соединении удобнее использо-вать понятие проводимости, а не сопротивления, так как общая проводимость цепи равна сумме проводимости двух её ветвей.

Y = YR+YL

YR= GR- jBR = GR = 1/R

YL= GL- jBL = - jBL = - j/XL = - j/ωL

Y = 1/R - j/ωL = Y e-jφ

φ = arctg (B/G)



Треугольник проводимостей показан на рис. 2.19.



На вход подано напряжение: Ú = U eu
Тогда ток: İ =YÚ =Y e- U eu = UY ej(ψu - φ) = I ej(ψu - φ)
İ = İR + İL

IR = I cos φ

IL = I sin φ



ψi = ψu - φ

φ = ψu - ψi > 0
Векторная диаграмма тока и напряжений показана на рисунке 2.20.


Как обычно – ток в катушке отстаёт от напряжения на катушке на 900, на активном сопротивлении – ток и напряжение совпадают по фазе. В данной цепи сдвиг фаз между током и напряжением

0 < φ < 900
Параллельное соединение R и C
В четвёртой схеме, наверное, можно совсем обойтись без пояснений. Схема показана на рисунке 2.21.




Y = YR+YС

YR= GR- jBС = GR = 1/R

YС= GС- jBС = - jBС = j/XС = jωС

Y = 1/R + jωС = Y e

φ = arctg (B/G)



Треугольник проводимостей показан на рис. 2.22.



На вход подано напряжение: Ú = U eu
Ток в цепи: İ =YÚ =Y e U eu = UY ej(ψu + φ) = I ej(ψu+φ)
İ = İR + İС

IR = I cos φ

IС = I sin φ



ψi = ψu + φ

φ = ψu - ψi < 0
Векторная диаграмма тока и напряжений показана на рисунке 2.23.

1   2   3   4

Похожие:

Линейные цепи постоянного тока iconПрактическая работа №1 Тема : исследование ципей постоянного тока
Цель: Научится собирать последовательные,параллельные и смешанные цепи постоянного тока правельно подключать приборы для измерения...
Линейные цепи постоянного тока icon1. Понятие электрической цепи, электрической схемы, схемы замещения,...
Электрическая цепь  — совокупность устройств, элементов, предназначенных для протекания электрического тока, электромагнитные процессы...
Линейные цепи постоянного тока iconРасчетно-графическое задание №1 Анализ линейной электрической цепи постоянного тока

Линейные цепи постоянного тока iconРабочая программа -2012 г по курсу «Электротехника, электроника и схемотехника»
...
Линейные цепи постоянного тока iconИсследование линейной электрической цепи постоянного тока со смешанным соединением резисторов
Усовершенствовать навыки сборки электрических цепей и пользования электроизмерительными приборами
Линейные цепи постоянного тока icon2 Схема замещения электрической цепи постоянного тока и ее элементы
...
Линейные цепи постоянного тока iconВопросы к зачёту по курсу "Теоретические основы электротехники"
Мощность в цепи постоянного тока. Баланс мощности. Измерение мощности ваттметром
Линейные цепи постоянного тока iconВопросы к зачёту по курсу "Электротехника" для студентов специальности "Мехатроника"
Мощность в цепи постоянного тока. Баланс мощности. Измерение мощности ваттметром
Линейные цепи постоянного тока icon1 3 Задача. Расчёт разветвлённой линейной цепи постоянного тока
...
Линейные цепи постоянного тока iconИсточники стабильного тока и их применение в радиоаппаратуре
Это первич­ный источник питания, регулирующий элемент, датчик тока и нагруз­ка. В большинстве конструкций используется также цепь...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница