Задача проверки гипотез заключается в проверке согласования теоретических априорных предположений об объекте исследования (испытаний, управления, регулирования) с опытными данными в условиях действия случайных факторов.


НазваниеЗадача проверки гипотез заключается в проверке согласования теоретических априорных предположений об объекте исследования (испытаний, управления, регулирования) с опытными данными в условиях действия случайных факторов.
страница3/5
Дата публикации05.03.2013
Размер0.63 Mb.
ТипЗадача
userdocs.ru > Математика > Задача
1   2   3   4   5

^ Критические значения критери Мизеса

a

0,03

0,05

0,1

0,2






0,55

0,4614

0,3473

0,2415


П р о ц е д у р а п р о в е р к и г и п о т е з ы о в и д е ф у н к ц и и р а с п р е д е л е н и я по критерию Мизеса.

1. Задают уровень значимости ?

2. По выборочным данным строят выборочную функцию распределения в соответствии с указаниями разд. 2.2

3. Вычисляют точечные оценки моментов.

4. Из теоретических соображений, по виду выборочной функции распределения, по соотношениям между моментами, по значениям асимметрии и эксцесса, по результатам анализа других данных выдвигается гипотеза о виде функции распределения и тем самым – о виде плотности распределения .

5. Вычисляют r параметров предполагаемой функции распределения и ее значения при ,.

6. Вычисляют статистику критерия



7. Полученное значение сравнивают с критическим значением .

8. Если делают вывод о том, что экспериментальные данные не подтверждают справедливость выдвинутой гипотезы, или о том, что отсутствуют достаточные основания для того, чтобы считать нулевую гипотезу справедливой. Гипотеза пересматривается, выдвигается новая нулевая гипотеза и выполняется переход на п. 4 данной процедуры.

9. Если , делают вывод о том, что экспериментальные данные подтверждают справедливость выдвинутой гипотезы, или о том, что имеются достаточные основания для того, чтобы считать нулевую гипотезу справедливой.

Критерий Мизеса – равномерно наиболее мощный критерий проверки гипотезы о виде функции распределения.
2.5.6. Проверка гипотез при полиномиальной аппроксимации

2.5.6.1. Критерий Кочрена проверки гипотезы о равенстве дисперсий

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий при полиномиальной аппроксимации – это, по сути дела, проверка гипотезы о равноточности измерений значений аппроксимируемой функции. От исхода проверки этой гипотезы зависит выбор метода аппроксимации: МНК или ОМНК (см. разд. 2.3.7.2). Применяется в тех случаях, когда характеристики погрешностей измерений аппроксимируемой функции неизвестны и трудоемкость выполнения ОМНК значительно выше трудоемкости выполнения МНК.

Формулировка гипотезы.

Имеется k выборок , объемом n каждая. Выборки изъяты из нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых . По выборочным значениям вычислены оценки математических ожиданий и дисперсий

, .

Выдвигается гипотеза

против альтернативы .

Статистика критерия Кочрена

.

Критическое значение выбирается из таблиц критических значений критерия Кочрена. Эти таблицы приведены в учебниках и специальных таблицах математической статистики.

Рассчитанное значение статистики критерия сравнивается с критическим значением. Если , делают вывод о том, что нулевая гипотеза не противоречит экспериментальным данным, и для аппроксимации применяется МНК (см. разд. 2.3.7.2, 2.3.7.6).

В противном случае, если , делается противоположный вывод, и для аппроксимации применяется ОМНК (см. разд. 2.3.7.2, 2.3.7.6).
^ 2.5.6.2. Проверка гипотезы о степени аппроксимирующего полинома,

характеристики погрешностей измерений известны

a) Измерения однократные. Постановка задачи полиномиальной аппроксимации некоторой исследуемой функции y = f(x) и метод ее решения изложены в разд. 2.3.7.1, 2.3.7.2. В соответствии с материалами этих Раздело исходными данными для полиномиальной аппроксимации функции y = f(x) являются ее значения в k дискретных точках, возмущенные погрешностями. Эти значения были объединены в вектор . С другой стороны, вектор точных значений аппроксимируемой функции выражался, как , где – вектор точных значений коэффициентов искомого полинома. Степень искомого полинома q полагалась известной, а погрешности – распределенными нормально: . Тогда вектор отсчетов также распределен нормально: , то есть . Эта ситуация именовалась как случай известной модели.

В разд. 2.3.7.2 были получены ММП-оценки коэффициентов путем минимизации квадратичных форм

– для равноточных измерений и применения МНК;

– для неравноточных измерений и применения ОМНК.

Из-за случайности погрешностей измерений оценки также случайны, а значит, случайными являются векторы и вслед за ними – квадратичные формы, которые определены в разд. 2.3.7.2:

– при применении МНК;

– при применении ОМНК.

Поскольку найденные оценки коэффициентов несмещены,

.

В разд. 2.3.7.3 приведены плотности распределения этих квадратичных форм в условиях, когда плотности распределения погрешностей нормальны и модель известна. Плотности распределения обеих квадратичных форм одинаковы: это плотность распределения хи-квадрат с kq – 1 степенями свободы, то есть

.

На практике модель практически никогда не бывает известной. Тогда при ошибочном назначении степени p аппроксимирующего полинома, меньшей, чем истинная степень q, оценки коэффициентов оказываются смещенными (см. также п. 2.3.7.4, замечание 4), поэтому , значения существенно возрастают, и плотность распределения изменяется. При увеличении степени аппроксимирующего полинома и в особенности при p > q ухудшается обусловленность матриц и , и теряется вычислительная устойчивость МНК и ОМНК (см. разд. 2.3.7.7). Поэтому случаи, когда p > q , не рассматриваются.

Итак, пусть в изложенных условиях при истинной степени аппроксимирующего полинома q была назначена степень p < q, и с помощью МНК или ОМНК получены оценки p + 1 коэффициента. Обозначим вектор найденных таким образом оценок , а квадратичные формы, вычисленные при этих значениях оценок – .

Сформулируем гипотезу.

степень аппроксимирующего полинома p = q;

степень аппроксимирующего полинома p < q.

Статистикой критерия проверки этой гипотезы является величина , которая при p = q, то есть при справедливости нулевой гипотезы, равна и распределена как (см. разд. 2.3.7.3). Поэтому в качестве критического значения при заданной вероятности ? выбирается (1 - ?)100-процентная квантиль из таблицы квантилей распределения хи-квадрат с  (k - q - 1) степенями свободы.

П р о ц е д у р а п р о в е р к и г и п о т е з ы в условиях, когда заданы вид полинома (степенной, обобщенный по разд. 2.3.7.9) и вероятность ?.

1. Оценивают коэффициенты полинома

или .

2. Вычисляют статистику критерия



или .

3. Значение статистики сравнивают с критическим значением:

если , делают вывод о том, что нет достаточных оснований для того, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу;

в противном случае, если , делают вывод о том, что нет достаточных оснований для того, чтобы считать нулевую гипотезу справедливой.

b) ^ Измерения многократные.

Этот случай отличается от предыдущего тем, что в качестве исходных данных для полиномиальной аппроксимации используется не вектор результатов однократных измерений , а вектор средних арифметических значений результатов многократных измерений. В условиях, перечисленных ранее для однократных измерений, вектор средних арифметических значений обладает свойствами (см. также разд. 2.3.4.3, 2.3.7.5) :

, , .

При равноточных измерениях, когда применяется МНК,

,

где E – единичная матрица (см. также разд. 2.3.7.2) .

Если для аппроксимации назначена степень полинома p и - вектор оценок (p + 1) коэффициента этого полинома, то статистикой критерия проверки гипотезы о степени полинома будет

.

Когда измерения равноточные и применяется МНК,

.

Как и ранее, при условии справедливости нулевой гипотезы, то есть при p = q, и Критическое значение при заданном значении вероятности ? есть .

Гипотеза формулируется по аналогии с формулировкой, приведенной для однократных измерений.
степень аппроксимирующего полинома p = q,

степень аппроксимирующего полинома p < q.

П р о ц е д у р а п р о в е р к и г и п о т е з ы в условиях, когда заданы вид полинома (степенной, обобщенный по разд. 2.3.7.9) и вероятность ?.

1. Оценивают коэффициенты полинома

или .

2. Вычисляют статистику критерия

или .

3. Значение статистики сравнивают с критическим значением:

если , делают вывод о том, что нет достаточных оснований для того, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу;

в противном случае, если , делают вывод о том, что нет достаточных оснований для того, чтобы считать нулевую гипотезу справедливой.

Заметим, что в соответствии с центральной предельной теоремой плотность распределения средних арифметических асимптотически нормальна. Поэтому, начиная с n = 15–20, требования к нормальности погрешностей измерений могут быть значительно смягчены.
^ 2.5.6.3. Проверка гипотезы о степени аппроксимирующего полинома,

характеристики погрешностей измерений неизвестны

Если характеристики погрешностей измерения значений аппроксимируемой функции неизвестны, то неизбежно приходится выполнять многократные измерения и по результатам этих измерений оценивать характеристики погрешностей: дисперсии или ковариационную матрицу . Выполнение эксперимента в этой ситуации и вычисление оценок производится в соответствии с указаниями разд. 2.3.4.3, 2.3.4.4, 2.3.7.6. Для выяснения равноточности или неравноточности выполненных измерений проверяется гипотеза о равенстве дисперсий по критерию Кочрена (см. разд. 2.5.6.1) и принимается решение о применении МНК или ОМНК. При вынужденном пренебрежении коррелированностью между измерениями по причинам, отмеченным в разд. 2.3.4.7, матрица оказывается диагональной (см. разд. 2.3.7.6), и это обстоятельство несколько снижает эффективность оценок коэффициентов аппроксимирующего полинома, но оценки коэффициентов остаются несмещенными, если, конечно, назначенная степень полинома p равна истинной степени q.

Здесь, как и ранее в разд. 2.5.6.2, б), в качестве исходных данных для полиномиальной аппроксимации используется не вектор результатов однократных измерений , а вектор средних арифметических значений результатов многократных измерений. С учетом замены матрицы ее оценкой (см. разд. 2.5.6.2, б)

, , .

Если по результатам проверки гипотезы о равенстве дисперсий по критерию Кочрена принято решение о применении МНК, то

, ,

где E – единичная матрица, – оценка дисперсии равноточных измерений, которая вычисляется, как среднее арифметическое значение оценок дисперсий найденных при каждом значении , как указано в разд. 2.3.7.6:

.

Если для аппроксимации назначена степень полинома p, и – вектор оценок p - 1 коэффициента этого полинома, и по результатам проверки гипотезы о равенстве дисперсий принято решение о применении МНК, статистикой критерия проверки гипотезы о степени полинома будет

,

где ;

в противном случае, при применении ОМНК,

,

где .

При условии справедливости нулевой гипотезы, то есть при p = q, как указано выше в разд. 2.3.7.6, статистика в обоих случаях распределена по закону распределения Фишера (см. [5], стр. 485):

при применении МНК с количеством степеней свободы (k - p - 1) и (n - 1);

при применении ОМНК с количеством степеней свободы (k - p - 1) и (n - k + p + 1).

Гипотеза о степени полинома формулируется по аналогии с формулировкой, приведенной в разд. 2.5.6.2 :

степень аппроксимирующего полинома p = q,

степень аппроксимирующего полинома p < q.

П р о ц е д у р а п р о в е р к и г и п о т е з ы в условиях, когда заданы вид полинома (степенной, обобщенный по разд. 2.3.7.9) и вероятность ?, а также вычислены оценки и или и .

1. Оценивают коэффициенты полинома

или .

2. Вычисляют статистику критерия

в случае МНК ;

в случае ОМНК .

3. Значение статистики сравнивают с критическим значением распределения Фишера:

при МНК, если ;

при ОМНК, если ;

делают вывод о том, что нет достаточных оснований для того, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу;

в противном случае делают вывод о том, что нет достаточных оснований для того, чтобы считать нулевую гипотезу справедливой.

Критические значения плотности распределения Фишера приведены в таблицах математической статистики (см. [13, 14] и др.)
1   2   3   4   5

Похожие:

Задача проверки гипотез заключается в проверке согласования теоретических априорных предположений об объекте исследования (испытаний, управления, регулирования) с опытными данными в условиях действия случайных факторов. iconПредполагает, как правило, наличие двух сопоставимых групп сегментов...
При эксперименте в условиях пробного сегмента меняется один или несколько факторов рыночного воздействия (повышается цена) и затем...
Задача проверки гипотез заключается в проверке согласования теоретических априорных предположений об объекте исследования (испытаний, управления, регулирования) с опытными данными в условиях действия случайных факторов. iconБернарда Вербера «Древо возможного»
...
Задача проверки гипотез заключается в проверке согласования теоретических априорных предположений об объекте исследования (испытаний, управления, регулирования) с опытными данными в условиях действия случайных факторов. iconТехническая диагностика основные термины и определения
Под дефектом понимают любое несоответствие свойств объекта заданным, требуемым или ожидаемым. Обнаружение дефекта есть установление...
Задача проверки гипотез заключается в проверке согласования теоретических априорных предположений об объекте исследования (испытаний, управления, регулирования) с опытными данными в условиях действия случайных факторов. iconСодержание и понятие курса. Понятие управления и регулирования Основная...
Технические процессы различаются своими целями, физической природой, конструктивным оформлением и способами управления. 3 основные...
Задача проверки гипотез заключается в проверке согласования теоретических априорных предположений об объекте исследования (испытаний, управления, регулирования) с опытными данными в условиях действия случайных факторов. iconИсследования: Тестирование сайта
Тестирование – это процесс, который заключается в проверке соответствия программного продукта или сайта заявленным характеристикам...
Задача проверки гипотез заключается в проверке согласования теоретических априорных предположений об объекте исследования (испытаний, управления, регулирования) с опытными данными в условиях действия случайных факторов. icon1. задача: Экономика гипотетической страны характеризуется следующими данными
Как должны изменяться правительственные расходы (при прочих равных условиях) для того, чтобы экономика достигла равновесного состояния...
Задача проверки гипотез заключается в проверке согласования теоретических априорных предположений об объекте исследования (испытаний, управления, регулирования) с опытными данными в условиях действия случайных факторов. iconСтавка дисконтирования
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 13 января...
Задача проверки гипотез заключается в проверке согласования теоретических априорных предположений об объекте исследования (испытаний, управления, регулирования) с опытными данными в условиях действия случайных факторов. iconИгорь Рюрикович
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 23 декабря...
Задача проверки гипотез заключается в проверке согласования теоретических априорных предположений об объекте исследования (испытаний, управления, регулирования) с опытными данными в условиях действия случайных факторов. iconОлег Вещий
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 2 января 2013;...
Задача проверки гипотез заключается в проверке согласования теоретических априорных предположений об объекте исследования (испытаний, управления, регулирования) с опытными данными в условиях действия случайных факторов. iconОльга (княгиня Киевская)
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 29 декабря...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
userdocs.ru
Главная страница