Решение систем линейных уравнений


Скачать 391.64 Kb.
НазваниеРешение систем линейных уравнений
страница1/6
Дата публикации07.03.2013
Размер391.64 Kb.
ТипРешение
userdocs.ru > Математика > Решение
  1   2   3   4   5   6


ОГЛАВЛЕНИЕ





Введение…..………………………………….………………………….…

4

1.

Матричная алгебра…… ………...………………………………………...

5

1.1.

Матрицы……………………….…………..………………………………

5

1.2.

Действия над матрицами……….………….……………………………...

5

1.3.

Определители…….………………………..………………………………

8

1.4.

Свойства определителей…………………….……………………………

9

1.5.

Обратная матрица…………………………..……………………………..

10

2.

Системы линейных уравнений………….…………………………….….

11

2.1.

Решение систем линейных уравнений……..………...……………….….

11

2.2.

Модель Леонтьева многоотраслевой экономики…….……………….…

13




Задания для контрольной работы…….……………………………….….

16




Правила выполнения и оформления контрольных работ……………….

24




Библиографический список…………………………..……………….…..

25


ВВЕДЕНИЕ
Современная концепция высшего экономического образования достаточно полно реализует специфику изучения математических дисциплин. Цикл математических дисциплин для бакалавриата согласно Государственному стандарту высшего профессионального образования состоит из ряда взаимосвязанных разделов с иллюстрацией их применения в экономике. К ним относится линейная алгебра и ее приложения в задачах оптимизации.

Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики – матричная алгебра – имеют чрезвычайно важное значение для экономистов, так как значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное компактной форме. Один из важнейших разделов линейной алгебры – системы линейных уравнений – являются одним из основных инструментов математического моделирования экономических процессов.

Математика является не только мощным средством для решения прикладных задач и универсальным языком науки, но и элементом общей культуры. В связи с этим математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую в системе фундаментальной подготовки современного экономиста.


  1. ^ МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА

    1. Матрицы


Прямоугольная таблица чисел, содержащая  строк и  столбцов, называется матрицей :

,

где  – действительные числа , называемые элементами матрицы,  и  – соответственно индексы строки и столбца.

Две матрицы называются равными, если числа их строк и столбцов равны и если равны элементы, расположенные на соответствующих местах этих матриц. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.

Если число столбцов матрицы  равно числу ее строк, то матрицу называют квадратной матрицей порядка . Элементы  квадратной матрицы порядка  образуют ее главную диагональ. Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Диагональная матрица называется единичной, если все ее элементы, расположенные на главной диагонали, равны единицы. Например,



соответственно квадратная, диагональная и единичная матрицы третьего порядка.


    1. ^ Действия над матрицами


Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций, причем некоторые из них аналогичные операциям над числами, а некоторые – специфические.

Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число. Например,

.

Суммой матриц  и  одинаковых размерностей называется матрица, элементы которой равны сумме элементов матриц А и В, расположенных на соответствующих местах. Например,

.

Пример 1. В некоторой отрасли 4 завода выпускают 3 вида продукции. Матрица  задает объемы продукции на каждом заводе в первом квартале, матрица  – во втором;  – объемы продукции -го типа на -ом заводе в первом и втором кварталах соответственно: .

Найти: а) объемы продукции; б) прирост объемов производства во втором квартале по сравнению с первым по видам продукции и заводам.

Решение. а) Объемы продукции за полугодие определяются суммой матриц А и В, т.е. , где – объемы продукции -го типа, произведенный за полугодие -ым заводом.

б) Прирост во втором квартале по сравнению с первым определяется разностью матриц .

Отрицательные элементы  матрицы  показывают, что на данном заводе  объем производства -го продукта уменьшился; положительные  – увеличился; нулевые  – не изменился.
Умножение матрицы  на матрицу  определено, когда число первой равно числу строк второй. При этом произведением матрицы А порядка  на матрицу В порядка  называется матрица  порядка , элементы  которой вычисляются как сумма произведений элементов -ой строки матрицы  и -го столбца матрицы :

.
Пример 2. Вычислить произведение матриц А и В, где

.

Решение. По определению находим элементы матрицы  как произведение соответствующих строки и столбца матриц  и .


Пример 3. Предприятие производит 3 типа продукции, объемы выпуска заданы матрицей . Цена реализации единицы -го типа продукции в -ом регионе задана матрицей . Число регионов, в которых реализуется продукция равно 4. Найти матрицу выручки  по регионам, если

.

Решение. Выручка определяется матрицей , причем  – это выручка предприятия в -ом регионе:

.
Пример 4. Предприятие производит 3 типа продукции, используя 4 вида ресурсов. Нормы затрат ресурса -го вида на производство единицы продукции -го типа заданы матрицей затрат . Значения стоимости каждого вида ресурса в расчете на единицу заданы матрицей . Пусть за определенный промежуток времени предприятие выпустило количество продукции каждого типа , заданное матрицей .

Определить  – матрицу полных затрат ресурсов каждого вида на производство всей продукции за данный период времени и полную стоимость всех затраченных ресурсов, если

.

Решение. Матрица полных затрат ресурсов  определяется как произведение матриц  и , т.е. .

Согласно условию задачи

,

т.е. за данный период времени будет израсходовано 930 ед. ресурса первого вида, 960 ед. ресурса второго вида, 450 ед. ресурса третьего вида и 630 ед. ресурса четвертого вида.

Стоимость всех затраченных ресурсов  определяется как произведение матриц  и , или .

В данном случае 
Переход от матрицы  к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка, называется транспонированием матрицы . Матрица  называется транспонированной относительно матрицы . Например,

.

  1   2   3   4   5   6

Похожие:

Решение систем линейных уравнений iconЛабораторная работа № Решение системы уравнений заданным методом
Получить устойчивые навыки использования диапазонов, массивов, матричных операций для обработки статистических данных и решения систем...
Решение систем линейных уравнений icon1. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом простой итерации
Эвм и дающих за конечное число действий решение дискретной задачи. Полученное решение дискретной задачи принимается за приближенное...
Решение систем линейных уравнений iconКонспект лекций новосибирск 2006 содержание
Большинство задач одновариантного анализа сводится к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений (оду), а также систем...
Решение систем линейных уравнений iconРешение общих систем линейных алгебраических уравнений ax=B
Линейные комбинации и линейная независимость векторов. Базис и размерность пространства
Решение систем линейных уравнений iconЭкзаменационная программа по курсу «Линейная алгебра»
Системы линейных уравнений. Алгоритм Гаусса упрощения системы линейных уравнений и матрицы. Главные и свободные неизвестные. Разложение...
Решение систем линейных уравнений iconИсследование систем линейных уравнений. Базисное решение
...
Решение систем линейных уравнений iconОпределение системы линейных алгебраических уравнений
Определение. Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей уравнений и неизвестных, называется система вида
Решение систем линейных уравнений iconЛабораторная работа №6 Прямые и итерационные методы решения систем...
Найти обратную матрицу матрицы системы на основе метода Гаусса. На основе найденной обратной матрицы найти решение –, где – обратная...
Решение систем линейных уравнений iconСтруктурная минимизация систем управления, наблюдения и стабилизации
Решение этой задачи возможно редуцировать на линейные стационарные системы наблюдения, т к задача управляемости и наблюдаемости для...
Решение систем линейных уравнений iconФакультет рпм, I семестр 2012-13 уч года
Определения системы линейных уравнений и ее решения. Расширенная матрица системы линейных уравнений; элементарные преобразования...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
userdocs.ru
Главная страница