Лекція Власні числа та власні вектори Власним вектором матриці А, якому відповідає власне значення, називається ненульовий розв’язок системи рівнянь




Скачать 79.08 Kb.
НазваниеЛекція Власні числа та власні вектори Власним вектором матриці А, якому відповідає власне значення, називається ненульовий розв’язок системи рівнянь
Дата публикации27.05.2013
Размер79.08 Kb.
ТипЛекція
userdocs.ru > Математика > Лекція
Лекція 6. Власні числа та власні вектори
Власним вектором матриці А, якому відповідає власне значення , називається ненульовий розв’язок системи рівнянь

.

Рівняння det(A-)=0 називається характеристичним. Коренями цього рівняння є власні числа.

Поняття про подібні матриці

Дві матриці, що відповідають одному й тому ж перетворенню в різних базисах називаються подібними. А саме, нехай є

та .

Тоді ; . Тобто матриці А,В пов’язані співвідношенням . Матриці А та В є подібними. Подібні матриці мають однакові характеристичні поліноми. На цій властивості, наприклад, ґрунтуються такі методи як метод Данилевського, Якобі.

Повною проблемою власних чисел називається пошук усіх власних чисел та відповідних ним векторів.

^ Повна проблема власних чисел та векорів

Метод Крилова.

Виходить з теореми Гамільтона-Келі про те, що кожна матриця є коренем свого характеристичного полінома, тобто

.

Тому для довільного вектора виконується рівність:

. (1)

Це співвідношення представляє собою систему лінійних рівнянь відносно невідомих - коефіцієнтів характеристичного полінома. Позначимо :

(2)

Таким чином, задають довільний вектор і будують вектори . Наприклад, для тривимірного випадку можна задати =(1,0,0)Т.Результатом розв’язання системи є значення коефіцієнтів, за якими будують характеристичний поліном та розв’язують відповідне рівняння, знаходячи власні числа.

Примітка

Особливості метода:

- початковий вектор потрібно задавати так, щоб система (2) була не виродженою;

- метод працює якщо матриця А не має кратних власних значень.

^ Метод Данилевського

За цим методом матриця А подібними перетвореннями приводиться до вигляду у формі Фробеніуса , причому :

(3)

У матриці (3) елементи під головною діагоналлю - одиниці. Характеристичний поліном для (3) будується розкриттям характеристичного визначника матриці Р по першому рядку. Він, внаслідок подібності матриць А та Р, є також і характеристичним поліномом матриці А.

Приведення до вигляду (3) здійснюється послідовним перетворенням рядків, починаючи з останнього. На першому кроці множимо матрицю А справа на матрицю

,

При цьому останній рідок матриці матиме вигляд

.

Для збереження подібності множимо зліва на матрицю



Останній рідок при цьому не змінюється. Аналогічно потрібно перетворити і інші рядки матриці А.

Примітка

В методі може виникати ділення на нуль.

Ітераційний метод Якобі.

Діє для симетричних матриць.

Обертанням будемо називати перетворення координат за допомогою матриці

, . (4)

матриця обертання.

Метод заснований на підборі нескінченної послідовності обертань, які перетворюють вихідну матрицію на діагональну. На діагоналі цієї матриці містяться відповідні власні числа матриці.

^ Сферичною нормою матриці А будемо називати величину

. (5)

Розіб’ємо (5) на діагональну та недіагональну частини:

, .

Ітераційний метод Якобі передбачає збереження сферичної норми при обертаннях при зменшенні недіагональної частини.

При елементарному перетворенні С=недіагональні елементи та при змінюються так, що попарні суми їхніх квадратів зберігаються. Окрім цих елементів ззовні діагоналі змінюється ще . Щоб максимально зменшити за одне обертання, підберемо елементи обертання (4) таким чином, щоб анулювати елемент (). Оскільки , то для визначення маємо систему:

,

звідки

, де , . На кожному обертанні потрібно перетворювати на нуль максимальний за модулем недіагональний елемент, або, що є більш ефективним з обчислювальної точки зору, обирати найбільшу із сум квадратів недіагональних елементів за кожним рядком , та у відповідному рядку визначати найбільший за модулем елемент-оптимальний.

^ Збіжність методу. Оптимальний елемент (суми свого рядка), а ця сума . Тобто за одне обертання недіагональна частина сферичної норми спадає не менш ніж на . Після обертань величина становитиме

; .

Примітка. Пошук власних векторів

Оскільки вектори - власні вектори діагональної матриці, то власні вектори матриці А- стовпці матриці обертань . Легко одержати, що .

^ Прямий метод Якобі (обертань)

Метод широко використовується для побудови характеристичного многочленну симетричної матриці А. Вихідна матриця за допомогою обертань приводиться до три діагонального виду. Подібність матриць при цьому зберігається.

Нехай - симетрична матриця. Розглянемо . . Оскільки , то (подібні). Стовпці матриці А співпадають зі стовпцями В за виключенням i та j стовпця:



Рядки матриць С та В співпадають за виключенням та рядка:



Нехай . Покажемо, що можна добрати так, щоб . Дійсно, . З умови одержимо



Тому

Вибір знаку не має значення.

Процес тридіагоналізації можна провести наступним чином: за допомогою перетворень анулюють по черзі елементи першого рядка, починаючи з третього. Потім за допомогою анулюються елементи другого рядка, починаючи з четвертого і так далі. Ми перейдемо від даної симетричної матриці до тридіагональної:

, .

Для характеристичного многочлена три діагональної матриці побудуємо рекурентну формулу. Записуючи формально та розглядаючи матриці розмірностей 1,2,3, …, знаходимо:

;



;

.

Послідовність - послідовність поліномів Штурма для характеристичного полінома.

QR-алгоритм

Це один із найкращих методів визначення власниз чисел. Ідея цього алгоритму - привести вихідну матрицю А до клітинково-трикутного вигляду В із діагональними блоками 1х1 або 2х2. Причому ця матриця подібна до даної. Власні числа - або діагональні елементи В (у випадку блоків 1х1), або корені квадратних рівнянь.

Етапи алгоритму:

1. Перетворення ортогональними обертаннями до форми Гессенберга H(верхня трикутна матриця з субдіагоналлю): . Позначимо проміжну матрицю, яка утворюється з А в процесі переходу до форми H:. Щоб її елемент , треба одержати з рівнянь:



Покладаючи , обертаємо в нуль послідовно елементи першого стовпця, починаючи з третього, далі елементи другого стовпця, починаючи з четвертого і т.д. Порядок занулення має значення і є наступним:

1)(3,1), (4,1), …, (n,1);

2) (4,2), (5,2), …, (n,2);

……………………….

n-2) (n,n-2).

2.QR-факторизація. Будь-яку дійсну матрицю можна представити у вигляді добутку , де - ортогональна матриця, -верхньотрикутна.

Перепишемо . Задача тепер переформулюється так: визначити так, щоб була верхньотрикутною. Аналогічно до етапу 1 скористаємось перетвореннями обертання,

, , що забезпечує матриці R.

Порядок занулення:

1)(2,1), (3,1),… , (n,1);

2)(3,2), (4,2), … (n,2)

……………………..

3)(n,n-1).

Таким чином, , тобто .

Після розкладення будують матрицю , . Продовжуючи процес, одержують послідовність матриць , . Послідовність матриць прямує до матриці клітинково-трикутної форми.

Метод інтерполяції

Використовується для побудови характеристичного многочлена матриць невеликої розмірності (n<10). Зручний для випадку, коли . Для матриці порядку характеристичний многочлен має ступінь , а кожен многочлен -го ступеня однозначно визначається своїми коефіцієнтами . Неважко бачити , що значення характеристичного полінома в деякій точці можуть бути знайдені лише за матрицею А:

.

Нехай - довільні числа з відрізку, що містить власні числа матриці А (в якості такого відрізку можна взяти ), причому доцільно розташовувати на обраному відрізку приблизно рівномірно. Обчислимо значення:

.

Визначники слід обчислювати методом виключень Гауса. Після цього характеристичний многочлен виписують за допомогою інтерполяційної формули, наприклад поліному Лагранжа:

.

Многочлен в правій частині при приймає значення , тобто є шуканим.

З формули для похибки інтерполяційного многочлену



витікає, що R=0 (похідна (n+1) порядку від многочленна n ступеня), тобто характеристичний многочлен відновлюється за методом інтерполяції точно.

Недолік метода – великий обсяг обчислень.

^ Метод зворотніх ітерацій

Застосовується для значходження власних векторів.

Оберемо довільний вектор і розглянемо лінійну систему:

, де - наближене значення власного числа, . Система має єдиний розв’язок. Покажемо, що знайдений з цієї системи вектор - власному вектору, який відповідає власному значенню .

Обмежимось випадком, коли матриця n-го порядку має n лінійно-незалежних власних векторів . Тоді власні вектори утворюють базис за яким можна розкласти вектори та :

, . Підставивши ці розяладення в вихідну систему та враховуючи , одержимо:

. Звідси внаслідок лінійної незалежності слідує, що

. З цієї формули видно, що при і коефіцієнт -великий. Інакше він є малим. При зворотній ітерації, тобто при переході від до компонента різко збільшується порівняно з іншими компонентами, і вектор виявляється близьким до . Якщо вектор обрано невдало, знайдений може відрізнятися від . Тоді ітерації слід повторити за формулою:

.

Зазвичай 2-3 ітерацій буває достатньо. Знайдені вектори обов’язково нормують, щоб не виникало дуже великих чисел, які можуть призвести до переповнення розрядної сітки.

Метод лінеаризації

Запишемо задачу знаходження власних значень

у координатній формі:

,

де - елементи матриці А, - координати . Задача зводиться до розв’язання системи рівнянь з невідомими . Ця система нелінійна (є члени виду ). Застосуємо метод Ньютона розв’язання нелінійних систем.

Нехай - малі прирости змінних , -приріст . Тоді система набуває виду:

-номер ітерації - система відносно прирощень . Початкове наближення - задається. Система містить n рівнянь та n+1 невідомих, але, оскільки власний вектор визначається з точністю до множника, то не порушуючи загальності, можна покласти . Нові наближення для одержуються як

,



Процес повторюється до спів падання двох послідовних ітерацій із заданою точністю.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Лекція Власні числа та власні вектори Власним вектором матриці А, якому відповідає власне значення, називається ненульовий розв’язок системи рівнянь iconЛекція 7 Часткова проблема власних значень
В багатьох задачах потрібно знайти не всі власні значення, а лише деякі: наприклад, максимальне за модулем власне число та відповідний...

Лекція Власні числа та власні вектори Власним вектором матриці А, якому відповідає власне значення, називається ненульовий розв’язок системи рівнянь iconЛекція 8 Інтерполяція
Для того щоб задача мала розв’язок та лише єдиний, будемо шукати функцію як поліном ступеня не вище :, такий, що,,…

Лекція Власні числа та власні вектори Власним вектором матриці А, якому відповідає власне значення, називається ненульовий розв’язок системи рівнянь iconЛекція 9 Інтерполювання з кратними вузлами
При побудові інтерполяційних поліномів можна використати не лише значення функції у вузлах, а й значення її похідних

Лекція Власні числа та власні вектори Власним вектором матриці А, якому відповідає власне значення, називається ненульовий розв’язок системи рівнянь iconРасписание пар групп ы 1Д на 2 семестр Понедельник 1 Інф пошукові...
Тдп ауд. 203 Стаднік І. В. (лекція) / Констутуц право Укр. Ауд. 203 Нікольська О. В. (лекція)

Лекція Власні числа та власні вектори Власним вектором матриці А, якому відповідає власне значення, називається ненульовий розв’язок системи рівнянь iconЗадача № Скласти програму, яка дозволяє ввести 2 цілих числа І друкує,...
Задача № Скласти програму, що друкує значення 1, якщо серед цифр заданого трьохзначного числа є однакові І 0 – у іншому випадку....

Лекція Власні числа та власні вектори Власним вектором матриці А, якому відповідає власне значення, називається ненульовий розв’язок системи рівнянь iconЛуганська державна академія культури І мистецтв
Предмет геральдики, як наукової дисципліни, її зв'язок з сфрагістикою. Значення геральдики

Лекція Власні числа та власні вектори Власним вектором матриці А, якому відповідає власне значення, називається ненульовий розв’язок системи рівнянь iconПредмет І завдання патологічної фізіології, зв'язок з іншими науками, значення для клініки
Патологическая физиология — это наука, изучающая общие закономерности возникновения, развития и исхода болезни. Это наука о жизнедеятельности...

Лекція Власні числа та власні вектори Власним вектором матриці А, якому відповідає власне значення, називається ненульовий розв’язок системи рівнянь iconСтратегії розв’язання конфліктних ситуацій Д. Джонсона І Ф. Джонсона
Важливість досягнення мети для кожної конфліктуючої сторони може мати неабияке значення або ж не мати ніякого. Тому вирішення конфлікту...

Лекція Власні числа та власні вектори Власним вектором матриці А, якому відповідає власне значення, називається ненульовий розв’язок системи рівнянь iconЗагальний план будови травної системи. Схема травної трубки на поперековому...
Схема утворення трійчастого (V) нерва, його гілки, зони іннервації, зв`язок з вегетативними вузлами голови

Лекція Власні числа та власні вектори Власним вектором матриці А, якому відповідає власне значення, називається ненульовий розв’язок системи рівнянь icon1. Перевести числа K, L, m з однієї системи числення до іншої
Скласти логiчне рiвняння в дкнф для таблиць iстинностi (A, B, C, d – входи, y – вихiд)

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
userdocs.ru
Главная страница