Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Национальный исследовательский университет


НазваниеРоссийской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Национальный исследовательский университет
страница1/4
Дата публикации28.03.2013
Размер0.79 Mb.
ТипДокументы
userdocs.ru > Математика > Документы
  1   2   3   4


Министерство образования и науки Российской Федерации

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Национальный исследовательский университет


Механико-математический факультет

Кафедра теории функций


М.А. Солдатов, С.С. Круглова, Е.В. Круглов


Математический анализ

Часть 3

Интегральное исчисление функций одного переменного

Нижний Новгород, 2012
Глава 8. Неопределённый интеграл1


§ 8.1. Первообразная и неопределённый интеграл
1. Первая задача дифференциального исчисления: по заданной функции найти её производную, то есть найти предел .

Пусть теперь наоборот, известна производная ; надо восстановить по ней саму функцию . Это – первая задача интегрального исчисления, – она обратна предыдущей.

Определение 1. Пусть в некотором промежутке задана функция . Функция , производная которой во всех точках промежутка равна , то есть (или, что то же самое: ) называется первообразной или примитивной по отношению к на промежутке .

Пример. Для функции первообразной является функция . Однако, функции и вообще , где любая постоянная, – тоже первообразные.

Возникают вопросы: 1) существуют ли первообразные, 2) сколько их, 3) как их найти?

Теорема 8.1. Всякая непрерывная на промежутке функция имеет первообразную. (Доказательство см. в § 9.3.) Это ответ на первый вопрос.

2. На вопрос о том, сколько первообразных существует, отвечает

Лемма 8.1. (Основная лемма интегрального исчисления.) 1) Если есть какая-то первообразная для функции на промежутке , то при любой постоянной все функции тоже являются первообразными, причём, 2) любая другая первообразная отличается от на некоторую постоянную , то есть .

1) Так как , то .

2) Пусть тоже первообразная для , то есть . Имеем . Отсюда по теореме 6.1 , так что . ▲

Определение 2. Итак, выражение , где произвольная постоянная, содержит все функции, производные которых совпадают с на промежутке . Эта совокупность всех первообразных называется неопределённым интегралом от функции на промежутке и обозначается символом . Таким образом, по определению

, где . (8.1)

При этом называются: - подынтегральная функция, подынтегральное выражение, переменная интегрирования, знак интеграла.

Отметим, что неопределённый интеграл – это не функция, а множество, семейство функций , они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое. Отсюда иногда возникают недоразумения, когда при разных способах вычисления интеграла получаются разные выражения, а произвольную постоянную обозначают одной и той же буквой. То есть, если , то нельзя утверждать, что , где первообразная для , однако, такая, что . При этом это есть равенство (совпадение) двух множеств функций: , что или наоборот .

Употребляется запись . Говорят, что здесь произвели «подведение функции под знак дифференциала»: . Например,

, , , .

Нахождение первообразной и вместе с тем неопределённого интеграла от данной функции называется интегрированием функции . Замечаем, что это есть операция, обратная дифференцированию, так что имеем правило: результат интегрирования проверяй дифференцированием.

Исходя из самого определения (8.1) неопределённого интеграла, получаем следующие его простейшие свойства:

1) , или то есть знаки и взаимно уничтожаются;

2) знаки и тоже взаимно уничтожаются, но при этом прибавляется .

Замечания. 1) Можно говорить о первообразной и неопределённом интеграле и от функций, заданных на объединении промежутков. 2) При дифференцировании элементарных функций всегда получаются снова функции элементарные. Интегрирование же элементарных функций в классе этих же функций может оказаться невыполнимым, – тогда приходится вводить новые, не элементарные функции.

3. Как вычислять неопределённые интегралы?

Рассматривая какие-либо интегралы, будем считать, что подынтегральные функции непрерывны там, где это необходимо, обычно не оговаривая этого (интегралы при этом существуют).

Теорема 8.2. (Свойство линейности неопределённого интеграла.)

1) Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых:

. (8.2)

2) Постоянный множитель, не равный нулю, можно выносить за знак интеграла:

, . (8.3)

3) , . (8.4)

Доказательство основано непосредственно на определении (8.1). Пусть и первообразные для функций соответственно и : , . Тогда и . Поэтому:

1) , , , где – произвольная постоянная (вместе с и ). Результаты совпадают.

2) Аналогично: , , , произвольная постоянная (вместе с ), так как .

3) Равенство (8.4) – оно и называется свойством линейности – непосредственно следует из равенств (8.2) и (8.3), которые, в свою очередь, являются его частными случаями. ▲

Теорема 8.3. (Замена переменной, или метод подстановки, в неопределённом интеграле первая форма.) Если и какая-либо непрерывно дифференцируемая функция от , то

, (8.5)

то есть

. (8.6)

Дано: . По правилу дифференцирования сложной функции имеем это есть подынтегральная функция в формуле (8.5), а её первообразная. Следовательно, формула верна. ▲

Говорят: в интегралах, стоящих слева в формулах (8.5) и (8.6), произвели замену переменной интегрирования, или подстановку, по формуле , приводящей к интегралу в правой части формулы (8.6), который равен , – после его вычисления необходимо вернуться к , положив .

Пользуясь сказанным, составим таблицу неопределённых интегралов. Для этого надо «обратить» таблицу производных.
Основная таблица неопределённых интегралов

Пусть какая-либо функция от , в частности (то есть независимая переменная).

1. , .

2. , в частности .

3. , .

4. , в частности для – это «интеграл от логарифмической производной функции ».

5. ; .

6. . 7. .

8. . 9. .

10. . 11. .

12. . 13. .

14. . 15. .

Вычисление интегралов с помощью таблицы называется непосредственным или табличным интегрированием. Никаких общих правил для этого нет. Успешное его применение зависит от опыта, требует навыков. Стараются путём тождественных преобразований подынтегрального выражения и применения свойств интеграла свести исходный интеграл к виду , , с тем, чтобы интеграл был табличным.

Теорема 8.3'. (Замена переменной или метод подстановки вторая форма.)

Пусть . Если функция имеет непрерывную производную, то

, (8.7)

так что

. (8.8)

По условию . Тогда, по правилу дифференцирования сложной функции

,

то есть функция является первообразной по отношению к , поэтому формула (8.7) верна. ▲

Согласно формуле (8.8), на символ можно смотреть как на дифференциал функции , поэтому её легко запомнить.

После вычисления интеграла, стоящего справа в (8.8), надо вернуться к старому переменному x, для чего потребуется найти обратную функцию .

Возникает вопрос о выборе удачной подстановки .

Этот метод можно применять в обе стороны: формула (8.8), записанная справа налево, даёт формулу (8.6), при соответствующем переобозначении переменных.

Примеры.

1) .

2) .

Эти два интеграла можно вычислить и с помощью подстановки .

3) .

4) .

5) Замечая, что , найдём , так как .

6) , . Имея в виду тождество , можем избавиться от иррациональности посредством замены ; именно (модуль не ставим, ибо ). Поскольку ещё , получим . Вернёмся к переменному x, для чего сложим равенства и . Найдём , откуда .

Итак, , где , постоянную включили в состав . Эта формула верна и при , в этом случае появится абсолютная величина. Таким образом, справедливо равенство:

.

На основании полученных результатов имеем
Добавление к таблице
16. . 17. .

18. . 19. .

20. . 21. .

Интеграл 20 иногда называют «высокий логарифм», а интеграл 21 – «длинный логарифм».

Примеры.

1) . Функцию «подвели под знак дифференциала».

2) .

Удобно сделать именно замену , поскольку . Опять использовали метод «подведения функции под знак дифференциала».

Аналогично решаем следующие примеры:

3) .

4) .

5). .

4. Метод интегрирования по частям.

Пусть функции и непрерывно дифференцируемы на промежутке . Имеем:

, .

Таким образом,

(8.9)

(произвольная постоянная входит в состав последнего интеграла).

Это и есть формула интегрирования по частям. Иногда бывает, что новый интеграл (от ) проще исходного. При этом надо удачно определить, что взять за и соответственно всё остальное за . Укажем некоторые классы интегралов «берущихся по частям». Необходимо отметить такой факт. Хотя по дифференциалу восстанавливается бесконечно много функций – они имеют вид , однако постоянная в конечный результат не входит (это легко проверить, подставляя в (8.9)), поэтому удобно считать . То есть берётся какая-нибудь одна первообразная и её записывают в виде .

Примеры.

1). . Испробуем другую возможность: ; тогда ; получили более сложный интеграл.

2) . К последнему интегралу снова применим интегрирование по частям:

. Итак, .

3) .

4) .

Вывод. Интегралы вида где многочлен степени , берутся по частям, при этом полагают , и метод интегрирования по частям применяется раз.

По частям берутся также интегралы от произведения многочлена на функцию ,а также на обратные тригонометрические функции, причём именно эти функции берутся за .

5) .

6) .

7) Иногда приходится комбинировать методы интегрирования подстановкой и по частям. Найдём

.

8) Интересный случай представляют интегралы:

, .

Применим к ним интегрирование по частям, взяв , . Получим



. (8.10)

Приравнивая левую и правую части, получим уравнение относительно интеграла . Из него находим , а затем (см. среднюю часть равенства (8.10)):
, .
(При вычислении интегралов и можно было брать или .) Подобные интегралы, вычисление которых сводится к ним же самим, называются циклическими или круговыми. Предлагаем таким же способом найти интегралы , .

Замечание. Методы интегрирования по частям и подстановкой называют методами систематического интегрирования.

5. Интегралы вида , если из-под корня вынести число и отнести его к числителю, упрощаются к форме при или к форме при и условии (чтобы подкоренное выражение оставалось положительным в некотором интервале). В интегралах и под корнем выделяют полный квадрат и сводят их к табличным интегралам, используя замену , где соответствующее число. Рассмотрим примеры.

1)



.

2)

+

.

Определение. Если интеграл (или первообразная функции ) выражается в конечном виде через элементарные функции, то он называется берущимся интегралом (говорят «интеграл берётся»), в противном случае – неберущимся («интеграл не берётся»). К числу неберущихся интегралов относятся, например, , , , , , , , , хотя они реально существуют и играют важную роль в соответствующих приложениях.

Чтобы установить некоторые классы берущихся интегралов, нам потребуется изучить комплексные числа и свойства многочленов.

  1   2   3   4

Похожие:

Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Национальный исследовательский университет iconРоссийской Федерации Нижегородский государственный университет им....
Математика как самостоятельная наука, имеющая собственный предмет и метод, оформилась лишь после того, как был накоплен достаточно...
Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Национальный исследовательский университет iconМ ихаил Юрьевич Авдеев Сведения о себе
Нижегородский Государственный Университет им. Н. И. Лобачевского Финансовый колледж (очная форма)
Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Национальный исследовательский университет iconФгбоу впо «Южно-Уральский государственный университет» (национальный...
Челябинское региональное отделение общероссийской общественной организации «Ассоциация юристов России»
Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Национальный исследовательский университет iconИнформационное письмо
Организаторы: Новосибирский государственный технический университет, Тюменский государственный университет, Одесский национальный...
Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Национальный исследовательский университет iconУтверждаю: утверждаю: Ректор гоу впо «Нижегородский государственный...
Межрегионального форума для студентов вузов «Школа творческого развития «СТart»» в 2013 году
Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Национальный исследовательский университет iconМинистерство образования и науки РФ
Белгородский государственный национальный исследовательский университет (ниу «БелГУ»)
Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Национальный исследовательский университет iconМосковская школа кино, г. Москва
Александр Шапошников, г. Томск, Национальный исследовательский Томский государственный университет
Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Национальный исследовательский университет iconПермский государственный национальный исследовательский университет
Всероссийская конференция «Современные политические реалии: взгляд молодых исследователей»
Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Национальный исследовательский университет iconМосква Издательство "Республика"
К. О. Апель (Франкфуртский университет, Германия), Б. Н. Бессонов (Академия государственной службы при Президенте Российской Федерации),...
Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Национальный исследовательский университет iconМ. В. Зубакин Пермский государственный
Пермский государственный национальный исследовательский университет, Букирева 14
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница