§ Критерии линейной независимости скалярных функций


Скачать 71.55 Kb.
Название§ Критерии линейной независимости скалярных функций
Дата публикации03.07.2013
Размер71.55 Kb.
ТипДокументы
userdocs.ru > Математика > Документы
Способы представления программных управлений
Рассмотрим способы представления скалярных и векторных управлений в виде разложения по некоторой системе базовых функций, а также вопросы существования и единственности этих представлений. Приведем необходимые и достаточные условия линейной независимости скалярных и векторных функций и рассмотрим некоторые системы таких функций. А так же рассмотрим случай, когда разложение программного управления по некоторой системе базовых функций не единственно.

§ 1. Критерии линейной независимости скалярных функций

Рассмотрим множество вещественных скалярных функций , суммируемых с квадратом на промежутке .

Определение 1. Говорят, что функции линейно независимы на промежутке , если из условия



при всех , где – вещественные постоянные, вытекает, что .

Введём в рассмотрение и матрицу

, .

Очевидно, что матрица является симметрической и положительно определенной.

Справедливы теоремы :

Теорема 1. Для того чтобы непрерывные функции были линейно независимы на промежутке необходимо и достаточно, чтобы матрица была положительно определённой.

Теорема 2. Для того чтобы функции были линейно независимы на промежутке необходимо и достаточно, чтобы существовали точки такие, что постоянные векторы были линейно независимы, то есть являлись базисом в .

Замечание 1. Очевидно, что если матрица является положительно определённой, то любая матрица , где , будет также положительно определённой. Если функции линейно независимы на промежутке , то они также линейно независимы на любом промежутке , где .

§ 2. Критерии линейной независимости векторных функций

Рассмотрим теперь вещественные векторные функции , заданные на промежутке , размерности , .

Определение 3. Говорят, что векторные функции называются линейно независимыми в промежутке , если из условия при всех следует, что все вещественные постоянные .

Введём в рассмотрение матрицу , столбцами которой являются векторные функции , и матрицу

.

Справедливы теоремы :

Теорема 3. Для того чтобы непрерывные векторные функции были линейно независимы на промежутке , необходимо и достаточно, чтобы матрица была положительно определённой.

Теорема 4. Для того чтобы векторные функции были линейно независимы в промежутке, необходимо и достаточно, чтобы существовали точки такие, что среди строк (столбцов) матриц было – линейно независимых.

Пусть – матрица размера , элементами которой являются вещественные функции ограниченной вариации заданные на промежутке . Введём матрицу

.

Справедлива теорема :

Теорема 5. Для того чтобы непрерывные функции были линейно независимы в промежутке , необходимо и достаточно, чтобы существовала матрица , для которой матрица невырожденная.

Замечание 2. Если векторные функции не являются непрерывными, то достаточные условия теоремы 5 остаются в силе, т. е. для линейной независимости этих векторных функций достаточно, чтобы существовала матрица такая, что матрица является невырожденной.

Пример 1. Рассмотрим скалярный случай в качестве иллюстрации того, что необходимые условия теоремы 5 не будут выполняться. Пусть всюду в промежутке кроме точки , . Функции и – линейно независимы в промежутке , но не являются непрерывными. Убедимся, что не существует матрицы такой, что матрица – невырожденная,. Действительно, пусть , тогда

.

Отсюда

,

так как .

Справедлива теорема.

Теорема 6. Для того чтобы векторные функции были линейно независимы в промежутке , необходимо и достаточно, чтобы существовала совокупность каких либо однородных аддитивных операций над этими векторными функциями, чтобы ранг матрицы линейной системы



был в точности равен .

Пример 2. Пусть в промежутке , заданы скалярные функции, имеющие вид и линейные аддитивные операции дифференцирования , тогда систему уравнений можно переписать в виде

.

Очевидно, что определитель матрицы системы равен единице для любого . Таким образом, по теореме 6, скалярные функции линейно независимы в произвольном промежутке .

Пример 3. Рассмотрим линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянной матрицей . Известно, что любое ее решение имеет вид где - экспоненциал матрицы . Обозначим компоненты любого решения этой системы через , т.е. .

Покажем, что линейная независимость векторов , является необходимым и достаточным условием того, что функции являются линейно независимыми в любом промежутке вещественной оси.

Действительно, для некоторого вещественного вектора рассмотрим уравнение . Используя операции дифференцирования, по аналогии с предыдущим примером получим объединенную систему , где - постоянная матрица. Если эта матрица неособенная, то в силу того, что матрица неособенная для произвольного получим, что система имеет единственное решение . Отсюда вытекает, что компоненты вектора являются линейно независимыми функциями.

С другой стороны, если компоненты векторной функции линейно независимы, то векторные функции также линейно независимы. Это вытекает из линейной независимости строк матрицы Вронского (), т.к. из того, что , следует, равенство . Отсюда, в силу линейной независимости компонент вектора имеем . Заметим, что , но тогда . Если - особенная матрица, то существует вещественный вектор , что , но тогда можно написать , что противоречит линейной независимости векторных функций (тому, что матрица - неособенная).

§ 3. Способы представления программных управлений

Пусть вещественные векторные функции размерности , заданные на промежутке , и такие, что. , т.е. эти векторные функции суммируемы с квадратом

.

Будем рассматривать интересующие нас управления , как функции, принадлежащие этому же пространству, т.е. .

Справедлива основная теорема :

Теорема 6. Если векторные функции - непрерывны и линейно независимы на промежутке , то для любой функции справедливо единственное представление

, 

где - постоянные величины, а - произвольная функция, удовлетворяющая условию

. 

Замечание 3. Заметим, что теорема 6 остается в силе, если и матрица - невырожденная. Если же матрица является вырожденной (особенной), т.е. непрерывные векторные функции - линейно зависимы на промежутке или имеют разрывы на этом промежутке, то разложение ,  остается в силе, но уже не будет единственности этого представления.

Действительно, обозначим через матрицу, образованную из матрицы и состоящую из всех линейно независимых строк этой матрицы. Через , обозначим вектор, образованный компонентами вектора



с теми же номерами, что и линейно независимые строки матрицы образующие матрицу . Тогда, считая, что представление ,  имеет место можно выписать укороченное уравнение , :

. 

Будем искать его решение в виде разложения по линейно независимым строкам матрицы

, 

где вектор, ортогональный строкам матрицы , т.е. . Подставляя выражение  в уравнение , получим . Отсюда решение уравнения  имеет вид

. 

Это вытекает из того, что матрица размера () будет положительно определенной и тем самым невырожденной. Справедливость этого утверждения вытекает из того, что для любого вектора в силу линейной независимости строк матрицы (столбцов матрицы ) выполняется неравенство . Из этого неравенства следует другое неравенство , т.е. матрица является положительно определенной и, следовательно, невырожденной.

Подставляя полученное решение уравнения  в виде  в разложение , получим

, где . 

Очевидно, что справедливо соотношение

. 

Наличие у вектора произвольной ненулевой составляющей , ортогональной к строкам матрицы (), и создает неоднозначность представления , т.к. вектор определен с точностью до вектора , являющегося его слагаемым.

Замечание 4. В дальнейшем, при построении релейно-импульсных управлений, мы покажем другие способы представления искомых управлений через векторные функции . Отметим, что теорема 6 дает критерий существования семейства программных управлений, но не конкретизирует возможности его реализации в том или ином виде.




Похожие:

§ Критерии линейной независимости скалярных функций iconЛабораторная работа №1. Перегрузка функций. Шаблоны функций
Цель работы – изучить определение и варианты использования перегрузки функций и шаблонов функций в языке С++
§ Критерии линейной независимости скалярных функций iconВопросы к экзамену по линейной алгебре
Теорема о линейной зависимости большей системы векторов и другие свойства систем векторов
§ Критерии линейной независимости скалярных функций iconИнструкция «Построение графиков тригонометрических функций». Критерии оценки
Параллельно перенести вдоль оси абсцисс (Ох) в отрицательном направлении на единиц. (= 6 клеток, = 2 клетки)
§ Критерии линейной независимости скалярных функций iconСочинение. Информационная обработка текста
Не правда ли, непонятно, как написать рассуждение, учитывая все эти критерии?  Поэтому предлагаем тебе шаблоны к сочинениям егэ и...
§ Критерии линейной независимости скалярных функций iconИстория Востока Замов Эдуард Александрович
Субхас Бос. Они создают крестьянские союзы. 1927 г сессия конгресса в Мадрасе. Неру и Бос становятся ген секретарями индийского национального...
§ Критерии линейной независимости скалярных функций iconРеферат студентки 4 курса
Общую концепцию менеджмента помогает понять (кроме представления 4-х основных функций) знание об умениях, необходимых для эффективного...
§ Критерии линейной независимости скалярных функций icon4 Типы организационных структур управления
Для выполнения функций подразделения их должностные лица наделяются определенными правами на распоряжения ресурсами и несут ответственность...
§ Критерии линейной независимости скалярных функций iconТипы организационных структур управления
Для выполнения функций подразделения их должностные лица наделяются определенными правами на распоряжения ресурсами и несут ответственность...
§ Критерии линейной независимости скалярных функций iconЛабораторная работа№2 Вычисления в таблицах Microsoft Excel с использованием...
Приобретение навыков практического использования функций рабо­чего листа Microsoft Excel, изучение особенностей работы с текстовыми,...
§ Критерии линейной независимости скалярных функций iconКритерии отбора налогоплательщиков для проведения выездных налоговых проверок
Общедоступные критерии самостоятельной оценки рисков для налогоплательщиков, согласно Концепции планирования выездных проверок, утвержденной...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
userdocs.ru
Главная страница