Случайные процессы и их характеристики


Скачать 493.42 Kb.
НазваниеСлучайные процессы и их характеристики
страница1/7
Дата публикации05.07.2013
Размер493.42 Kb.
ТипЛабораторная работа
userdocs.ru > Математика > Лабораторная работа
  1   2   3   4   5   6   7
Лабораторная работа № 4

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

4.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ


Ознакомление с основными понятиями теории случайных процессов. Выполнение измерений моментных характеристик и оценки ПРВ мгновенных значений случайных процессов. Анализ вида автокорреляционной функции (АКФ) и спектральной плотности мощности (СПМ) случайного процесса. Исследование преобразований случайного процесса линейными стационарными и нелинейными безынерционными цепями.

4.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Случайные события и случайные величины

Событие , которое может произойти или не произойти в некотором опыте, называется случайным событием и характеризуется вероятностью осуществления . Случайная величина (СВ) может принять в опыте одно значение из некоторого множества ; это значение называется реализацией данной СВ. может быть, например, множеством вещественных чисел или его подмножеством. Если множество конечно или счетно (дискретная СВ), можно говорить о вероятности осуществления события, которое заключается в принятии случайной величиной значения , т. е. на множестве значений дискретной случайной величины задается распределение вероятностей . Если множество несчетно (например, вся вещественная прямая), то полное описание случайной величины дает функция распределения, определяемая выражением

,

где . Если функция распределения непрерывна и дифференцируема, то можно определить плотность распределения вероятностей (ПРВ), называемую также для краткости плотностью вероятности
(а иногда просто плотностью):

, при этом .

Очевидно, функция распределения – неотрицательная неубывающая функция со свойствами , . Следовательно,
ПРВ – неотрицательная функция, удовлетворяющая условию нормировки .

Иногда ограничиваются числовыми характеристиками случайной величины, чаще всего моментами. Начальный момент -го порядка (-й начальный момент)

,

где горизонтальная черта и – символические обозначения интегрального оператора усреднения по ансамблю. Первый начальный момент , называется математическим ожиданием или центром распределения.

Центральный момент -го порядка (-й центральный момент)

.

Наиболее употребительным из центральных моментов является второй центральный момент, или дисперсия

.

Вместо дисперсии часто оперируют среднеквадратическим отклонением (СКО) случайной величины .

^ Средний квадрат, или второй начальный момент , связан с дисперсией и математическим ожиданием:



.

Для описания формы ПРВ используют коэффициент асимметрии и коэффициент эксцесса (иногда эксцесс характеризуют величиной ).

Часто используется нормальное, или гауссовское (гауссово), распределение с ПРВ

,

где и – параметры распределения (математическое ожидание и СКО соответственно). Для гауссовского распределения , .

Две случайные величины и характеризуются совместной плотностью распределения . Числовыми характеристиками совместной плотности служат начальные и центральные смешанные моменты

, ,

где и – произвольные целые положительные числа; и – математические ожидания СВ x и y.

Наиболее часто используются смешанные моменты второго порядка – начальный (корреляционный момент):



и центральный (ковариационный момент, или ковариация)

.

Для пары гауссовских случайных величин двумерная совместная ПРВ имеет вид



где , – среднеквадратические отклонения; – математические ожидания; коэффициент корреляции – нормированный ковариационный момент

.

При нулевом коэффициенте корреляции очевидно,

,

т. е. некоррелированные гауссовские случайные величины независимы.
^
Случайные процессы

Случайный процесс – это последовательность случайных величин, упорядоченная по возрастанию некоторой переменной (чаще всего времени). Перейти от описания случайной величины к описанию случайного процесса можно, рассматривая совместные распределения двух, трех и более значений процесса в некоторые различные моменты времени. В частности, рассматривая процесс в временных сечениях (при ), получаем -мерные совместные функцию распределения и плотность распределения вероятностей случайных величин , определяемые выражением

.

Здесь и далее зависимость от времени явно не указана для упрощения записи. Для -мерной ПРВ выполняется условие нормировки

.

Случайный процесс считается полностью определенным, если для любого можно записать его совместную ПРВ при любом выборе моментов времени .

Часто при описании случайного процесса можно ограничиться совокупностью его смешанных начальных моментов (если они существуют, т.е. сходятся соответствующие интегралы)



и смешанных центральных моментов



при целых неотрицательных и целом .

В общем случае моменты совместной ПРВ зависят от расположения сечений на оси времени и называются моментными функциями. Чаще всего используют второй смешанный центральный момент



,

называемый функцией автокорреляции или автокорреляционной функцией (АКФ). Напомним, что здесь и далее явно не указана зависимость от времени, а именно – функциями времени являются , и .

Можно рассматривать совместно два случайных процесса и ; такое рассмотрение предполагает их описание в виде совместной многомерной ПРВ, а также в виде совокупности всех моментов, в том числе смешанных. Наиболее часто при этом используют второй смешанный центральный момент



,

называемый взаимно корреляционной функцией .

Среди всех случайных процессов выделяют СП, для которых совместная -мерная ПРВ не изменяется при одновременном изменении (сдвиге) всех временных сечений на одну и ту же величину. Такие процессы называются стационарными в узком смысле или строго стационарными.

Чаще рассматривают более широкий класс случайных процессов с ослабленным свойствам стационарности. СП называется стационарным в широком смысле, если при одновременном сдвиге сечений не изменяются лишь его моменты не выше второго порядка. Практически это означает, что СП стационарен в широком смысле, если он имеет постоянные среднее (математическое ожидание ) и дисперсию , а АКФ зависит только от разности моментов времени, но не от их положений на временнóй оси:

1) ,

2) , .

Заметим, что , откуда и следует постоянство дисперсии.

Нетрудно убедиться, что процесс, стационарный в узком смысле, стационарен и в широком смысле. Обратное утверждение вообще неверно, хотя существуют процессы, для которых стационарность в широком смысле влечет стационарность в узком смысле.

Совместная -мерная ПРВ отсчетов гауссовского процесса, взятых во временных сечениях , имеет вид



, (4.1)

где – определитель квадратной матрицы, составленной из попарных коэффициентов корреляции отсчетов; – алгебраическое дополнение элемента этой матрицы.

Совместная гауссовская ПРВ при любом полностью определяется математическими ожиданиями, дисперсиями и коэффициентами корреляции отсчетов, т. е. моментными функциями не выше второго порядка. Если гауссовский процесс стационарен в широком смысле, то все математические ожидания одинаковы, все дисперсии (а значит, и СКО) равны друг другу, а коэффициенты корреляции определяются только тем, насколько временные сечения отстоят друг от друга. Тогда, очевидно, ПРВ (4.1) не изменится, если все временные сечения сдвинуть влево или вправо на одну и ту же величину. Отсюда следует, что гауссовский процесс, стационарный в широком смысле, стационарен и в узком смысле (строго стационарен).

Среди строго стационарных случайных процессов часто выделяют более узкий класс эргодических случайных процессов. Для эргодических процессов моменты, найденные усреднением по ансамблю, равны соответствующим моментам, найденным усреднением по времени:

,



(здесь – символическое обозначение оператора усреднения по времени).

В частности, для эргодического процесса математическое ожидание, дисперсия и АКФ равны соответственно

,

,





Эргодичность весьма желательна, так как дает возможность практически измерять (оценивать) числовые характеристики случайного процесса. Дело в том, что обычно наблюдателю доступна лишь одна (хотя, возможно, достаточно длинная) реализация случайного процесса. Эргодичность означает, по существу, что эта единственная реализация является полноправным представителем всего ансамбля.

Измерение характеристик эргодического процесса может быть выполнено при помощи простых измерительных устройств; так, если процесс представляет собой напряжение, зависящее от времени, то вольтметр магнитоэлектрической системы измеряет его математическое ожидание (постоянную составляющую), вольтметр электромагнитной или термоэлектрической системы, подключенный через разделительную емкость (для исключения постоянной составляющей), – его среднеквадратическое значение (СКО). Устройство, структурная схема которого показана на рис. 4.1, позволяет измерить значения функции автокорреляции при различных . Фильтр нижних частот играет здесь роль интегратора, конденсатор выполняет центрирование процесса, так как не пропускает постоянную составляющую тока. Это устройство называется коррелометром.




Рис. 4.1

Достаточными условиями эргодичности стационарного случайного процесса служат условие , а также менее сильное условие Слуцкого .
^
Дискретные алгоритмы оценивания параметров СП

Приведенные выше выражения для нахождения оценок параметров СП и корреляционной функции справедливы для непрерывного времени. В данной лабораторной работе (как и во многих современных технических системах и приборах) аналоговые сигналы генерируются и обрабатываются цифровыми устройствами, что приводит к необходимости некоторого изменения соответствующих выражений. В частности, для определения оценки математического ожидания используется выражение выборочного среднего

,

где – последовательность отсчетов процесса (выборка объема ). Оценкой дисперсии служит выборочная дисперсия, определяемая выражением

.

Оценка автокорреляционной функции, иначе называемая коррелограммой, находится как

.

Оценкой плотности распределения вероятностей мгновенного значения ССП служит гистограмма. Для ее нахождения диапазон возможных значений СП разбивается на интервалов равной ширины, затем для каждого -го интервала подсчитывается количество отсчетов выборки, попавших в него. Гистограмма представляет собой набор чисел , обычно изображаемый в виде решетчатой диаграммы. Количество интервалов при заданном объеме выборки выбирается исходя из компромисса между точностью оценивания и разрешением (степенью подробности) гистограммы.
^
Корреляционно-спектральная теория случайных процессов

Если интересоваться только моментными характеристиками первого и второго порядка, которые определяют свойство стационарности в широком смысле, то описание стационарного СП осуществляется на уровне автокорреляционной функции и спектральной плотности мощности , связанных парой преобразований Фурье (теорема Винера–Хинчина):

, .

Очевидно, СПМ – неотрицательная функция. Если процесс имеет ненулевое математическое ожидание , то к СПМ добавляется слагаемое .

Для вещественного процесса АКФ и СПМ – четные вещественные функции.

Иногда можно ограничиться числовыми характеристиками – интервалом корреляции и эффективной шириной спектра. ^ Интервал корреляции определяют по-разному, в частности, известны следующие определения (рис. 4.2).


а б

Рис. 4.2

1. Интервал корреляции – такое значение , при котором АКФ спадает до заданного уровня, например, до 1/10 максимального значения.

2. Интервал корреляции – ширина основания прямоугольника, имеющего площадь, равную площади под графиком АКФ.

Эффективную ширину спектра определяют по спектральной плотности мощности аналогичными способами.

Очень часто используют следующие две модели стационарных случайных процессов.

^ Белый шум – стационарный случайный процесс с нулевым средним, имеющий АКФ вида

.

Очевидно, в этом случае СПМ постоянна на всех частотах от до , .

Квазибелый шум (шум, белый в ограниченной полосе частот от до ) имеет СПМ вида



АКФ квазибелого шума согласно теореме Винера–Хинчина имеет вид

.

^ Воздействие стационарного случайного процесса на линейные стационарные цепи

Рассматривая воздействие стационарного случайного процесса (ССП) на линейную стационарную цепь в рамках корреляционно-спектральной теории, достаточно интересоваться только моментами не выше второго порядка: при воздействии ССП на линейную стационарную цепь с комплексной частотной характеристикой (КЧХ) и импульсной характеристикой можно ставить задачу найти среднее значение (математическое ожидание) и АКФ выходного процесса , а также взаимно корреляционные функции и процессов и .

Если на вход цепи с КЧХ воздействует стационарный процесс с нулевым средним и АКФ , то выходной процесс имеет спектральную плотность мощности

. (4.2)

Поскольку частотные функции в (4.2) умножаются, соответствующие временные функции взаимодействуют посредством свертки

.

Здесь временнáя функция соответствует спектральной плотности мощности входного процесса, а



– автокорреляционная функция импульсной характеристики.

Взаимно корреляционная функция входного и выходного процессов

.

Для ВКФ входного и выходного процессов выполняется свойство .

Анализ распределения шума на выходе линейной стационарной цепи в общем случае весьма сложен, однако во многих практически важных случаях выходной процесс можно считать гауссовским. Это предположение оправдано, когда:

1) эффективная ширина спектра входного процесса намного шире, чем полоса пропускания цепи (при этом происходит нормализация процесса);

2) на вход цепи воздействует гауссовский процесс, не обязательно широкополосный.

^ Безынерционные нелинейные преобразования случайных
процессов


Анализ многомерного распределения СП на выходе нелинейной цепи в общем случае представляет собой крайне сложную задачу. Если нелинейная цепь является безынерционной, то фактически рассматривается нелинейное преобразование случайной величины, анализ которого сравнительно прост.

Нелинейная безынерционная цепь описывается характеристикой – зависимостью мгновенного значения выходного процесса от мгновенного значения входного процесса в этот же момент времени. Если эта зависимость монотонна, то

,

где – функция, обратная по отношению к . Если характеристика цепи не является монотонной и содержит участков монотонности, то

,

где – функция, обратная к характеристике нелинейности на -м участке монотонности.
  1   2   3   4   5   6   7

Похожие:

Случайные процессы и их характеристики iconФундаментальные общественные процессы и геополитические силы, их...
Фундаментальные процессы, своеобразные «генераторы» общественного развития, формируют разнообразные количественные и качественные...
Случайные процессы и их характеристики iconМаркетинг
Эффективность бизнеса. Модельные характеристики высокоэффективного бизнеса. Стержневые бизнес-процессы. Критерии маркетинговой ориентации:...
Случайные процессы и их характеристики iconКурс «Статистические методы управления качеством» специальность 200503...
Особенности эмпирических данных. Случайные величины. Распределения случайных величин. Статистические гипотезы
Случайные процессы и их характеристики iconН. А. Парфенова переходные процессы
Парфенова Н. А переходные процессы в электроэнергетических системах. Часть Электромеханические переходные процессы: Учебное пособие...
Случайные процессы и их характеристики iconДисциплина: «Технология электро-приботростроения» Лабораторная работа...
Качество выполнения этой операции определяет как механические характеристики мпп, так и ее функциональную надежность при последующей...
Случайные процессы и их характеристики iconОглавление
Зафиксируем сначала, специально не обосновывая, характеристики техники, определяющие ее сущность. Эти характеристики достаточно очевидны,...
Случайные процессы и их характеристики iconЭкзаменационные вопросы
Непрерывные случайные величины. Функция распределения вероятностей, плотность вероятности. Свойства
Случайные процессы и их характеристики icon1 Предмет теории вероятностей
Случайные события, виды случайных событий, основные понятия и определения
Случайные процессы и их характеристики iconИзмерение общего уровня шума и его частотной характеристики
Шумомер вшв – 003М2 используется для измерения общего уровня шума и его частотной характеристики, а также общего уровня вибрации...
Случайные процессы и их характеристики iconВопросы по электротехнике и электроприводу для специальности тдп 3 курс
Электрические цепи, основные элементы, характеристики. Потребители электроэнергии. Вольтамперные характеристики. Источник тока. Источник...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
userdocs.ru
Главная страница