1. 10. Факторы, влияющие на величину изменения цены облигации при изменении ее внутренней доходности


Скачать 74.29 Kb.
Название1. 10. Факторы, влияющие на величину изменения цены облигации при изменении ее внутренней доходности
Дата публикации12.07.2013
Размер74.29 Kb.
ТипДокументы
userdocs.ru > Математика > Документы
1.10. Факторы, влияющие на величину изменения цены облигации при изменении ее внутренней доходности.

В предыдущем параграфе установлено основное свойство облигации - ее цена изменяется в направлении, противоположном направлению изменения ее внутренней доходности. Однако, изменение цены неодинаково при снижении и повышении доходности на одну и ту же величину. Справедлива следующая теорема.

Теорема 10.1. Уменьшение внутренней доходности облигации приводит к росту ее цены на величину большую, чем соответствующее падение цены при увеличении доходности на ту же величину.

Доказательство. Пусть r и P(r) – внутренняя доходность и цена облигации в текущий момент времени. Уменьшению внутренней доходности в этот момент на величину Δr > 0 соответствует рост цены облигации

P(r–Δr) – P(r) = Δ+P(r), а увеличению внутренней доходности на ту же величину Δr > 0 соответствует падение цены P(r) – P(r + Δ r) = ΔP(r). Покажем, что Δ+P(r) > ΔP(r).

Р
ис. 1.10.1

По теореме Лагранжа существуют точки и такие, что

,

.

Отсюда

Δ+P(r) = – P/(r1r,

ΔP(r) = – P/(r2r.

По теореме 9.1 функция P(r) является выпуклой, т.е. . Значит, производная

P/(r) – возрастающая функция. Так как r1 < r2, то P/(r1) < P/(r2). Отсюда

P/(r1r > – P/(r2r,

где Δr > 0. Следовательно,

Δ+P(r) > ΔP(r).

Как следует из доказательства, данное свойство изменения цены облигации можно объяснить выпуклостью функции P(r).

Заметим, что аналогичное утверждение справедливо и для относительного изменения цены. Действительно, из доказанного неравенства сразу получаем

,

или

.

Пример 10.1. По 8% - ной купонной облигации номиналом 1000 д.е. и сроком до погашения 10,25 лет обещают производить каждые полгода купонные платежи. Внутренняя доходность облигации равна 8% годовых. Найти изменения цены облигации при изменении ее внутренней доходности на величину Δ r = 1%.

Значения параметров облигации: A = 1000 д.е., f = 0,08, r = 0,08; m = 2, T = 10,25 года. Так как Tm = 20,5, то n = [20,5] + 1 = 21. Тогда = = 0,25 (года). По формуле (9.2) находим

= 1019,8039,

= 953,7374,

= 1092,1144.

Следовательно,

P(0,08) – P(0,09) = 66,067 = ΔP(0,08),

P(0,07) – P(0,08) = 72,310 = Δ+P(0,08),

Δ+P(0,08) > Δ-P(0,08).

Для относительного изменения цены получаем

= 0,071 > 0,065 = .

Характер изменения цены облигации при изменении ее внутренней доходности одинаков для всех облигаций, однако степень этого процесса зависит и от уровня процентных ставок рынка.

Теорема 10.2. Чем выше уровень процентных ставок рынка, тем меньше изменение цены облигации при изменении ее внутренней доходности на заданную величину.

Доказательство. Рассмотрим облигацию, продающуюся при двух уровнях доходности рынка rн < rв. По свойству внутренней доходности, это означает продажу облигации при двух различных уровнях ее внутренней доходности. Пусть в обоих случаях доходность увеличилась на одну и ту же величину Δr > 0. Будем считать, что = Ø. Падение цены облигации при уровнях доходности rн и rв равно соответственно

P(rн) – P(rн + Δ r) = ΔP(rн) и P(rв) – P(rв + Δ r) = ΔP(rв).

Покажем, что ΔP(rн) > ΔP(rв).




Рис. 1.10.2

По теореме Лагранжа существуют точки и такие, что

P(rн) – P(rн + Δ r) = – P/(r1r и P(rв) – P(rв + Δ r) = – P/(r2r, т.е.

ΔP(rн) = – P/(r1r и ΔP(rв) = – P/(r2r.

Так как = Ø, то r1 < r2. Следовательно, P/(r1) < P/(r2). Отсюда

P/(r1r > – P/(r2r,

где Δr > 0. Значит,

ΔP(rн) > ΔP(rв).

Таким образом, абсолютное падение цены облигации тем меньше, чем выше уровень процентных ставок рынка.

Доказательство аналогично, если рассмотреть абсолютный рост цены облигации при уменьшении доходности на Δr > 0. Теорема доказана.

Замечание. Утверждение теоремы можно доказать и для относительного изменения цены облигации.

Пример 10.2. Рассмотрим облигацию с параметрами: A = 100 д.е., = 0,09; m = 1; T = 25 лет, продающуюся при двух уровнях доходности: rн = 0,07 и rв = 0,13. В обоих случаях доходность увеличилась на 1%.

По формуле (9.2) находим (τ = 0)

= 123,3072

= 110,6748

= 70,6801

= 65,6354

Увеличение доходности в каждом случае привело к снижению цены на величину

ΔP(rн) = ΔP(0,07) = P(0,07) – P(0,08) = 12,6324,

ΔP(rв) = ΔP(0,13) = P(0,13) – P(0,14) = 5,0447.

Следовательно, ΔP(0,07) > ΔP(0,13).

Для относительных изменений цен получаем

> ,

поскольку

= = 0,1024,

= = 0,0714.

В следующих теоремах устанавливается зависимость величины изменения цены облигации от купонной ставки и срока до погашения.

Теорема 10.3. Пусть срок до погашения облигации больше одного купонного периода. Тогда относительное изменение цены облигации при изменении ее внутренней доходности тем больше, чем меньше купонная ставка.

Доказательство. Рассмотрим две купонные облигации, все параметры которых совпадают, кроме купонных ставок. Пусть r – внутренняя доходность облигаций в текущий момент времени. Предположим, внутренняя доходность облигаций в этот момент снизилась на величину Δr > 0. Сравним относительный рост стоимости этих облигаций. Пусть для определенности f1 < f2.

= =

= =

= = .

Так как f2 > f1, то знак этого выражения совпадает со знаком разности bc – ad.

Рассмотрим bcad =

= =

= > 0

поскольку n > 1, i n, Δr > 0. Следовательно

,

где f1 < f2. Доказательство аналогично, если рассмотреть относительное падение цен облигаций. Теорема доказана.

Замечание. Утверждение теоремы справедливо только для относительного изменения цены облигации. Несложно убедиться, что чем меньше купонная ставка, тем меньше абсолютное изменение цены облигации при изменении ее внутренней доходности. Кроме того, предлагается самостоятельно доказать, что кривые зависимости P(r) для f1 < f2 имеют вид, показанный на рисунке 10.3.




Рис. 1.10.3

Пример 10.3. По купонной облигации номиналом 1000 д.е. и сроком до погашения 9,25 лет обещают производить каждые полгода купонные платежи. Внутренняя доходность облигации равна 9% годовых. Сравнить величины относительного роста и падения цены облигации при изменении ее внутренней доходности на величину Δr = 2% для купонных ставок 8 и 9% годовых.

Параметры облигации: A = 1000 д.е., r = 0,09; f1 = 0,08; f2 = 0,09; m = 2, T = 9,25 года. Так как Tm = 18,5, то n = [18,5] + 1 = 19. Тогда = == 0,25 (года). Здесь f1 < f2.

1) Сравним величины относительного роста цены при уменьшении внутренней доходности облигации на 2%. По формуле (9.2) находим

= 957,8848,

= 1087,0878,

= 1022,252

= 1156,826.

Тогда

.

2) Сравним величины относительного падения цены при увеличении внутренней доходности облигации на 2%. По формуле (9.2)

= 848,2931; = 907,906.

Тогда

.

Замечание. Для абсолютных изменений цены имеем

= 129,203 < 134,574 =,

= 109,592 < 114,346 = ,

где f1 < f2.

Теорема 10.4. Если внутренняя доходность купонной облигации не изменяется в течение срока ее обращения, то изменение размера премии или дисконта тем больше, чем меньше срок до погашения.

Доказательство. Размер премии в момент, когда до погашения облигации остается n купонных платежей, равен

Пn = ,

где f > r . Пусть n1 < n2, где n1 и n2 – число купонных платежей, оставшихся до погашения облигации, и = 0. Рассмотрим разность (Пn1 – Пn1 – 1) – (Пn2 – Пn2 1) =

==

= > 0.

Аналогично можно доказать утверждение и для изменения дисконта. Теорема доказана.

Пример 10.4. Для облигации, рассмотренной в примерах 9.3 и 9.4 с параметрами A = 1000 д.е., f = 0,08, m = 1 при условии, что ее внутренняя доходность r не изменяется в течение срока обращения, имеем:

а) облигация продается с дисконтом, r = 0,09:

Д20 = 91,285; Д19 = 89,501; Д20 – Д19 = 1,784;

Д10 = 64,177; Д9 = 59,952; Д10 – Д9 = 4,224.

Следовательно, Д10 – Д9 > Д20 – Д19.

б) облигация продается с премией, r = 0,07:

П20 = 105,940; П19 = 103,356; П20 – П19 = 2,584;

П10 = 70,236; П9 = 65,152; П10 – П9 = 5,083.

Следовательно, П10 – П9 > П20 – П19.


Похожие:

1. 10. Факторы, влияющие на величину изменения цены облигации при изменении ее внутренней доходности icon1 Купонная облигация. Зависимость цены облигации от внутренней доходности,...
Облигация называется купонной, если по этой облигации производятся регулярные выплаты фиксированного процента от номинала, называемые...
1. 10. Факторы, влияющие на величину изменения цены облигации при изменении ее внутренней доходности icon1. 12. Временная зависимость стоимости инвестиции в облигацию. Иммунизирующее...
Факторов на цену облигации – внутренней доходности, купонной ставки, срока до погашения. Установлено, что мерой чувствительности...
1. 10. Факторы, влияющие на величину изменения цены облигации при изменении ее внутренней доходности icon1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации
Однако существует показатель, который позволяет оценить возможные значения величины, не производя вычислений цены облигации до и...
1. 10. Факторы, влияющие на величину изменения цены облигации при изменении ее внутренней доходности iconЛекция 3 Облигации Вопрос Экономическая характеристика облигации
Осуществляя инвестирование в ценные бумаги с постоянным процентом, инвесторы рассчитывают, с одной стороны, ни низкий риск, в с другой...
1. 10. Факторы, влияющие на величину изменения цены облигации при изменении ее внутренней доходности iconОтчет о калькуляции (руб.)
Вычисление отклонений и оценка пересмотренной нормативной цены материала на основе изменения индекса цены на материал
1. 10. Факторы, влияющие на величину изменения цены облигации при изменении ее внутренней доходности iconВопросы к экзамену по инфраструктуре Методы изучения потребностей...
Методы изучения потребностей туристов. Факторы, влияющие на потребность и спрос населения
1. 10. Факторы, влияющие на величину изменения цены облигации при изменении ее внутренней доходности iconСпрос и предложение могут быть использованы для объяснения координирующей роли цены на рынке
Если, несмотря на изменения цены товара, общая выручка не изменяется, коэффициент ценовой эластичности
1. 10. Факторы, влияющие на величину изменения цены облигации при изменении ее внутренней доходности iconВопрос Доход по облигациям
Осуществляя инвестирование в ценные бумаги с постоянным процентом, инвесторы рассчитывают, с одной стороны, ни низкий риск, в с другой...
1. 10. Факторы, влияющие на величину изменения цены облигации при изменении ее внутренней доходности iconСтруктура цен хеджирующих и инвестиционных стратегий в модели Хо-Ли рынка облигаций
Будем рассматривать облигации без купонов и с единичным номиналом и тогда во избежание арбитражной ситуации следует предположить,...
1. 10. Факторы, влияющие на величину изменения цены облигации при изменении ее внутренней доходности iconСкорость тела равна 20м/с. Что это означает?
Н б при изменении длины тела на 10м в нём возникает сила упругости равная 10Н в при изменении длины тела на 1м в нём возникает сила...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
userdocs.ru
Главная страница