1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации


Скачать 189.71 Kb.
Название1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации
страница2/3
Дата публикации12.07.2013
Размер189.71 Kb.
ТипДокументы
userdocs.ru > Математика > Документы
1   2   3


Таким образом, цена облигации P(0,08) = 951,491 д.е., ее дюрация D = 2,784 года, показатель выпуклости C = 10,888 лет2.

2. Расчеты относительного изменения цены по формулам (11.3), (11.8), (11.9) для трех значений Δr приведены в таблице:


Δr

0,01

0,02

-0,01



Формула (11.3)

-0,025314

-0,049736

0,026248

Формула (11.8)

-0,025774

-0,051548

0,025774

Формула (11.9)

-0,025307

-0,049681

0,026241


Отрицательные значения соответствуют падению цены при увеличении процентных ставок, положительные – ее росту при снижении процентных ставок. Из расчетов видно, что чем меньше величина Δr по абсолютной величине, тем ближе значения, получаемые по формулам (11.3) и (11.8). Значит, тем меньше ошибка в оценке изменения цены только с помощью дюрации облигации.
Свойства дюрации и показателя выпуклости облигации.


  1. Дюрация облигации не превосходит срока до ее погашения Т.

Действительно,

,

где P(r) – рыночная стоимость облигации в момент t = 0, r – ее внутренняя доходность.

  1. Дюрация чисто дисконтной облигации равна сроку до ее погашения.
^

Действительно, для чисто дисконтной облигации имеем

,


где A – номинал облигации. Тогда дюрация облигации равна

.

  1. Если облигация не является чисто дисконтной, то чем больше внутренняя доходность облигации, тем меньше ее дюрация и показатель выпуклости.

Доказательство. Рассмотрим облигацию, по которой через t1 , t2,…, tn лет от текущего момента времени t = 0 (0 < t1 < t2 < … < tn ) обещают выплатить денежные суммы С1, С2,…, Сn соответственно. Безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Покажем, что дюрация D и показатель выпуклости C облигации - это убывающие функции r. Согласно определению

.

Рассмотрим производную



= .

Используем обозначения

, , .

Покажем, что a2bc < 0 методом математической индукции по числу платежей n.

Основание индукции n = 2.

a2bc = =

= , где t2 > t1.

Предположим, что утверждение верно для ( n – 1 ) платежей по облигации, т.е.

= .

Пусть теперь число платежей по облигации равно n. Рассмотрим

a2bc = =

= ( ) – ,

где < 0 по предположению индукции.



, где 0 < t1 < t2 <…< tn.

Следовательно a2bc < 0 для всех целых n > 1. Значит, .
^

Согласно определению, показатель выпуклости равен


.

Тогда

C = D + B,

где – дюрация облигации, . Следовательно, , где . Покажем, что .

.

Используем обозначения

, , , .

Покажем, что abdc < 0 методом математической индукции по числу платежей n.

Если n = 2, то





, где 0 < t1 < t2.

Положим, для ( n – 1 ) платежей по облигации, т.е.

.

Для n платежей по облигации имеем



.

по предположению индукции, =

= =



, где 0 < t1 < t2 <…< tn.

Значит, abdc < 0 для всех целых n > 1. Следовательно . Тогда . Свойство доказано.

  1. Если все платежи по облигации отсрочить на t0 лет, не изменяя ее внутренней доходности r, то дюрация облигации увеличится на t0 лет, а показатель выпуклости – на (t02 + 2 t0D + t0 ) лет2.

Доказательство. Дюрация исходной облигации

.

Дюрация облигации с отсроченными платежами



= .

Таким образом,

= D + t0. (11.12)

Показатель выпуклости исходной облигации

.

Показатель выпуклости облигации с отсроченными платежами равен





= C + 2 t0D + t02 + t0 .

Таким образом,

= C + (t02 + 2 t0D + t0 ). (11.13)

Свойство доказано.

  1. Если до погашения облигации остается больше одного купонного периода, то при заданном значении внутренней доходности r дюрация облигации и показатель выпуклости тем больше, чем меньше купонная ставка.

Доказательство. Покажем, что дюрация облигации и показатель выпуклости – убывающие функции купонной ставки f .

Формула (11.6) для дюрации купонной облигации, продающейся через время после купонной выплаты с доходностью к погашению r, когда до погашения остается n купонных выплат, имеет вид:

. (11.14)

Цена облигации

.

Используем обозначения

. (11.15)

Тогда

.

Рассмотрим производную дюрации по купонной ставке f.



,

так как и по условию n > 1. Таким образом, .

Показатель выпуклости купонной облигации равен

. (11.16)

Используем те же обозначения (11.15). Тогда

C = .
1   2   3

Похожие:

1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации icon1. 12. Временная зависимость стоимости инвестиции в облигацию. Иммунизирующее...
Факторов на цену облигации – внутренней доходности, купонной ставки, срока до погашения. Установлено, что мерой чувствительности...
1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации icon1 Купонная облигация. Зависимость цены облигации от внутренней доходности,...
Облигация называется купонной, если по этой облигации производятся регулярные выплаты фиксированного процента от номинала, называемые...
1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации iconЛекция 3 Облигации Вопрос Экономическая характеристика облигации
Осуществляя инвестирование в ценные бумаги с постоянным процентом, инвесторы рассчитывают, с одной стороны, ни низкий риск, в с другой...
1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации iconСтруктура цен хеджирующих и инвестиционных стратегий в модели Хо-Ли рынка облигаций
Будем рассматривать облигации без купонов и с единичным номиналом и тогда во избежание арбитражной ситуации следует предположить,...
1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации icon92. Облигация. Определение, функции, свойства, разновидности
Облигация может также предусматривать право ее владельца на получение фиксированного в ней процента от номинальной стоимости облигации...
1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации icon1 Внутренняя доходность облигации. Временная структура процентных ставок
Анализ финансовых инвестиций в условиях определенности будем изучать на примере ценных бумаг с фиксированным доходом. Наиболее распространенным...
1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации iconДополнительный материал: Облигации организации: экономическая сущность,...
Облигация долговое обязательство эмитента, выпустившего ценную бумагу, уплатить владельцу облигации в оговоренный срок номинальную...
1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации icon4. Абсолютные и относительные
Статистический показатель представляет собой обобщающую количественную характеристику какого-либо свойства совокупности, группы....
1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации icon1. 10. Факторы, влияющие на величину изменения цены облигации при...
В предыдущем параграфе установлено основное свойство облигации ее цена изменяется в направлении, противоположном направлению изменения...
1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации iconКурсовая стоимость и доходность облигаций. Дюрация Макколея
Необходимые и достаточные условия экстремума дважды непрерывно- дифференцируемой функции двух переменных
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
userdocs.ru
Главная страница