1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации


Скачать 189.71 Kb.
Название1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации
страница3/3
Дата публикации12.07.2013
Размер189.71 Kb.
ТипДокументы
userdocs.ru > Математика > Документы
1   2   3
^

Рассмотрим производную




.

Отсюда



.

Таким образом, . Свойство доказано.

  1. Зависимость дюрации облигации от срока до погашения при неизменных f и r, где f и r – купонная ставка и внутренняя доходность облигации соответственно, сформулируем в виде следующих утверждений. Пусть Dn – дюрация облигации, платежи по которой выплачиваются m раз в год и до погашения которой остается n купонных периодов. Тогда

6а. .

6b. Если , то последовательность {Dn} является возрастающей.

6с. Если f < r, то можно указать число n0 такое, что для облигаций с числом периодов до погашения n < n0 последовательность {Dn} является возрастающей.

Доказательство. 6а. Согласно (11.14), дюрация облигации при τ = 0, когда до погашения остается n купонных периодов, равна

. (11.17)

Так как

,

то

,

где < 1. Поскольку , то получаем .

Так как обычно r мало, то

.

Тогда

. (11.18)

Заметим, что значение предела не зависит от купонной ставки облигации.

6b. Пусть . Для простоты будем считать, что платежи по облигации выплачиваются раз в год (m = 1) и до ее погашения остается n лет (τ = 0). Тогда дюрация купонной облигации равна

.

Используем обозначение . Тогда

.

Так как , , то

,

где a = (1 – p)(1 – pfp). Покажем, что .

Рассмотрим разность

Dn+1Dn = =

= ,

где .

Покажем, что B > 0. Используем метод математической индукции по числу оставшихся до погашения облигации купонных платежей.

Основание индукции n = 0. Тогда



.

Заметим, что при n = 0 разность D1D0 = 1, т.к. D1 = 1 - дюрация облигации за год до погашения, когда она уже является чисто дисконтной, D0 = 0 - дюрация облигации в день погашения сразу после купонной выплаты.

Предположим, что B > 0 при n = k, т.е.

.

Пусть теперь n = k + 1. Рассмотрим







.

По предположению индукции Bk > 0.



,

так как , при . Следовательно, Bk+1 > 0. Отсюда B > 0 для любого целого неотрицательного n. Значит, Dn+1Dn > 0. Утверждение доказано.

На рис. 1.11.2 показана зависимость дюрации облигации от срока до погашения при , m = 1, τ = 0.




Рис. 1.11.2

6с. Пусть . Дюрация купонной облигации, платежи по которой выплачиваются раз в год (m = 1) и до погашения остается n лет (τ = 0), равна

.

Рассмотрим разность

Dn+1Dn = ,

где

,

a = (1 – p)(1 – pfp), .

Преобразуем это выражение к виду:

. (11.19)

Легко убедиться, что если , то ^ B > 0 (следовательно ). С другой стороны, если n достаточно велико, например , то B < 0 (следовательно,). Действительно,



.

Следовательно, существует срок, когда разность изменяет знак. В качестве приближенного значения такого срока можно взять (целую часть). Число получено при условии, что , когда выражение в квадратных скобках в (11.19) равно нулю. Равенство является приближенным с точностью до . Следовательно, чем ближе значения r и f , тем точнее полученное данным методом значение , что и подтверждается расчетами для r = 25% и ряда значений f.

f



(лет)

Значение n (лет), при котором

Dn+1 - Dn меняет знак (точное)

3 %

9,7

9

12

5 %

10,3

10

12

10 %

12,3

12

13

15 %

16,5

16

17

20 %

29,0

29

30

23 %

66,5

66

67

24 %

129,0

129

129


Из выражения для n0 следует, что чем ближе значения r и f , тем больше срок n0. Кроме того, несложно убедиться, что чем больше купонная ставка f, тем больше n0. Эти выводы подтверждаются приведенными расчетами. Элементы последнего столбца в этой таблице получены из непосредственных вычислений дюрации облигации для различных значений n по формуле (11.17). Пример таких вычислений для купонных ставок f1 = 5% и f2 = 10% показан в следующей таблице:


n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Df1

1

1,94

2,82

3,60

4,29

4,87

5,34

5,70

5,96

6,13

6,21

6,24

6,22

6,16

6,08

Df2

1

1,90

2,68

3,35

3,90

4,34

4,68

4,93

5,11

5,23

5,30

5,34

5,36

5,35

5,33


Покажем, что если , то для любого .

Имеем

,

где

.

Установим знак B при условии .

B



,

так как и . Значит .

Следовательно, если f < r, то можно указать число n0 такое, что для облигаций с числом периодов до погашения n < n0 последовательность {Dn} является возрастающей. Таким образом, если облигации A1, A2, …, Ak продаются с дисконтом и число периодов до их погашения n1 < n2 < …< nk < n0, то при прочих равных условиях Dn1 < Dn2 <…< < , где Dn1 , Dn2 ,…, – дюрации этих облигаций.

Покажем, что значение дюрации облигации со сроком погашения n0 удовлетворяет неравенству , где при m = 1 (см. пункт 6а). Предположим противное. Пусть . Следовательно . Отсюда, учитывая, что при , получаем . Противоречие, так как . Следовательно, при f < r характер зависимости дюрации облигации от срока до погашения имеет вид, показанный на рисунке 1.11.3. На этом рисунке показана зависимость дюрации облигации от срока до погашения для купонных ставок .



Рис. 1.11.3.


1   2   3

Похожие:

1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации icon1. 12. Временная зависимость стоимости инвестиции в облигацию. Иммунизирующее...
Факторов на цену облигации – внутренней доходности, купонной ставки, срока до погашения. Установлено, что мерой чувствительности...
1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации icon1 Купонная облигация. Зависимость цены облигации от внутренней доходности,...
Облигация называется купонной, если по этой облигации производятся регулярные выплаты фиксированного процента от номинала, называемые...
1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации iconЛекция 3 Облигации Вопрос Экономическая характеристика облигации
Осуществляя инвестирование в ценные бумаги с постоянным процентом, инвесторы рассчитывают, с одной стороны, ни низкий риск, в с другой...
1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации iconСтруктура цен хеджирующих и инвестиционных стратегий в модели Хо-Ли рынка облигаций
Будем рассматривать облигации без купонов и с единичным номиналом и тогда во избежание арбитражной ситуации следует предположить,...
1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации icon92. Облигация. Определение, функции, свойства, разновидности
Облигация может также предусматривать право ее владельца на получение фиксированного в ней процента от номинальной стоимости облигации...
1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации icon1 Внутренняя доходность облигации. Временная структура процентных ставок
Анализ финансовых инвестиций в условиях определенности будем изучать на примере ценных бумаг с фиксированным доходом. Наиболее распространенным...
1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации iconДополнительный материал: Облигации организации: экономическая сущность,...
Облигация долговое обязательство эмитента, выпустившего ценную бумагу, уплатить владельцу облигации в оговоренный срок номинальную...
1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации icon4. Абсолютные и относительные
Статистический показатель представляет собой обобщающую количественную характеристику какого-либо свойства совокупности, группы....
1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации icon1. 10. Факторы, влияющие на величину изменения цены облигации при...
В предыдущем параграфе установлено основное свойство облигации ее цена изменяется в направлении, противоположном направлению изменения...
1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации iconКурсовая стоимость и доходность облигаций. Дюрация Макколея
Необходимые и достаточные условия экстремума дважды непрерывно- дифференцируемой функции двух переменных
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
userdocs.ru
Главная страница