1. 12. Временная зависимость стоимости инвестиции в облигацию. Иммунизирующее свойство дюрации облигации


Скачать 116.22 Kb.
Название1. 12. Временная зависимость стоимости инвестиции в облигацию. Иммунизирующее свойство дюрации облигации
Дата публикации12.07.2013
Размер116.22 Kb.
ТипДокументы
userdocs.ru > Математика > Документы
1.12. Временная зависимость стоимости инвестиции в облигацию. Иммунизирующее свойство дюрации облигации.

До сих пор мы обсуждали рыночную цену облигации в момент t = 0 – момент покупки облигации. Рассмотрено влияние трех важнейших факторов на цену облигации – внутренней доходности, купонной ставки, срока до погашения. Установлено, что мерой чувствительности цены облигации к изменению процентных ставок на рынке является дюрация облигации, а показатель выпуклости показывает насколько точно дюрация оценивает эту чувствительность.

Проблема оценки облигации существует не только тогда, когда облигация покупается или продается на рынке, но и когда она находится у владельца. Для оценки стоимости облигации через t лет после покупки, где t[0, T], T лет – срок до погашения облигации, используется понятие стоимости инвестиции в момент t.

Рассмотрим облигацию, по которой через t1, t2,…, tn = T лет от текущего момента времени t = 0 обещают выплатить денежные суммы С1, С2,…,Сn соответственно.

Определение. Стоимость инвестиции в облигацию в момент t[0, ^ T] – это стоимость потока платежей по облигации С1, С2,…,Сn в момент t.

Напомним, что определение стоимости потока платежей в момент t приведено в параграфе 1.4. Обозначим стоимость инвестиции в облигацию через t лет после покупки через P(t). Как следует из определения, P(t) - это сумма всех членов потока платежей по облигации, приведенных к моменту времени t. Пусть t1, t2,…, tm, tm + 1,…, tn моменты поступления платежей С1, С2,…, Сm , Сm+1,…, Сn соответственно и t[tm, tm + 1]. Тогда

, (12.1)

где F(tk, t) - множитель наращения k – го платежа на временном отрезке [tkt], k = 1, 2,. .., m; ν(t, tk) - дисконтный множитель k – го платежа на отрезке [ttk], k = m + 1,…, n.

Таким образом, стоимость инвестиции в облигацию в момент t имеет две составляющие – результат реинвестирования поступивших до момента t платежей по облигации:

Rt =

и рыночную цену облигации в момент t:

Pt =.

Как следует из этих выражений, стоимость инвестиции в момент t = 0 - это рыночная цена покупки облигации, т.е. P(0) = P.

Таким образом, стоимость инвестиции в облигацию через t лет после покупки получают, исходя из следующих предположений:

1) все платежи, полученные от облигации до момента t, реинвестируются;

2) в момент t облигации данного выпуска имеются на рынке. Облигация, купленная t лет назад, может быть продана на рынке по существующей на этот момент времени рыночной цене Pt .

Тогда


P(t) = Rt + Pt . (12.2)

Очевидно, что Rt определяется набором годовых безрисковых ставок для инвестиций на сроки (tt1), (tt2) лет и т.д. для всех платежей по облигации до момента t. Рыночная цена Pt определяется количеством оставшихся до погашения платежей по облигации и временной структурой процентных ставок на момент t по временному диапазону (Tt) лет.


Рассмотрим облигацию, по которой через t1, t2,…, tm, tm + 1,…, tn лет от текущего момента времени t = 0 обещают выплатить денежные суммы С1, С2,…, Сm , Сm+1,…, Сn соответственно. Пусть t [ tm, tm + 1]. Тогда

Rt = , (12.3)

Pt = , (12.4)

где r(tt1), …, r(t tm) – годовые безрисковые процентные ставки для инвестирования на (tt1), …, (t tm) лет соответственно в моменты t1, t2,…, tm;

r(tm + 1 - t), …, r(tn - t) – годовые безрисковые процентные ставки для инвестирования на (tm+1 - t), …, (tn - t) лет соответственно в момент t.

Пример 12.1. Дана облигация со следующим потоком платежей на момент покупки (t = 0):
^

Срок, годы


1

2

3

4

5

6

Платеж, д.е.

20

20

20

15

15

135

Определить стоимость инвестиции в эту облигацию через 3,5 года после покупки для безрисковых процентных ставок, приведенных в таблице:

Ставка, %


17

16

15

15

15,5

16

Срок инвестирования, годы

2,5

1,5

0,5

0,5

1,5

2,5

Момент инвестирования

1

2

3

3,5

3,5

3,5

Результат реинвестирования поступивших до момента t = 3,5 платежей по облигации составляет

Rt = 20(1 + 0,17)2,5 + 20(1 + 0,16)1,5 + 20(1 + 0,15)0,5 = 76,0486 (д.е.)
^

Рыночная стоимость облигации через 3,5 года после ее покупки будет


Pt = = 119,2231(д.е.)

Таким образом, стоимость инвестиции в облигацию через 3,5 года после ее покупки составит 76,0486 + 119,2231 = 195,2717 (д.е.).

Теперь предположим, что в момент покупки облигации t = 0 временная структура процентных ставок такова, что безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Рассмотрим стоимость инвестиции в облигацию через t лет после покупки для двух случаев:

1) временная структура процентных ставок остается неизменной до погашения облигации;

2) сразу после покупки облигации безрисковые процентные ставки для всех сроков мгновенно изменились на одну и ту же величину и стали равными , а затем уже не менялись.

Стоимость инвестиции в облигацию в момент t в первом случае называют планируемой и обозначают через P(r,t), во втором случае – фактической и обозначают через P(, t).
Свойства планируемой и фактической стоимостей инвестиции.

1. P(r, t) и P(, t) – непрерывные возрастающие функции времени:

P(r, t) = , (12.5)

P(, t) =. (12.6)

Действительно, согласно (12.2),

P(r, t) = Rt(r) + Pt(r).

Здесь Rt(r) – результат реинвестирования на момент t поступивших до этого момента платежей от облигации по ставке r, Pt(r) – планируемая рыночная цена облигации через t лет после покупки. Пусть t1, t2,…, tm, tm + 1,…, tn – моменты поступления платежей С1, С2,…, Сm , Сm+1,…, Сn соответственно и [tm, tm+1]. Тогда планируемая стоимость инвестиции

P(r, t) = + =

= = .

Здесь

P(r) =

– рыночная цена покупки облигации в момент t = 0, соответствующая существующей на этот момент времени временной структуре процентных ставок.

Фактическая стоимость инвестиции в момент t согласно (12.2), равна

P(, t) = Rt() + Pt().

Здесь Rt() – результат реинвестирования на момент t поступивших до этого момента платежей от облигации по ставке , Pt() – фактическая рыночная цена облигации через t лет после покупки. Выражение (12.6) для фактической стоимости инвестиции получаем аналогично:

P(, t) = + =

= = .

Здесь

P() =

– оценка облигации на момент t = 0, соответствующая новой временной структуре процентных ставок сразу после покупки облигации.

(12.5) и (12.6) – это показательные функции времени, основания которых больше единицы. Из элементарной математики известно, что такая функция является непрерывной и возрастающей.

2. Существует и притом единственный момент времени t*, когда фактическая стоимость инвестиции равна планируемой.

Доказательство. Пусть > r. Рассмотрим момент t = 0. Тогда P() < P(r) (см. зависимость цена – доходность, теорема 9.1), или

P(, 0) < P(r, 0). (12.7)



Рис. 1.12.1

Рассмотрим теперь момент погашения облигации t = tn. Тогда

P(r, tn) = ,

P(, tn) = .

Так как > r, то

P(, tn) > P(r, tn). (12.8)

Из неравенств (12.7) и (12.8) следует, что существует такой момент времени t*, когда P(, t*) = P(r, t*). Покажем, что момент t* является единственным. Предположим, что равенство стоимостей достигается в точках τ1 и τ2. Следовательно

P(1) = P(r, τ1) и P(2) = P(r, τ2).

= и = .

Тогда

.
Отсюда τ1 = τ2 = t*.




Рис. 1.12.2

Случай, когда < r, доказывается аналогично. Найдем t*.

P(, t*) = P(r, t*),

= ,

.

Отсюда

t* = . (12.9)

3. Теорема 12.1 (об иммунизирующем свойстве дюрации облигации).

Пусть D = D(r) – дюрация облигации в момент t = 0, когда безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Тогда в момент времени, равный дюрации облигации, t = D, фактическая стоимость инвестиции в облигацию не меньше планируемой, т.е.

P(, D) P(r, D) (12.10)

для любых значений .

Доказательство. Если после покупки облигации временная структура процентных ставок не изменилась, то = r и P(, D) = P(r, D).

Если сразу после покупки облигации безрисковые процентные ставки изменились и стали равными , то в момент t = D фактическая стоимость инвестиции в облигацию P(, ^ D) является функцией . Согласно (12.6),

P(, D) = .

Продифференцируем это выражение по :

.

Так как = (см. параграф 1.11), то

.

Пусть > r. Тогда по свойству 3 дюрации облигации D() < D(r) = D. Отсюда P(, D)/ > 0. Значит, P(, ^ D) – возрастающая функция . Следовательно,

P(r, D) < P(, D).

Если < r, то D() > D(r) = D. Тогда P(, D)/ < 0. Значит, P(, ^ D) – убывающая функция . Следовательно,

P(, D) > P(r, D). (12.11)

Таким образом, при любых значениях выполняется неравенство (12.10). Заметим, что при r неравенство является строгим, т.е. имеет вид (12.11). Теорема доказана.

Замечание. На основании доказанной теоремы можно сформулировать иммунизирующее свойство дюрации облигации. Пусть в момент инвестирования t = 0 безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы. Тогда в момент времени, равный дюрации облигации, инвестиция в облигацию иммунизирована (защищена) против изменений безрисковых процентных ставок сразу после t = 0 на одну и ту же величину (или до момента t1 – первого платежа по облигации, в чем несложно убедиться). Таким образом, иммунизирующее свойство дюрации облигации имеет место при условии горизонтальности кривой доходностей и параллельности ее сдвигов.

Следствие. Пусть D = D(r) – дюрация облигации в момент t = 0, когда безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r, а r1 и r2 – безрисковые процентные ставки сразу после t = 0. Тогда если r1 < r < r2, то

t*(r2) < D < t*( r1). (12.12)

Доказательство. Рассмотрим r1 < r. Согласно теореме

P(r1, D) > P(r, D).

Так как P(r1, D) = P(r1)(1 + r1)D и P(r, D) = P(r)(1 + r)D, то

P(r1)(1 + r1)D > P(r)(1 + r)D.

Отсюда

,

.

Так как r1 < r, то P(r1) > P(r), , . Тогда

D < = t*(r1).

Аналогично доказывается вторая часть неравенства (12.12).





Рис. 1.12.3

Пример 12.2. Дана 10% - ная купонная облигация номиналом 100 д.е., по которой ежегодно обещают производить купонные выплаты в течение трех лет. Безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны 10% годовых. Сразу после покупки облигации процентные ставки а) снизились до 9% годовых; б) увеличились до 11 % годовых. Найти:

1) планируемую и фактическую стоимость инвестиции в облигацию в момент времени, равный дюрации облигации;

2) моменты времени, когда планируемая и фактическая стоимости инвестиции совпадают.

В таблице приведены расчеты цены P(r) и дюрации облигации D = D(r) на момент покупки облигации, где r = 10% годовых, а также величин P(r1) и P(r2), где r1 = 9%, r2 = 11% годовых.

Номер платежа

Срок платежа ti

Сумма платежа Ci

Ci(0)



ti

r = 0,1

r1 = 0,09

r2 = 0,11

1

1

10

9,0909

9,1743

9,0090

0,09091

0,09091

2

2

10

8,2645

8,4168

8,1162

0,08264

0,16529

3

3

110

82,6446

84,9402

80,4311

0,82645

2,47934






Сумма


100,0000

102,5313

97,5563

1,00000

2,73554


Таким образом, дюрация облигации в момент ее покупки ^ D = 2,73554 лет. Цена покупки P(0,1) = 100,00 д.е. Величины P(0,09) = 102,5313 д.е. и P(0,11) = 97,5563 д.е. – оценки облигации на момент t = 0, соответствующие новой временной структуре процентных ставок после t = 0. Тогда планируемая стоимость инвестиции в облигацию на момент времени t = D равна

P(0,1; D) = P(0,1)(1 + 0,1)D = 129,7870.

Фактические стоимости

P(0,09; D) = P(0,09)(1 + 0,09)D = 129,7891.

P(0,11; D) = P(0,11)(1 + 0,11)D = 129,7891.

В обоих случаях фактическая стоимость инвестиции в момент t = D больше планируемой. В первом случае в момент t = D снижение ставки реинвестирования компенсировано ростом рыночной цены облигации в момент t = D по сравнению с планируемой. Во втором случае снижение рыночной цены в момент t = D вследствие роста процентных ставок компенсировано возросшей ставкой реинвестирования по сравнению с планируемой.

2) Моменты времени, когда планируемая и фактическая стоимости инвестиции совпадают, равны соответственно

t*(0,09) = = 2,73726

t*(0,11) = = 2,73381.

Таким образом, t*(0,11) < D < t*(0,09).


Похожие:

1. 12. Временная зависимость стоимости инвестиции в облигацию. Иммунизирующее свойство дюрации облигации icon1 Купонная облигация. Зависимость цены облигации от внутренней доходности,...
Облигация называется купонной, если по этой облигации производятся регулярные выплаты фиксированного процента от номинала, называемые...
1. 12. Временная зависимость стоимости инвестиции в облигацию. Иммунизирующее свойство дюрации облигации icon1 Внутренняя доходность облигации. Временная структура процентных ставок
Анализ финансовых инвестиций в условиях определенности будем изучать на примере ценных бумаг с фиксированным доходом. Наиболее распространенным...
1. 12. Временная зависимость стоимости инвестиции в облигацию. Иммунизирующее свойство дюрации облигации icon92. Облигация. Определение, функции, свойства, разновидности
Облигация может также предусматривать право ее владельца на получение фиксированного в ней процента от номинальной стоимости облигации...
1. 12. Временная зависимость стоимости инвестиции в облигацию. Иммунизирующее свойство дюрации облигации icon1. 10. Факторы, влияющие на величину изменения цены облигации при...
В предыдущем параграфе установлено основное свойство облигации ее цена изменяется в направлении, противоположном направлению изменения...
1. 12. Временная зависимость стоимости инвестиции в облигацию. Иммунизирующее свойство дюрации облигации icon1 Оценка эффективности инвестиционных проектов. Инвестиции и их виды
Будем рассматривать только такие инвестиции, цели которых выражаются в денежной форме (максимизация дохода, состояния, прибыли и...
1. 12. Временная зависимость стоимости инвестиции в облигацию. Иммунизирующее свойство дюрации облигации iconЛекция 3 Облигации Вопрос Экономическая характеристика облигации
Осуществляя инвестирование в ценные бумаги с постоянным процентом, инвесторы рассчитывают, с одной стороны, ни низкий риск, в с другой...
1. 12. Временная зависимость стоимости инвестиции в облигацию. Иммунизирующее свойство дюрации облигации iconСтруктура цен хеджирующих и инвестиционных стратегий в модели Хо-Ли рынка облигаций
Будем рассматривать облигации без купонов и с единичным номиналом и тогда во избежание арбитражной ситуации следует предположить,...
1. 12. Временная зависимость стоимости инвестиции в облигацию. Иммунизирующее свойство дюрации облигации iconВременная обтурация корневых каналов
Временная обтурация может быть кратковременной (до нескольких суток) и долговременной (до нескольких месяцев)
1. 12. Временная зависимость стоимости инвестиции в облигацию. Иммунизирующее свойство дюрации облигации iconВиды стоимости, отличные от рыночной стоимости
В постановлении Правительства РФ от 6 июля 2001 г. №519 «Об утверждении стандартов оценки» приведены следующие формулировки видов...
1. 12. Временная зависимость стоимости инвестиции в облигацию. Иммунизирующее свойство дюрации облигации icon1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации
Однако существует показатель, который позволяет оценить возможные значения величины, не производя вычислений цены облигации до и...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
userdocs.ru
Главная страница