Iii. КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ III. I. Устойчивость по Ляпунову и процесс стабилизации


Скачать 252.55 Kb.
НазваниеIii. КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ III. I. Устойчивость по Ляпунову и процесс стабилизации
страница1/4
Дата публикации12.04.2013
Размер252.55 Kb.
ТипДокументы
userdocs.ru > Математика > Документы
  1   2   3   4
III. КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
III.I. Устойчивость по Ляпунову и процесс стабилизации

программных движений
Рассмотрим теперь многомерную механическую систему, описываемую линейной однородной управляемой системой



Будем считать управление линейной однородной функцией относительно обобщенных координат и обобщенных скоростей

где и вещественные постоянные матрицы. (Здесь размера B - размера - размера ). Возникает вопрос: при каких условиях управления (3.2) будет делать невозмущенное движение асимптотически устойчивым? Иначе говоря, каким условиям должны удовлетворять матрицы чтобы существовали матрицы и , при которых управление (3.2) будет решать задачу стабилизации программного движения с помощью асимптотической устойчивости. Существует и вторая задача, связанная с фактическим построением матриц и , если стабилизация с помощью асимптотической устойчивости оказывается возможной.

Для решения этих задач подставим управление (3.2) в (3.1) и будем искать решение полученной системы в виде


где - постоянный вектор и λ - число, подлежащее определению.

Подставляя (3.3) в систему уравнений и сокращая обе части на eλt , получим систему однородных линейных алгебраических уравнений для определения вектора



Для того, чтобы система (3.4) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы в скобках обращался в нуль:



Уравнение (3.5) будет алгебраическим уравнением степени относительно λ. Известно, что нулевое решение сиcтемы (3.1) при управлении (3.2) будет асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда вещественные части всех корней уравнения (3.5) отрицательны. Для того, чтобы это обстоятельство имело место, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты полинома, стоящего в левой части (3.5), удовлетворяли условиям Гурвица. Это утверждение в принципе решает поставленные выше задачи, а именно, дает необходимые и достаточные условия на элементы матриц и фактически дает возможность определить элементы матриц и , при которых будет асимптотическая устойчивость. Однако фактическое проведение указанной здесь последовательности действий оказывается достаточно трудным делом даже для двух степеней свободы. Поэтому примем обычный для этой задачи подход.

Пусть матрица постоянная и не особая, тогда помножим обе части (3.1) на слева и положим



Тогда система (3.1) может быть переписана в виде

где матрица размера , , матрица размера.

Известно, что если векторы линейно независимы, то программное движение в системе (3.6) можно сделать асимптотически устойчивым путем надлежащего выбора автоматической системы прямого регулирования

где однострочная матрица. При этом мы считаем, что управление является скаляром . Тогда элементы матрицы можно конструктивным образом выразить через матрицу и вектор в замкнутой форме. Более того, элементы матрицы можно выбрать так, чтобы обеспечить любой заданный характер затухания переходных процессов, возникающих в ходе автоматического управления.

Условие независимости векторов может не выполняться, тем не менее асимптотическая устойчивость может иметь место. Действительно, пусть есть собственные числа матрицы . Предположим, что среди них имеется в точности таких, у которых вещественные части неотрицательны. Тогда неособым линейным преобразованиям над искомыми функциями линейную систему (3.6) можно привести к виду

где вектор имеет размерность , вектор размерность; и матрицы размерностей и соответственно; и векторы тех же размерностей,

что и и . Матрица имеет собственные числа с неотрицательными вещественными частями.

Если векторы линейно независимы, то можно построить автоматическую систему управления, при использовании которой программное движение будет асимптотически устойчивым по Ляпунову.

Обратимся теперь к проблеме стабилизации программных движений с помощью релейного управления. Эта стабилизация будет осуществляться в результате возникновения в сколь угодно малой окрестности программного движения стабильных колебаний, обладающих тем свойством, что любое движение, начинающееся в некоторой фиксированной окрестности программного движения, стремится к упомянутому стабильному колебанию, причем мера отклонения от него может быть выбрана сколь угодно малой.

Вернемся к системе (2.4)



Определение 3.1. Множество точек фазового пространства системы (3.8) называется инвариантным, если при будет для где решение системы (3.8), проходящее через точку в момент .

Инвариантное множество состоит из целых траекторий системы (3.8).

Если есть ограниченное множество, то его естественно рассматривать как множество колебательных движений, описываемых системой (3.8). Далее для краткости записи будем пользоваться векторными обозначениями.

Определение 3.2. Будем говорить, что система (3.8) имеет стабильные колебания, если существует замкнутое, инвариантное, ограниченное множество, для которого можно указать такие и, что любая интегральная кривая системы (3.8), начинающаяся при и - окрестности, при неограниченном возрастании времени остается в - окрестности. Иначе говоря, при будет при .

Здесь через обозначено множество таких точек, что



расстояние от точки до множества .

Понятие стабильных колебаний системы (3.8) тесно связано с понятием автоколебаний.

Определение 3.3. Замкнутое, ограниченное, инвариантное множество называется автоколебанием системы (3.8), если асимптотически устойчиво по Ляпунову, иначе говоря, если для любого можно указать , что при и при , если .

Из данного определения вытекает, что автоколебание является одновременно стабильным колебанием системы (3.8), при этом для любого можно указать такое , что числа и будут удовлетворять определению 3.2. Если же является стабильным колебанием, то отсюда не следует, что автоколебание системы (3.8). Из определения (3.3) вытекает, что автоколебанием может быть точка покоя, периодическое, почти периодическое или рекуррентное движение, а также любое движение, устойчивое по Лагранжу в обе стороны. Известно, что наиболее общим стационарным движением механических систем является рекуррентное движение. Оказывается, что если система (3.8) имеет автоколебание или стабильные колебания, то она обязательно имеет стационарные колебания, которые будут стабильными.

Определение 3.4. Будем говорить, что интегральная кривая стремится к стабильному колебанию, если существует такое число что при следовательно, при, где и числа из определения 3.2.

Рассмотрим тот случай, когда в системе (3.6) имеется управлений. Если в этом случае матрица в системе (3.1) является неособой, то задача о стабилизации с помощью релейных управлений была рассмотрена в главе II и имеет положительное решение всегда. Пусть теперь матрица особая, тогда вопрос о возможности релейной стабилизации решается следующим образом.

Если возможно сделать установившееся движение системы (3.1) асимптотически устойчивым с помощью управлений (3.2), то систему (3.1) можно стабилизировать так же с помощью релейных управлений. А именно, если среди векторов имеется линейно независимых, то существует такое релейное управление, при котором в системе (3.6) возникают стабильные колебания, расположенные в сколь угодно малой окрестности точки .

При таком управлении любая интегральная кривая системы (3.6) начинающаяся в некоторой фиксированной окрестности упомянутой точки, будет стремиться к указанному стабильному колебанию, мера отклонения от которого может быть сделана сколь угодно малой.

Приведенные выше известные результаты [7] указывают на связь между асимптотической устойчивостью по Ляпунову и релейной стабилизацией.

Выясним теперь основное отличие двух способов управления.

Дело в том, что асимптотическая устойчивостью по Ляпунову предполагает наличие невозмущенного движения в системе управления. Однако релейное управление не предполагает наличия такого движения и, более того, как правило, тот установившийся режим, в окрестности которого происходят стабильные колебания, сам не является точным решением дифференциальных уравнений.

Рассмотрим вновь уравнения движения в форме

Здесь удовлетворяют условиям из третьего раздела.
  1   2   3   4

Похожие:

Iii. КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ III. I. Устойчивость по Ляпунову и процесс стабилизации iconТребования к зачету по психологии для студентов II курса (III семестр)
Ниже приведены темы курса, пройденные в III семестре и минимум необходимой литературы по каждой теме. Вам придется
Iii. КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ III. I. Устойчивость по Ляпунову и процесс стабилизации icon-
Чингисхан; Батый; Юрий Всеволодович; Даниил Романович; Евпатий Коловрат, Александр Невский; Иван Калита; Дмитрий Донской; Мамай;...
Iii. КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ III. I. Устойчивость по Ляпунову и процесс стабилизации iconТайные знания (сборник)
Отдел III трансмиграция жизненных атомов инверсия мысленного зрения жизненный принцип ответы на некоторые научные вопросы каббала...
Iii. КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ III. I. Устойчивость по Ляпунову и процесс стабилизации iconВопрос №85 Анализ финансового состояния предприятия. Финансовая устойчивость предприятия
Финансовое состояние предприятия, его устойчивость и стабильность зависят от результатов его производственной, коммерческой и финансовой...
Iii. КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ III. I. Устойчивость по Ляпунову и процесс стабилизации iconТема Россия во второй половине Х viii в. Внутренняя политика Екатерины II
Великого – Петр III. Будучи поклонником прусского короля, Петр III установил прусские порядки, перешел на сторону Фридриха II, отказался...
Iii. КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ III. I. Устойчивость по Ляпунову и процесс стабилизации iconЛегенда об императоре Петре iii. (Каким же он был на самом деле?)
Беспристрастные свидетели, те, кто находился рядом с Петром  iii, либо предали его, либо более тридцати лет провели в своих отдаленных...
Iii. КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ III. I. Устойчивость по Ляпунову и процесс стабилизации iconОбщая хирургия практические занятия Харьков 2010 Учебное пособие...
Учебное пособие (Общая хирургия: практические занятия) предназначено для студентов III-VI курсов высших медицинских учебных заведений...
Iii. КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ III. I. Устойчивость по Ляпунову и процесс стабилизации iconОбщая хирургия практические занятия Харьков 2010 Учебное пособие...
Учебное пособие (Общая хирургия: практические занятия) предназначено для студентов III-VI курсов высших медицинских учебных заведений...
Iii. КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ III. I. Устойчивость по Ляпунову и процесс стабилизации iconГруппы крови O(I), А(II), В(III) и ab(IV) распределяются неравномерно...
О — до 90% от общего числа населения — проживает сейчас в обеих Америках; от 70% до 85% — в Африке, Австралии, Новой Зеландии и на...
Iii. КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ III. I. Устойчивость по Ляпунову и процесс стабилизации iconЛекция № Тема №8 Управление рисками инновационных проектов
Анализ и оценка риска (Объективные и субъективные факторы рисков, Качественный и количественный анализ рисков, методы оценки)
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
userdocs.ru
Главная страница