Лабораторная работа №2 «Определение скорости звука в воздухе»


Скачать 284.07 Kb.
НазваниеЛабораторная работа №2 «Определение скорости звука в воздухе»
страница2/4
Дата публикации12.04.2013
Размер284.07 Kb.
ТипЛабораторная работа
userdocs.ru > Математика > Лабораторная работа
1   2   3   4

^ Затухающие колебания. В реальном случае на колеблющее­ся тело действуют силы сопротивления (трения), характер движе­ния изменяется, и колебание становится затухающим. Для того чтобы из уравнения (5.5) найти временную зависимость затухаю­щего колебания, необходимо знать, от каких параметров и как за­висит сила сопротивления. Обычно предполагают, что при не очень больших амплитудах и частотах эта сила пропорциональна скорости движения и, естественно, направлена противоположно скорости: , где r — коэффициент трения (сопротивления), характеризующий свойства среды оказывать сопротивление.

Применительно к одномерному движению последней формуле придадим следующий вид:

(5.16)

Подставим выражение (5.16) в уравнение (5.5) и получим:

(5.17)

Разделив обе части уравнения на т, запишем его в стандарт­ной форме:

(5.18)

После замены и получаем окончательную запись дифференциального уравнения свободных колебаний с учетом сил сопротивления:

(5.19)

где  - коэффициент затухания, 0 – круговая частота собственных колебаний системы (без затухания).

Решение (5.19) существенно зависит от знака разности , где  - круговая частота затухающих колебаний. При 2 - 2  0 круговая частота  является действительной величиной и решение уравнения (5.19) будет следующим:

(5.20)

График этой функции показан на рис. 5.6 сплошной кривой 1; штриховой линией 2 изображено изменение амплитуды:

(5.21)

где значение А0 приведено на рисунке.

Период затухающих колебаний зависит от коэффициента тре­ния и определяется формулой:

(5.22)

При очень малом трениипериод затухающего колебания близок к периоду незатухающего свободного колебания:

Быстрота убывания амплитуды колебаний определяется коэф­фициентом затухания: чем сильнее тормозящее действие среды, тем больше  и тем быстрее уменьшается амплитуда. На практи­ке, однако, степень затухания часто характеризуют логарифми­ческим декрементом затухания, понимая под этим величину, равную натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд, разделенных интервалом времени, равным пери­оду колебаний:









следовательно, коэффициент затухания и логарифмический дек­ремент затухания связаны достаточно простой зависимостью:

(5.23)
Рис. 5.6 Рис. 5.7
При сильном затухании (2  2) из формулы (5.22) видно, что период колебания является мнимой величиной. Движение в этом случае уже не будет периодическим и называется апериодическим*.

Возможные апериодические движения представлены в виде графиков на рис. 5.7. Этот случай применительно к электриче­ским явлениям рассматривается в гл. 14.

* Заметим, что если некоторая физическая величина принимает мни­мые значения, то это означает какую-то необычность, экстраординар­ность соответствующего явления. В рассмотренном примере экстраорди­нарность заключается в том, что процесс перестает быть периодическим.
5.2. Кинетическая и потенциальная энергии колебательного движения

Кинетическую энергию материальной точки, колеблющейся по гармоническому закону, можно вычислить по известной фор­муле, используя выражение (5.12):

(5.24)
Потенциальную энергию колебательного движения найдем, исходя из общей формулы для потенциальной энергии упругой деформации и используя выражение (5.8):

(5.25)

Суладывая кинетическую (5.24) и потенциальную (5.25) энергии, получаем полную механическую энергию материальной точки, колеблющейся по гармоническому закону:

(5.26)

При отсутствии сил трения полная механическая энергия сис­темы не изменяется:

(5.27)

Графически зависимости кинетической, потенциальной и пол­ной механической энергий колеблющейся системы от времени по­казаны на рис. 5.8.






^ 5.3. Сложение гармонических колебаний

Материальная точка может одновременно участвовать в несколь­ких колебаниях. В этом случае, чтобы найти уравнение и траекто­рию результирующего движения, следует сложить колебания. Наи­более просто выполняется сложение гармонических колебаний. Рас­смотрим две такие задачи.

Сложение гармонических колебаний, направленных по одной прямой. Пусть материальная точка одновременно участву­ет в двух колебаниях, происходящих вдоль одной линии. Анали­тически такие колебания выражаются следующими уравнениями:





Допустим, что частоты скла­дываемых колебаний одинаковы тогда результи­рующее смещение точки



Выполним такое сложение с по­мощью векторной диаграммы. Изо­бразим положение векторов и в начальный момент времени (рис. 5.9), углы между этими век­торами и осью ОХ равны начальным фазам слагаемых колебаний 01 и 02. Вектор — амплитуда результирующего колебания. Так как и вращаются с одинаковой угловой скоростью, то и сумма их — вектор — будет вращаться с той же угловой скоро­стью, т. е. результирующее движение является гармоническим с круговой частотой

(5.29)

Выразим амплитуду А этого колебания и начальную фазу 1 через заданные значения Применяя теорему косинусов к треугольнику, заштрихованному на рис. 5.9, получаем



Так как –cos  = -cos [ - (02 - 01)] = cos (02 - 01), то

(5.30)

Как видно из рис. 5.9, tg  равен отношению проекции на ось OY к проекции на ось ОХ, т. е. Аух. Учитывая, что проек­ция суммы равна сумме проекций, имеем

(5.31)

Таким образом, поставленная задача решена: по формулам (5.30) и (5.31) можно найти амплитуду и начальную фазу резуль­тирующего колебания. Из выражения (5.30) вытекают следую­щие частные случаи:


и тогда






т. е. амплитуда результирующего колебания равна сумме ампли­туд слагаемых колебаний, если разность начальных фаз равна четному числу  (рис. 5.10, а);



тогда



т. е. амплитуда результирующего колебания равна разности амп­литуд слагаемых колебаний, если разность начальных фаз равна нечетному числу  (рис. 5.10, б). В частности, при A1 = A2 имеем А = О, т. е. колебания нет (рис. 5.10, в). Это достаточно очевидно: если материальная точка участвует одновременно в двух колеба­ниях, имеющих одинаковую амплитуду и совершающихся в противофазе, то точка неподвижна. Если частоты складываемых ко­лебаний не одинаковы, то сложное колебание уже не будет гармо­ническим.
Интересен случай, когда частоты слагаемых колебаний мало отличают­ся друг от друга:

Результирующее колебание при этом подобно гармоническому, но с медлен­но изменяющейся амплитудой (ампли­тудная модуляция). Такие колебания называются биениями (рис. 5.11).

^ Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях: одно направлено вдоль оси ОХ, другое — вдоль оси OY. Колебания заданы следующими уравнениями:

(5.34)

Допустим, что частоты колебаний одинаковы, т. е. тогда

(5.35)

Уравнения (5.35) задают траекторию движения материальной точки в параметрической форме. Если в эти уравнения подставлять разные значения t, то можно определить координаты х и у, а сово­купность координат и есть траектория. Более наглядно траекторию можно представить в виде зависимости у = f(x), для получения ко­торой следует исключить время из уравнений (5.35). Произведя ма­тематические преобразования, получим уравнение эллипса:

(5.36)

Таким образом, при одновременном участии в двух взаим­но перпендикулярных гармонических колебаниях одинаковой частоты материальная точка движется по эллиптической траектории (рис. 5.12).

Из выражения (5.36) вытекают некоторые частные случаи:



Это каноническая форма уравнения эллипса, соответствующая симметричному расположению его относительно осей координат (рис. 5.13, а). Из (5.37) при А1 = А2 = R (рис. 5.13, б) получаем уравнение окружности радиусом R:

(5.38)















тогда

(5.39)

и после преобразований

(5.40)

Это уравнение прямой линии, в которую вырождается эллипс [рис. 5.14, а соответствует знаку « + » в уравнении (5.40); рис. 5.14, б— знаку «-»].

При сложении взаимно перпендикулярных колебаний разных частот получаются различные траектории материальной точки, названные фигурами Лиссажу.

Вид фигур Лиссажу зависит как от соотношения амплитуд А1 и А2, так и от отношения частот 1/2 и разности начальных фаз 01 -  02 слагаемых колебаний (рис. 5.15):











^ 5.4. Сложное колебание и его гармонический спектр

Как видно из § 5.3, сложение колебаний приводит к более сложным формам колебаний. Для практических целей бывает не­обходимой противоположная операция: разложение сложного ко­лебания на простые, обычно гармонические, колебания.

Ж.. Фурье показал, что периодическая функция любой сложнос­ти может быть представлена в виде суммы гармонических функций, частоты которых кратны частоте сложной периодической функции.

Такое разложение периодической функции на гармонические составляющие и, следовательно, разложение различных периоди­ческих процессов (механические, электрические и т. п.) на гармо­нические колебания называется гармоническим анализом. Су­ществуют математические выражения, которые позволяют найти составляющие гармонические функции. Автоматически гармони­ческий анализ колебаний, в том числе и для целей медицины, осуществляется специальными приборами — анализаторами.

Совокупность гармонических колебаний, на которые разложе­но сложное колебание, называется гармоническим спектром сложного колебания.

Гармонический спектр удобно представить как набор частот (или круговых частот) отдельных гармоник совместно с соответст­вующими им амплитудами. Наиболее наглядно такое представле­ние выполняется графически. В качестве примера на рис. 5.16, а изображены графики сложного колебания (кривая 4) и составляю­щих его гармонических колебаний (кривые /, 2 и 3); на рис. 5.16, б показан гармонический спектр, соответствующий этому примеру.

Гармонический анализ позволяет достаточно детально описать и проанализировать любой сложный колебательный процесс, он находит применение в акустике, радиотехнике, электронике и других областях науки и техники.
1   2   3   4

Похожие:

Лабораторная работа №2 «Определение скорости звука в воздухе» iconЛабораторная работа Обработка звука с помощью программы SoundForge
Обработать полученные аудиозаписи, применив методы, описанные в соответствующем пункте теории работы
Лабораторная работа №2 «Определение скорости звука в воздухе» iconЛабораторная работа №8
Дайте определения кинетической, потенциальной, полной механической и общее определение энергии. Назовите единицы измерения этих энергий...
Лабораторная работа №2 «Определение скорости звука в воздухе» iconМетодические указания к выполнению лабораторных работ по физике оптика
Лабораторная работа №3. Определение длины волны света с помощью бипризмы френеля 19
Лабораторная работа №2 «Определение скорости звука в воздухе» iconЛабораторная работа №4 «Приборы для измерения частоты вращения деталей машин и механизмов»
Цель работы: ознакомление с устройством и работой приборов для измерения угловой скорости вращения контактным методом
Лабораторная работа №2 «Определение скорости звука в воздухе» iconПрактикум для начинающего журналиста 11: 45 12: 15
Качество звука в репортаже: к чему стремиться и чего избегать? «Эффект присутствия»: лайфы и звуки в репортаже. Практика: запись...
Лабораторная работа №2 «Определение скорости звука в воздухе» iconЛабораторная работа №3 тема: Определение влажности почвы
Перед выполнением лабораторной работы студент должен получить допуск к выполнению работы у
Лабораторная работа №2 «Определение скорости звука в воздухе» iconЛабораторная работа №3 «Снятие спектральной характеристики уха на пороге слышимости»
Построить аудиограмму(график зависимости интенсивности звука в относительных величинах дБ от частоты на пороге слышимости). Используя...
Лабораторная работа №2 «Определение скорости звука в воздухе» iconЛабораторная работа Определение полной статической обменной емкости
При входном контроле ионитов на аэс определяется ряд показателей их качества, к которым относятся псое и окисляемость фильтрата
Лабораторная работа №2 «Определение скорости звука в воздухе» iconЛабораторная работа №2 подбор константы скорости химичесеой реакции...
Закрепить методику формирования математической модели кинетики химической реакции в форме дифференциальных уравнений
Лабораторная работа №2 «Определение скорости звука в воздухе» iconЛабораторная работа №13 Определение фокусного расстояния линз Вопросы для самоконтроля
Чему равна скорость света и изменяется ли она при переходе света из одной среды в другую?
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
userdocs.ru
Главная страница