Вычислительная математика Учебное пособие


НазваниеВычислительная математика Учебное пособие
страница1/17
Дата публикации10.03.2013
Размер1.62 Mb.
ТипУчебное пособие
userdocs.ru > Математика > Учебное пособие
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17
Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права

И.Н. Мастяева О.Н. Семенихина

Вычислительная математика

Учебное пособие

Москва 2004

ББК 22.19 УДК 519.6

Мастяева И.Н., Семенихина О.Н. Численные методы: Учебное пособие / Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права. -М., 2004. -103 стр.

В пособии излагаются численные методы алгебры, анализа и решения дифференциальных уравнений, наиболее часто применяемые при решении практических задач на ЭВМ.

Пособие предназначено для студентов MIFP всех специальностей.

Рецензенты: к.э.н. И.Н. Орлова, к. физ.-мат. н. Э.И. Применко

© Мастяева И.Н., 2004

© Семенихина О.Н., 2004

© Московский международный институт эконометрики, информатики,

финансов и права, 2004

2

СОДЕРЖАНИЕ:

^ 1. ПОГРЕШНОСТЬ РЕЗУЛЬТАТА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ 4

  1. Источники и классификация погрешностей 4

  2. Точные и приближенные числа. Правила округления чисел 4

  3. Математические характеристики точности приближенных чисел 5




  1. Число верных знаков приближенного числа. Связь абсолютной и относительной погрешности с числом верных знаков. Правила подсчета числа верных знаков 7

  2. Общая формула теории погрешностей (погрешность 11

вычисления значения функции) 11

  1. Погрешность арифметических действий 13

  2. Обратная задача теории погрешностей 16

^ 2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 18

  1. Отделение корней 18

  2. Метод половинного деления 19

  3. Метод хорд (секущих) 19

  4. Метод касательных (метод Ньютона) 21

  5. Метод итераций 23

^ 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 26

  1. Метод Гаусса 26

  2. Метод прогонки 30




  1. Норма вектора и норма матрицы 33

  2. Метод простой итерации 38

  3. Частичная проблема собственных значений 40

4. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ 45

  1. Интерполяционный полином, его существование и единственность. Остаточный член 46

  2. Интерполяционный полином Лагранжа 48

  3. Разделенные разности и их свойства 50

  4. Интерполяционный полином Ньютона с разделенными разностями 53

  5. Конечные разности и их свойства 54

  6. Интерполяционные формулы Ньютона 56

  7. Интерполяционные полиномы с центральными разностями 58

4.8.Обратное интерполирование 64

4.9. Численное дифференцирование 67

^ 5. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ С КРАТНЫМИ УЗЛАМИ И СПЛАЙНЫ 70

  1. Разделенные разности с повторяющимися (кратными) узлами 71

  2. Интерполяционный полином Эрмита 73

  3. Интерполирование сплайнами 76

^ 6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 81

6.1. Формула прямоугольников 83

  1. Формула трапеций 84

  2. Формула Симпсона 86

  3. Правило Рунге практической оценки погрешности квадратурных формул. Уточнение приближенного значения интеграла по Ричардсону 88

^ 7. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 92

  1. Метод Рунге-Кутта 93

  2. Разностный метод решения краевой задачи 99

Список литературы 103

3

^ 1. ПОГРЕШНОСТЬ РЕЗУЛЬТАТА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧИ

1.1. Источники и классификация погрешностей

Погрешности решения задач обусловливаются следующими причинами:

  1. Математическое описание задач (математическая модель) большей частью является неточным;

  2. Методы решения задач (например, дифференциального уравнения) не являются точными. Во многих случаях получение точного решения требует выполнения неограниченного количества шагов. Обрыв бесконечного процесса приводит к получению приближенного решения;

3. Исходные данные для решения задач, как правило, получаются
из эксперимента, а каждый эксперимент может дать результат с
ограниченной точностью;

  1. При вводе исходных данных в машину, при выполнении арифметических операций, при выводе информации производятся округления;

  2. Погрешности приближенных чисел (погрешности исходных данных и погрешности округления) в процессе решения задачи будут последовательно переходить (чаще всего в увеличенном размере) в результаты вычислений и порождать новые погрешности.

В соответствии с указанными источниками погрешностей можно осуществить классификацию последних:

A) Неустранимые погрешности:

  1. математического описания задачи [1];

  2. исходных данных [3];

Б) погрешности метода [2];

B) вычислительные погрешности [4,5].

^ 1.2. Точные и приближенные числа. Правила округления чисел

В повседневной практической деятельности, а также при решении той или иной задачи используются числа двух видов: точные и приближенные. Например, число 3 является точным, если речь идет о числе сторон треугольника. Если же число 3 - длина стороны треугольника или оно используется вместо числа к в вычислениях, то оно будет числом приближенным.

Определение 1. Приближенным числом а называется число, незначительно отличающееся от точного числа А и заменяющее его в вычислениях.

Приближенные числа обычно получаются в результате либо измерений, либо счета, либо выполнения различных математических

4

операций (округления, деления, извлечения корня, вычисления синуса, логарифма и т.д.).

При работе с приближенными числами вычислитель должен уметь решать следующие задачи:

1. давать математические характеристики точности
приближенных чисел;

2. зная степень точности исходных данных, оценивать степень
точности результата (прямая задача теории погрешностей);

  1. выбирать исходные данные с той точностью, которая обеспечит заданную точность результата (обратная задача теории погрешностей);

  2. оптимальным образом строить вычислительный процесс, чтобы не производить расчетов, не влияющих на точные цифры результата.

Как уже говорилось, одним из источников получения приближенных чисел является округление. Сформулируем правила округления:

  1. если отбрасываемые при округлении цифры составляют число, большее половины единицы последнего оставляемого разряда, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу;

  2. если отбрасываемые при округлении цифры составляют число, меньшее половины единицы последнего оставляемого разряда, то оставляемые цифры остаются без изменения;

3. при округлении, когда отбрасываемые цифры составляют число, равное половине единицы последнего оставляемого разряда, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу, если она нечетная, и остается без изменения, если она четная (правило четной цифры).

Пример 1. Округлить следующие числа:

А1 = 271,5001 до целых, А2 = 271,15 до десятых, А3 = 271,25 до десятых, А4 = 0,15497 до сотых. Решение. Так как при округлении числа А1 до целых отбрасываемые" цифры (5001) составляют число 0,5001, большее половины от единицы (последнего оставляемого разряда), последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу (пункт 1). Поэтому после округления А1 получаем число а 1 =272.

При округлении чисел А2 и А3 по правилу четной цифры (пункт
3) получаем а2 = 271,2; а3 = 271,2.

При округлении числа А4 (пункт 2) получаем а4 =0,15.

^ 1.3. Математические характеристики точности приближенных чисел

5

Определение 2. Абсолютной погрешностью приближенного числа а назовем величину а, про которую известно, что

-а\≤∆а. (1.1)

Таким образом, точное число заключено в границах

а-∆аАа + ∆а (1.2)

или сокращенно

А = а±∆а. (1.3)

Пример 2. Приближенные числа а1 = 2,87; а2 = 300; а3 =3 102

получены округлением, точные значения чисел неизвестны. Что можно сказать об абсолютной погрешности данных приближенных чисел?

Решение. Пользуясь правилами округления чисел, можно сказать, что абсолютные погрешности приближенных чисел не превосходят половины единицы последнего разряда, т.е.

|А 1 1\≤ 0,005 = ∆а1 ,

22\≤ 0,5 = ∆а2 ,

|А 3-а 3 ≤50 = ∆а3 .

Кроме того, можно записать:

А 1=2,87±0,005,

А 2=300±0,5,

А 3 = (3 ± 0,5)⋅102 .

Пример 3. Округлить числа π = 3,14159265…и е = 2,71828182…до сотых и определить абсолютную погрешность полученных приближенных чисел.

Решение. В силу правил округления имеем

а1 = 3,14; а2 = 2,72.

По определению абсолютной погрешности

π-a 1\ = |3,14159...-3,14| = 0,00159... < 0,0016 = ∆ a 1,

\e-a2\ = |2,71828...-2,72| = 0,00171... < 0,0018 = ∆ a 2.

Замечание 1. Абсолютную погрешность принято записывать в виде числа, содержащего не более одной или двух цифр, отличных от нуля (двух значащих цифр).

Замечание 2. В силу определения погрешности абсолютную погрешность округляют до одной или двух значащих цифр только в большую сторону (не придерживаясь сформулированных выше правил округления чисел).

В примере 3 в качестве абсолютной погрешности чисел а1 и а2 можно

а1= 0,0016 либо ∆а1 =0,002 .

а2= 0,0018 либо ∆а2 =0,002 . Абсолютная погрешность отражает лишь количественную сторону погрешности, но не качественную, т.е. не показывает, хорошо или плохо проведено измерение или вычисление.

6

Пример 4. при измерении толщины и длины крышки стола были получены результаты:

11=3см±1см; 12=113см±1см.

Определить, в каком случае измерение было сделано более качественно.

Решение. Абсолютная погрешность измерения для h и /, одинакова и

равна M1=M2=1см.

Однако очевидно, что измерение /, было проведено более качественно, чем h . Для того, чтобы определить качество измерений и вычислений, необходимо выяснить, какую долю составляет абсолютная погрешность от определяемой величины. В связи с этим вводится понятие относительной погрешности.

Определение 3. Относительной погрешностью Ъа приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности Аа к абсолютной величине приближенного числа а:

8а = а *0 (1.4)

В примере 4 относительные погрешности измерения толщины и длины соответственно равны

f\ =^= 1 см = 0,34или34% ,

^ = 512= 1 см = 0,0089 или 0,9% .

Следовательно, измерение длины /, было произведено намного качественнее.

Замечание 3. Относительная погрешность представляет собой безразмерную величину.

При вычислении относительную погрешность округляют в большую сторону и записывают в виде числа, содержащего одну-две значащие цифры.

^ 1.4. Число верных знаков приближенного числа. Связь абсолютной и относительной погрешности с числом верных знаков. Правила

подсчета числа верных знаков

Всякое положительное десятичное число а может быть единственным образом представлено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби:

а = а11+а210 т 1+... + ап10 т п +1+... (1.5)

или а =Е^.10^1 (1.6)

/=1

7

где α,- - десятичные цифры (α,= 0,1,2,...,9), причем α1 0 , т -

некоторое число (старший разряд числа а). Например, в десятичной системе счисления:

28,0496 = 2101 +8100+0,10-1 +410-2+910-3+610-4; 7,54 = 7100 +510-1 +410-2;

0,006783 = 610-3 + 710-4810-5 +310-6

Определение 4. Значащими цифрами числа а называют все цифры в его записи (1.5) начиная с первой слева, отличной от нуля. Например, приводимые ниже числа имеют следующее количество значащих цифр:

5423,47 6 значащих цифр,

0,0000605 3 значащие цифры,

0,060500 5 значащих цифр.

Как видно из приведенных примеров, цифра 0 имеет особое значение при определении числа значащих цифр. Например, в числе 0,00710300 первые три нуля не являются значащими цифрами и служат только для установления старшего десятичного разряда числа. Остальные три являются значащими цифрами, так как первый из них находится между значащими цифрами, а второй и третий, как отражено в записи, указывают, что в приближенном числе сохранены десятичные разряда 10-7 и 10-8. Если же в данном числе 0,00710300 последние две цифры не являются значащими цифрами, то это число лучше записать в виде 0,007103. Числа 0,00710300 и 0,007103 не равноценны, так как первое из них имеет 6 значащих цифр, а второе - только 4 значащих цифры. Цифра 0, стоящая в конце числа, может иметь двоякий смысл, как это видно из следующих утверждений:

а) 1 кг = 1000 г;

б) население США по одной из переписей составляло 195530000
человек

В первом случае имеем точное соотношение, поэтому все нули здесь - значащие цифры. Во втором случае нули стоят вместо неизвестных цифр, и число имеет только 5 значащих цифр. Для того чтобы избежать недоразумения, никогда не следует писать нули вместо неизвестных цифр, а лучше применять такую форму записи:

19553104 или 1,9553108

Пример 5. Пусть в результате измерения получено число, имеющее две значащие цифры, / = 72 мм. Если этот результат, не измеряя отрезок с большей точностью, выразить в метрах, километрах или микронах и написать, что / =0,072 м, или / =0,000072 км, или / =72000 мкм, то нули ни в первом, ни во втором, ни в третьем случаях не будут значащими. В дальнейшем условимся различать такие числа, как 7,2; 7,20; 7,200.

Все они выражают одно и то же числовое значение некоторой величины, но определены с разным количеством значащих цифр.

8

Точность приближенного числа зависит не от количества значащих цифр, а от количества верных значащих цифр. Различают значащие цифры верные в узком и широком смыслах.

Определение 5. Цифры а1,а2,...,оn приближенного числа а называют верными в узком смысле, если абсолютная погрешность Аа приближенного числа а не превосходит половины единицы (т-п+1) - го разряда, которому принадлежит цифра ап, т.е. если
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17

Похожие:

Вычислительная математика Учебное пособие iconУчебное пособие для обучающихся в спбгу по направлениям астрономия,...
Составители: д ф м н., проф. Е. К. Колесников, к ф м н., доц. Г. В. Павилайнен, к ф м н., в н с. В. Н. Солнцев, д ф м н., проф. В....
Вычислительная математика Учебное пособие iconУчебное пособие по математике Датировано: июнь 2012 Важная информация...
Это учебное пособие создано для подготовки студентов к академическому квалификационному тесту по математике. Ответы прилагаются в...
Вычислительная математика Учебное пособие iconУчебное пособие для студентов специальности 010503 и направления 010500 Москва 2007
«Математическое обеспечение и администрирование информационных систем») и к выпускной квалификационной работе бакалавра по направлению...
Вычислительная математика Учебное пособие iconУчебное пособие. Таганрог: Изд-во трту
Данное учебное пособие является электронной версией работы
Вычислительная математика Учебное пособие iconУчебное пособие для студентов специальностей «Биология»
М молекулярная генетика. Сборник заданий и тестов: Учебное пособие. Мн.: Бгу, 2003. – 87 с.: ил
Вычислительная математика Учебное пособие iconУчебное пособие Ростов-на-Дону 2009 удк ббк п
Учебное пособие предназначено для студентов, преподавателей и аспирантов экономических специальностей
Вычислительная математика Учебное пособие iconУчебное пособие
...
Вычислительная математика Учебное пособие iconI : Учебное пособие/ Под ред. И. А. Жеребкиной
...
Вычислительная математика Учебное пособие iconУчебное пособие Новосибирск 2004 Рецензенты: к э. н., доц. Юдин Н. П
Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов вуза, слушателей дополнительного профессионального образования
Вычислительная математика Учебное пособие iconУчебное пособие подготовлено в соответствии с типовой программой...
Учебное пособие предназначено для студентов обучающихся по специальности 060101 лечебное дело
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
userdocs.ru
Главная страница