Альберт Эйнштейн писал: Весьма примечательно взаимоотношение теории познания и науки. Теория познания без тесного контакта с наукой становится пустой схемой


Скачать 102.79 Kb.
НазваниеАльберт Эйнштейн писал: Весьма примечательно взаимоотношение теории познания и науки. Теория познания без тесного контакта с наукой становится пустой схемой
Дата публикации30.04.2013
Размер102.79 Kb.
ТипДокументы
userdocs.ru > Математика > Документы
Альберт Эйнштейн писал: «Весьма примечательно взаимоотношение теории познания и науки. Теория познания без тесного контакта с наукой становится пустой схемой; наука же без теории познания – если это вообще мыслимо – неизбежно становится примитивной и путаной».

Связь науки с теорией познания обусловлена уже тем, что наука является орудием познания. При этом сама специфика познавательной деятельности в значительной мере определяет характерные особенности науки.

Математические закономерности послужили основой и для других догадок об устройстве реального мира.

Но вернемся к вопросу об отображении действительности с помощью предугаданных схем. Эта закономерность характерна не только для науки прошлого. Не менее актуальной она остается и для современной науки. Познание скрытых явлений и сегодня возможно только с помощью догадок – с помощью гипотез, которые затем либо находят подтверждение, либо отвергаются.

Предугадывание структуры отражаемого – его природы, его закономерностей – является характерной чертой процесса познания не только при исследовании внешнего реального мира, но и при исследовании математической реальности. Разница лишь в том, что объективная физическая реальность существует сама по себе и в процессе познания предугадывается схема, моделирующая эту реальность; математическая же реальность заранее не существует – она создается человеческим разумом. Этот процесс, конечно, не может быть абсолютно независимым от реальной действительности. Он направляется и регулируется такими факторами, как прошлый опыт и требование разумности, целесообразности и непротиворечивости создаваемых конструкций. Но сами создаваемые конструкции в большинстве случаев не имеют непосредственных прообразов в реальном мире, а являются результатом творческой деятельности нашего разума. Примерами таких абстрактных построений могут служить бесконечные множества, всевозможные трансфинитные объекты, четырехмерные и даже бесконечномерные пространства и тому подобное.

В течение двух тысячелетий считалось, что геометрия Евклида является геометрией реального пространства. Поэтому мысль о какой-ли­бо другой геометрии не могла даже возникнуть. Камнем преткновения был только пятый постулат Евклида, который утверждал, что через точку, расположенную вне прямой, можно провести одну-единственную прямую, параллельную данной.

Только в XIX в. три математика (Лобачевский, Больяи и Гаусс) почти одновременно пришли к мысли, что существует какая-то новая геометрия, в которой выполняется утверждение, противоположное пятому постулату. В этой геометрии должны были иметь место и совершенно новые закономерности, существенно отличающиеся от того, что установлено в геометрии Евклида.

Проанализируем в связи с этим понятие математической истины. Вообще истина – адекватное отражение в сознании человека явлений и процессов реальной действительности. Каждая мысль, адекватная отображаемому, выражает некоторую истину.

Математическая реальность – это воображаемый мир, созданный нашей интуицией, это мир, который реально не существует.

Существование предметов из реальной действительности является объективным фактом, который может быть подтвержден соответствующим опытом, а существование идеальных предметов, созданных нашим воображением, является всего-навсего естественнонаучной гипотезой.

Природа абстрактных идеальных предметов такова, что они непосредственно не могут быть сопоставлены с какими-либо материальными объектами. Поэтому вопрос о соответствии тому, что на самом деле имеет место, не может быть поставлен, а значит теряет смысл и обычное понятие истинности. Понятие математической истины должно быть определено как-то по-другому. Это сделал в 1931 г. Альфред Тарский (1901–1983). Он обобщил понятие истины следующим образом: если в естественном языке истина означает соответствие реальной действительности, то в искусственных логико-математических языках истину следует понимать как выполнимость в соответствующей модели.

Вопрос об истинности математических утверждений свелся к вопросу о непротиворечивости соответствующей теории. Непротиворечивость математических теорий не может быть решена средствами самой этой теории (это следует из второй теоремы Гёделя о неполноте арифметической системы). Поэтому непротиворечивость арифметики может быть доказана только с привлечением каких-либо новых, более сильных средств, не содержащихся в языке арифметики.

Как же обосновать истинность математических утверждений? Выход может быть один. Вместо попыток формального доказательства непротиворечивости математических теорий (как основы истинности этих теорий) должны быть найдены косвенные доводы, подтверждающие нашу веру в непротиворечивость и истинность теорий.

К этим доводам относятся:

1. Интуитивная ясность, убедительность, простота и изящество математических построений.

2. Возможность эффективного использования теории в практических приложениях (как в естественных науках, так и в самой математике).

Проблема природы математической истины и проблема непротиворечивости свелись, таким образом, к проблеме обоснования объективности математического знания. Дело свелось к практике, так как критерием объективности – критерием истинности математических утверждений в этом более общем смысле – является общественная практика. Но практика является также и критерием полезности научного знания.

В самом деле, так как в математических теориях используются весьма абстрактные понятия, не имеющие никаких конкретных прообразов в реальном мире, то роль практики как критерий истины – как соответствия действительности – весьма незначительна. В этом случае практика выступает прежде всего как критерий полезности этих теорий – она становится критерием их эффективности, действенности, результативности.

К пониманию того, что этот критерий практически устанавливает не столько истинность математических теорий, сколько их полезность как орудий познания, пришли многие математики. Хаскелл Б. Карри, например, в 1963 году писал: «До какой степени абсолютная надежность присуща математике? Поиск абсолютной надежности был основной мотивировкой для концепции Брауэра и Гильберта. Но нужна ли математике для своего оправдания абсолютная надежность? Зачем, скажем, нам так уж нужно быть уверенным в непротиворечивости теорий? Ведь ни к какой другой науке мы не предъявляем таких требований. В физике, например, теории всегда гипотетичны; мы принимаем теорию, коль скоро на ее основе можно сделать полезные предсказания, и видоизменяем или опровергаем ее, коль скоро этого сделать нельзя. Именно также происходит и с математическими теориями. Мы принимаем теорию, коль скоро она нам полезна, удовлетворяет некоторым условиям естественности и простоты, разумным для своего времени, и коль скоро известно, что эта теория не введет нас в заблуждение. Мы должны держать наши теории под постоянным наблюдением, чтобы видеть, что эти условия выполнены. Поскольку же оценка полезности теории зависит от ее назначения, можно для различных целей принимать по-разному построенные теории, так что интуиционистская и классическая математики могут существовать».

Об этом же в 1970 году писал А.Д. Александров (р. 1912), который указывал, что математика сама по себе не может быть ни истинной, ни ложной. Математические теории – это орудия познания, и спрашивать об их истинности бессмысленно, как об истинности трактора.

Эффективность, а не истинность – вот что нужно человеку от математических теорий. Что же касается веры в особую достоверность математического знания, веры в истинность математических теорий, то это всего лишь иллюзия, порожденная, с одной стороны, эффективностью математического знания в приложениях, а с другой – интуитивным ощущением, что эти теории правильные.

Какую бы математическую теорию мы ни рассматривали, необходимое условие ее истинности, полезности как орудия познания заключается в том, чтобы эта теория была непротиворечива. Доказать непротиворечивость нельзя, но получить косвенные доводы, подкрепляющие нашу веру в непротиворечивость теории, – это дело вполне реальное, и достигается оно посредством практики, понимаемой в самом широком смысле этого слова.

Причина непротиворечивости арифметики лежит вне математики, в самой математике эта непротиворечивость остается тайной.

Обобщая, можно отметить, что взгляды на математику характеризуются следующими установками, идеями, принципами:

1. Развитие математики невозможно без исследования математикой самой себя.

2. Одним из важных аспектов математических исследований является вопрос о границах вычислительных и конструктивных возможностей логико-математических языков.

3. Математика по своей природе является псевдоэмпирической наукой. Математическая реальность не существует априорно, а создается интуицией.

4. Практическое значение математических теорий состоит в том, что они являются орудиями познания и с успехом используются в прикладных науках. Именно поэтому математику часто называют языком естествознания. Но сама математическая реальность – это результат чрезвычайно абстрактных умозрительных построений, весьма далеких от действительности. Познание объективной реальности идет через абстрактное к конкретному. Поэтому возникновение умозрительных построений – не случайность, а вполне закономерная особенность процесса познания. Познание – это отражение действительности с помощью предугаданной абстрактной схемы.

5. Философским и методологическим фундаментом современной математики может быть только теория познания. Только с позиции этой теории может быть осуществлен действительно объективный и подлинно научный анализ природы математики.

Начиная с 20-х годов XX века, великий немецкий математик Давид Гильберт выступил с особой программой обоснования математики, в огромном значении математики для изучения реального мира, для решения проблем естествознания и других приложений.

С помощью формализации математики Гильберт пытался преодолеть возникшие трудности ее обоснования, а также защитить ее от разрушительной критики интуиционистов.

Для этого в качестве орудия спасения выбирается аксиоматический метод, с помощью которого ранее Гильберту удалось дать строгое обоснование геометрии Евклида. И на этот раз, поставив новую цель, Гильберт вновь обращается к аксиоматическому методу, но уже значительно усовершенствованному и дополненному теорией доказательства или математикой.

Выдвигая новую программу обоснования, Гильберт был глубоко убежден в том, что классическая математика свободна от противоречий.

Основная идея гильбертовской программы обоснования математики состояла в представлении ее в виде формализованной аксиоматической системы, а затем в доказательстве ее непротиворечивости. Соответственно этому Гильберт пытался осуществить свою программу в два этапа: на первом этапе он стремился представить всю чистую математику и прежде всего арифметику, анализ и теорию множеств в виде аксиоматической системы.

Все это заставило Гильберта отказаться от рассмотрения аксиом как содержательных утверждений. Главная цель, которую преследовал Гильберт, состояла не в формализации классической математики. Успешное осуществление программы, выдвинутой им, означало бы окончательное обоснование классической математики. Гильберт разрабатывает программу доказательства непротиворечивости математических теорий. При разработке своей концепции он исходил из следующих методологических установок.

Сущность вещей непосредственно не открыта человеческому восприятию. Поэтому для отображения этой сущности приходится вводить идеальные элементы, которые не могут быть интерпретированы, не могут быть сопоставлены с реальными объектами и явлениями, не могут быть проверены.

Для выражения теории нужна знаковая система. Наличие теории означает наличие знаковой системы, в которой она выражена и закодирована. Но естественный язык обладает целым рядом существенных недостатков. Поэтому теория должна быть выражена на символическом логико-математическом языке, который обладает достаточной ясностью и определенностью.

Изложение теории должно быть строго корректным. Строгость достигается только при аксиоматическом изложении теории. Поэтому вопрос о непротиворечивости теорий осмысленно может быть поставлен только относительно тех теорий, которые изложены аксиоматически.

Вопрос о непротиворечивости теорий связан и с анализом правильности соответствующих рассуждений. А логика рассуждений может быть проверена только тогда, когда явно указаны все используемые правила вывода. Поэтому задача установления непротиворечивости некоторой теории приводит к требованию полной формализации логического аппарата этой теории. Полностью формализованная теория может рассматриваться с двух точек зрения:

а) символам теории приписывается их обычный смысл, и тогда теория оказывается описанием некоторой воображаемой предметной области, содержащей целый ряд «идеальных элементов»;

б) символы теории рассматриваются автономно, т.е. обозначают только самих себя. В этом случае знаки – это только материальные, конструктивные объекты и ничего более.

В случае а) вопрос о непротиворечивости теории выглядит чрезвычайно сложно, т.к. он кажется связанным с «природой» идеальных элементов, которая внушает определенные опасения. В случае же б) вопрос о непротиворечивости той же теории (при автономном ее использовании) сводится к анализу конкретной игры, объектами которой являются знакосочетания, т.е. конкретные физические объекты.

Полностью формализованная теория должна стать предметом нового раздела математики, который Гильберт назвал «метаматематикой». В метаматематике должна устанавливаться непротиворечивость различных математических теорий.

Гильберт был уверен, что средствами финитной математики можно доказать непротиворечивость и полноту любой математической теории.

Программа Гильберта в действительности оказалась бесперспективной. Надежды Гильберта не оправдались, когда 1931 году появилась работа великого математика XX века австрийца Курта Гёделя (1906–1978), которая произвела в интеллектуальном мире эффект разорвавшейся бомбы. Из работы Гёделя следовало, что программа Гильберта обречена на неудачу. Гёдель показал, что арифметика и вообще всякая достаточно богатая система неполна; и как бы ни старались усовершенствовать и дополнить ее дедуктивную систему, всегда найдется осмысленное предложение, которое будет недоказуемым и неопровержимым.

Кроме теоремы о неполноте арифметики, Гёдель получил еще один результат. Он доказал, что непротиворечивость арифметики или любой другой достаточно богатой системы не может быть установлена средствами самой этой системы, а тем более средствами еще более узкой финитной математики. Отсюда следовало, что непротиворечивость некоторой системы может быть доказана только путем ее погружения в более развернутую систему, то есть путем использования новых средств, выходящих за пределы первоначальной системы.

Обратимся теперь кратко к вопросу о значении теорем Гёделя. Первая теорема Гёделя гласит: «полное аксиоматическое описание арифметики неосуществимо».

Это значит, что каков бы ни был список аксиом арифметики, обязательно найдется истинное высказывание, которое, тем не менее, в данной теории будет недоказуемым. Недоказуемость истинного высказывания как раз и свидетельствует о неполноте теории, неполноте ее аксиоматики.

Теорему о неполноте арифметики можно сформулировать и по-дру­гому: «какова бы ни была формализованная аксиоматическая арифметика, в этой теории можно сформулировать такое высказывание, которое средствами этой же теории нельзя ни доказать, ни опровергнуть».

Похожие:

Альберт Эйнштейн писал: Весьма примечательно взаимоотношение теории познания и науки. Теория познания без тесного контакта с наукой становится пустой схемой iconПредмет и метод экономической истории как науки. Особенности формационного...
Ла самостоятельной наукой в 21 веке: возникла на стыке наук, имеет как исторические, так и эконом методы познания, является развивающейся...
Альберт Эйнштейн писал: Весьма примечательно взаимоотношение теории познания и науки. Теория познания без тесного контакта с наукой становится пустой схемой iconТеория познания эмпириокритицизма
Основные посылки теории познания Маха и Авенариуса откровенно, просто и ясно изложены ими в их первых философских произведениях....
Альберт Эйнштейн писал: Весьма примечательно взаимоотношение теории познания и науки. Теория познания без тесного контакта с наукой становится пустой схемой iconАльберт Эйнштейн Эйнштейн о религии
Эйнштейна имеют особенную «ценность» в обозначенном контексте. Но что это была за религиозность? Достаточно ли оснований, чтобы считать...
Альберт Эйнштейн писал: Весьма примечательно взаимоотношение теории познания и науки. Теория познания без тесного контакта с наукой становится пустой схемой iconЗаконы. Физические теории. Качественные задачи по теме «Законы сохранения в механике»
Научные методы познания окружающего мира. Роль эксперимента и теории в процессе познания. Научные гипотезы. Физические законы. Физические...
Альберт Эйнштейн писал: Весьма примечательно взаимоотношение теории познания и науки. Теория познания без тесного контакта с наукой становится пустой схемой iconЛитература Гуманитарная парадигма
Недостаточность естественнонаучного познания применительно к социальным и культурным объектам поставила перед исследователями науки...
Альберт Эйнштейн писал: Весьма примечательно взаимоотношение теории познания и науки. Теория познания без тесного контакта с наукой становится пустой схемой iconТеория познания (раздел философии, в котором обсуждаются вопросы...
Материализм (так называемая "линия Демокрита") — направление в философии, сторонники которого считали, что в отношениях материи и...
Альберт Эйнштейн писал: Весьма примечательно взаимоотношение теории познания и науки. Теория познания без тесного контакта с наукой становится пустой схемой icon1. Вненаучные и преднаучные формы познания
Однако чтобы овладеть научным познанием, человечеству пришлось пройти длинный путь, в ходе которого сначала появилась преднаучная...
Альберт Эйнштейн писал: Весьма примечательно взаимоотношение теории познания и науки. Теория познания без тесного контакта с наукой становится пустой схемой icon2. Экономический анализ и основные принципы диалектики
Выступая в качестве методологической основы всех отраслей науки, теория познания определяет сущность, необходимость и последовательность...
Альберт Эйнштейн писал: Весьма примечательно взаимоотношение теории познания и науки. Теория познания без тесного контакта с наукой становится пустой схемой icon1. Какой метод познания окружающей действительности, используемый...
Какой метод познания окружающей действительности, используемый экономической наукой, предполагает разделение целого на отдельные...
Альберт Эйнштейн писал: Весьма примечательно взаимоотношение теории познания и науки. Теория познания без тесного контакта с наукой становится пустой схемой iconПонятие науки, классификация наук. Особенности научного знания
Наука это и итог познания мира система проверенных на практике достоверных знаний и в то же время особая область деятельности, духовного...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница