Задача записать уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку, параллельно вектору


Скачать 113.38 Kb.
НазваниеЗадача записать уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку, параллельно вектору
страница4/5
Дата публикации11.03.2013
Размер113.38 Kb.
ТипЗадача
userdocs.ru > Математика > Задача
1   2   3   4   5
^

4. Задачи, связанные с взаимным расположением прямых


Рассмотрим некоторые задачи аналитической геометрии, которые связаны с взаимным расположением прямых в пространстве.

ЗАДАЧА 2. Найти угол между пересекающимися (скрещивающимися) прямыми в пространстве.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между двумя скрещивающимися прямыми и называется угол между прямой и проекцией прямой на любую плоскость, проходящую через прямую .

Иначе говоря, угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным.
Пусть даны две пересекающиеся или скрещивающиеся прямые:

: и :.

Обозначим , – направляющие векторы первой и второй прямой соответственно.

Так как один из углов между прямыми равен углу между их направляющими векторами, а второй угол , то углы и могут быть найдены по формуле

,

или ,

где знак плюс берется в том случае, когда надо найти величину острого угла, а знак минус – когда надо найти величину тупого угла.
ЗАДАЧА 3. Найти расстояние от точки до прямой в пространстве.

Пусть дана прямая

:

и – точка, не принадлежащая этой прямой. Обозначим – направляющий вектор прямой , – точка на прямой , – расстояние от точки до .

Рассмотрим параллелограмм, построенный на векторах и . Тогда – высота этого параллелограмма, опущенная из вершины . Следовательно,

.
ПРИМЕР. Найти расстояние от точки до прямой :.

Из условия задачи имеем: , . Тогда

,

,

, ,

– искомое расстояние.
ЗАДАЧА 4. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

Пусть даны две скрещивающиеся прямые

: и :,

и – расстояние между и .

Построим плоскость , проходящую через прямую параллельно . Тогда – расстояние от прямой до плоскости . Найти это расстояние можно по формуле:

,

где – общее уравнение плоскости ,

– любая точка на прямой .

ПРИМЕР. Найти расстояние между двумя прямыми

: и :.

1) Прежде всего, установим взаимное расположение данных прямых. По условию задачи: и – направляющий вектор и фиксированная точка первой прямой, и – направляющий вектор и фиксированная точка второй прямой; . Имеем:

1) – прямые не параллельны;

2) вычислим :

.

Следовательно, данные прямые являются скрещивающимися.

2) Запишем уравнение плоскости , проходящей через прямую параллельно :



: .

Тогда – расстояние от точки до плоскости :

.

Замечание. Предложенный способ нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми – не единственный. Можно найти это расстояние, используя векторную алгебру.

Д
ействительно, построим на векторах , и пирамиду.

Тогда – высота пирамиды, опущенная из точки и, следовательно,



ЗАДАЧА 5. Найти точку пересечения прямых.

Пусть даны две пересекающиеся прямые

: и :,

– точка пересечения прямых. Тогда – решение системы уравнений



или, переходя к параметрическим уравнениям прямой,



ПРИМЕР. Найти точку пересечения прямых

: и : .
1) Прямые и не являются параллельными (их направляющие векторы не коллинеарны) и для них выполняется условие (9):

.

Следовательно, прямые и – пересекаются.

2) Найдем точку пересечения прямых. Для этого перейдем к их параметрическим уравнениям:

: и :

и решим систему



, ;

, , .

Таким образом, точкой пересечения прямых является точка
1   2   3   4   5

Похожие:

Задача записать уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку, параллельно вектору iconРешение Направляющим вектором прямой будет Отсюда уравнение прямой...
С некоторыми оговорками некоторые из следующих материалов можно использовать и в 8-9 классах в при изучении темы «Уравнение прямой...
Задача записать уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку, параллельно вектору iconОтложить на данном луче от его начала отрезок, равный данному отрезку
Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную данной прямой (два случая: точка на прямой, точка вне прямой)
Задача записать уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку, параллельно вектору iconОкружность радиуса с центром в начале координат
Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости в декартовой системе координат называется уравнение, где функция двух переменных...
Задача записать уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку, параллельно вектору iconВарианты контрольных работ по дисциплине «Математический анализ»...
Составить уравнения касательных к графику функции параллельных прямой, проходящей через точки (1; 8) и (–1; –2). Сделать чертеж
Задача записать уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку, параллельно вектору iconЧеловек издавна стремился записать численное значение того или иного...
Человек издавна стремился записать численное значение того или иного результата своего труда. Развитие этого умения происходило параллельно...
Задача записать уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку, параллельно вектору iconВ правильной треугольной пирамиде sabc с основанием авс известны...
В правильной треугольной пирамиде sabc с основанием авс известны ребра: ав=20, sc=29. Найдите угол, образованный плоскостью основания...
Задача записать уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку, параллельно вектору iconВ правильной треугольной пирамиде sabc с основанием авс известны...
В правильной треугольной пирамиде sabc с основанием авс известны ребра: ав=20, sc=29. Найдите угол, образованный плоскостью основания...
Задача записать уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку, параллельно вектору icon{Первый достаточный признак экстремума
«+» на «-», то x0 — точка локального максимума. Если f '(Х) при переходе через точку х0 меняет знак с «-» на «+», то х0- точка локального...
Задача записать уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку, параллельно вектору iconРешение ― объект, который при подстановке обращает уравнение в истинное
Определение: Обыкновенное дифференциальное уравнение порядка ―уравнение вида в котором ―независимая переменная, ―искомая функция,...
Задача записать уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку, параллельно вектору iconЗадачи для ига, специальность пми (дисциплины Методы оптимизации,...
Найти на данной прямой такую точку, чтобы сумма расстояний от нее до двух заданных точек была минимальна
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
userdocs.ru
Главная страница