Программа курса «алгебра 2» Направление «Педагогическое образование»


Скачать 185.38 Kb.
НазваниеПрограмма курса «алгебра 2» Направление «Педагогическое образование»
страница1/2
Дата публикации05.05.2013
Размер185.38 Kb.
ТипПрограмма курса
userdocs.ru > Математика > Программа курса
  1   2


ПРОГРАММА КУРСА «АЛГЕБРА 2»
Направление «Педагогическое образование», профиль «Математика», первый курс, второй семестр, 2011/12 уч. год, 36 часов лекций, 36 часов практических занятий, 4 коллоквиума, 4 контрольные работы, зачет.

Преподаватель: доц., к.ф-м.н. Ушаков Андрей Владимирович.
1. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ И ЕЕ РАЗДЕЛЫ
Модуль 1. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатая матрица. Ранг матрицы. Элементарные матрицы. Определитель произведения матриц. Обратимые матрицы. Вычисление обратной матрицы. Формула для обратной матрицы. Понятие системы линейных уравнений. Правило Крамера. Метод Гаусса.

Модуль 2. Понятие векторного пространства. Линейно зависимые и независимые системы векторов. Эквивалентные системы векторов. Теорема о ранге матрицы. Базис и размерность векторного пространства. Координаты вектора в базисе. Изоморфизм векторных пространств.

Модуль 3. Подпространства векторного пространства. Однородные системы линейных уравнений. Сумма подпространств. Подпространства конечномерного пространства. Линейные многообразия. Векторные пространства со скалярным умножением. Процесс ортогонализации. Ортогональное дополнение. Евклидовы векторные пространства. Норма вектора. Ортонормированный базис евклидова векторного пространства. Изоморфизм евклидовых векторных пространств.

Модуль 4. Линейные отображения и операторы векторных пространств. Ядро и образ линейного оператора. Матрица линейного оператора. Алгебра линейных операторов. Обратимые линейные операторы. Собственные векторы и значения линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора. Спектр линейного оператора. Условия подобия матрицы диагональной матрице.
^ 2. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И

ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
ЛИТЕРАТУРА


  1. Л.Я. Куликов. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979.

  2. А.Г. Курош. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975.

  3. Д.К. Фаддеев. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.

  4. Л.Я. Куликов, А.И. Москаленко, А.А. Фомин. Сборник задач по алгебре и теории чисел. М.: Просвещение, 1993.


^ 3. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И ПЛАН ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ




Тема

Общая трудоемкость

Самостоятельная работа

Всего

аудиторных часов

Лекции часов

Практические и семинарские занятия часов

Контроль самостоятельной работы

1

Модуль 1.

23

4

16

8

8

3

2

Модуль 2.

23

4

16

8

8

3

3

Модуль 3.

31

6

22

10

12

3

4

Модуль 4.

26

5

18

10

8

3

5

Форма промежуточной аттестации – зачет.

5
















6

Итого за семестр

(часов)

108

(3 зач. ед.)

19

72

36

36

12


^ ПЛАН ЛЕКЦИЙ
Модуль 1.

ЛЕКЦИЯ 1. Ранг матрицы.

ЛЕКЦИЯ 2. Элементарные матрицы и их свойства.

ЛЕКЦИЯ 3. Обратимые матрицы.

ЛЕКЦИЯ 4. Системы линейных уравнений.

Модуль 2.

ЛЕКЦИЯ 5. Понятие векторного пространства.

ЛЕКЦИЯ 6. Линейно зависимые и независимые системы векторов.

ЛЕКЦИЯ 7. Базис и размерность векторного пространства.

ЛЕКЦИЯ 8. Изоморфизм векторных пространств.

Модуль 3.

ЛЕКЦИЯ 9. Подпространства векторного пространства.

ЛЕКЦИЯ 10. Сумма и прямая сумма подпространств.

ЛЕКЦИЯ 11. Линейные многообразия.

ЛЕКЦИЯ 12. Векторные пространства со скалярным умножением.

ЛЕКЦИЯ 13. Евклидовы векторные пространства.

Модуль 4.

ЛЕКЦИЯ 14. Линейные отображения и операторы.

ЛЕКЦИЯ 15. Матрица линейного оператора.

ЛЕКЦИЯ 16. Алгебра линейных операторов.

ЛЕКЦИЯ 17. Собственные векторы и значения линейного оператора.

ЛЕКЦИЯ 18. Спектр линейного оператора.

^ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
Модуль 1.

  1. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатая матрица.

  2. Ранг матрицы.

  3. Элементарные матрицы.

  4. Определитель произведения матриц.

  5. Обратимые матрицы.

  6. Вычисление обратной матрицы.

  7. Формула для обратной матрицы.

  8. Понятие системы линейных уравнений.

  9. Правило Крамера.

  10. Метод Гаусса.

Модуль 2.

  1. Понятие векторного пространства.

  2. Линейно зависимые и независимые системы векторов.

  3. Эквивалентные системы векторов.

  4. Теорема о ранге матрицы.

  5. Базис и размерность векторного пространства.

  6. Координаты вектора в базисе.

  7. Изоморфизм векторных пространств.

Модуль 3.

  1. Подпространства векторного пространства.

  2. Однородные системы линейных уравнений.



  3. Сумма подпространств.

  4. Подпространства конечномерного пространства.

  5. Линейные многообразия.

  6. Векторные пространства со скалярным умножением.

  7. Процесс ортогонализации.

  8. Ортогональное дополнение.

  9. Евклидовы векторные пространства. Норма вектора.

  10. Ортонормированный базис евклидова векторного пространства.

  11. Изоморфизм евклидовых векторных пространств.

Модуль 4.

  1. Линейные отображения и операторы векторных пространств.

  2. Ядро и образ линейного оператора.

  3. Матрица линейного оператора.

  4. Алгебра линейных операторов.

  5. Обратимые линейные операторы.

  6. Собственные векторы и значения линейного оператора.

  7. Характеристический многочлен линейного оператора.

  8. Спектр линейного оператора.

  9. Условия подобия матрицы диагональной матрице.


^ ПЛАН ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
Модуль 1.

ЗАНЯТИЯ 1, 2. Обратная матрица. Ранг матрицы.

  1. Найти обратные матрицы по формуле или с помощью элементарных преобразований.
    а) ; б) ; в) ; г) . Ответ:
    а) ; б) не существует; в) ; г) .

  2. Даны матрицы , . Решить матричные уравнения:
    а) AX=B; б) XA=B. Ответ: а) ; б) .

  3. Вычислить ранги матриц:
    а) ; б) ; в) ; г) ;
    д) . Ответ: а) 1; б) 2; в) 3; г) 3; д) 2.

ЗАНЯТИЯ 3, 4. Системы линейных уравнений.

  1. Решить системы линейных уравнений методом Крамера или матричным методом.
    а) б) в)
    Ответ: а) ; б) ; в) .

  2. Решить систем линейных уравнений методом Гаусса:
    а) б)
    в) г)
    д) е)
    Ответ: а) ; б) ;
    в) несовместна; г) ; д) ;
    е) .

  3. Исследовать систему и решить ее в зависимости от значений параметра:

. Ответ: при система имеет единственное решение ; при общее решение имеет вид ; при система несовместна.

Модуль 2.

ЗАНЯТИЕ 5, 6. Линейно зависимые и независимые системы векторов.

  1. Установить линейную зависимость или независимость следующих систем векторов в соответствующих векторных пространствах над полем R:

    1. . Ответ: система линейно зависима и .

    2. . Ответ: система линейно зависима и .

    3. . Ответ: система линейно независима.

  2. В векторном пространстве представить вектор a=(1,4,–7) как линейную комбинацию векторов . Ответ: .

  3. Доказать, что вектор a=2–7i из векторного пространства C над R линейно выражается через векторы . Ответ: .

ЗАНЯТИЕ 7. Координаты вектора в базисе.

  1. Данную линейно независимую систему дополнить до базиса соответствующего векторного пространства:

    1. . Ответ: .

    2. . Ответ: .

  2. Доказать, что система составляет базис пространства . Найти в этом базисе координаты вектора a=(2, –3, 5). Ответ: .

  3. Найти координаты вектора из векторного пространства в базисах:

    1. . Ответ: .

    2. . Ответ: f(2,–3,1,0).



ЗАНЯТИЕ 8. Матрица перехода.

  1. В векторном пространстве C над R найти матрицу перехода от базиса [1, i] к базису [2–i, 4i] и найти координаты вектора a=8+9i в новом базисе. Ответ: .

  2. В векторном пространстве найти матрицу перехода от базиса к базису и координаты вектора в новом базисе. Ответ: a(2,0,3,–1).

  3. Найти координаты вектора x в базисе , если известно его разложение по базису:

    1. и Ответ: .

    2. и
      Ответ: .

  4. В векторном пространстве найти матрицу T перехода от базиса к базису и координаты вектора в базисе . Ответ: , .

  5. В векторном пространстве найти матрицу T перехода от базиса к базису и координаты вектора в базисе . Ответ: , .

  6. Пусть есть матрица перехода от базиса к базису . Найти координаты вектора во втором базисе и координаты вектора в первом. Ответ: , .

Модуль 3.

ЗАНЯТИЯ 9, 10. Подпространства векторного пространства.

  1. Доказать, что множество является подпространством векторного пространства . Найти его размерность и базис.

  2. Найти размерность r и базис B линейной оболочки векторов:

    1. . Ответ: r=3, и .

    2. . Ответ: r=3, и .

    3. .Ответ: r=2, и .

  3. Задать линейную оболочку векторов однородной системой линейных уравнений. Ответ:

  4. Найти фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений:

    1. Ответ: .

    2. Ответ: система имеет только нулевое решение.

    3. Ответ:

  5. Найти базисы и размерности для суммы и пересечения подпространств и пространства , если и . Ответ: .

ЗАНЯТИЕ 11. Линейные многообразия.

  1. Найти базис направляющего пространства и вектор сдвига для многообразия M решений системы линейных уравнений: Ответ: в записи M=a+L имеем a=(0,1,1,0) и , где .

  2. Выяснить, пересекаются ли в пространстве многообразия и , где и .
    Ответ: не пересекаются.

ЗАНЯТИЯ 12, 13. Процесс ортогонализации.

  1. Ортогонализировать систему векторов пространства : .
    Ответ: .

  2. Проверить, что векторы ортогональны и нормированы. Дополнить систему до ортогонального базиса пространства . Ответ: .

  3. Построить ортонормированный базис линейной оболочки векторов .
    Ответ: .

  4. Найти ортонормированный базис пространства решений однородной системы линейных уравнений: Ответ: .

ЗАНЯТИЕ 14. Ортогональное дополнение.

  1. В пространстве задано подпространство L однородной системой линейных уравнений: Найти ортогональные базисы в пространствах .

  2. В пространстве найти базис ортогонального дополнения , если само подпространство L является линейной оболочкой векторов . Ответ: например, .

  3. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора x=(3,–5,2,–10) относительно линейной оболочки векторов . Ответ: y=(3,–6,–3,–3), z=(0,1,5,–7).

Модуль 4.

ЗАНЯТИЕ 15, 16. Ядро и образ линейного оператора.

  1. Можно ли с помощью следующих равенств задать линейные операторы пространства ? Для линейных операторов найти их матрицы в базисе (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).

    1. . Ответ: можно, .

    2. . Ответ: нельзя.

    3. . Ответ: нельзя.

    4. . Ответ: можно, .

  2. Можно ли с помощью следующих равенств задать линейные операторы пространства ? Для линейных операторов найти их матрицы в базисе .

    1. . Ответ: можно,

    2. . Ответ: можно,

    3. . Ответ: можно, .

  3. Найти базис ядра и образа линейного оператора φ пространства V, заданного в некотором базисе матрицей:

    1. Ответ: .

    2. Ответ: базис Im φ: ; базис ker φ: .

  4. Найти ранг, дефект, а также базисы ядра и образа линейного оператора φ пространства , заданного условием: . Ответ: rang φ=3,
    df φ=0.

  5. Доказать, что существует линейный оператор пространства , переводящий векторы соответственно в векторы . Найти его матрицу в базисе . Ответ: .

ЗАНЯТИЕ 17. Матрица линейного оператора.

  1. Линейный оператор пространства V задан в базисе матрицей . Найти образ вектора . Ответ: .

  2. Линейный оператор φ пространства переводит векторы соответственно в векторы . Найти его матрицу в базисе . Ответ: .

  3. Линейный оператор φ пространства V задан в базисе матрицей . Найти его матрицу в базисе , если .
    Ответ: .

  4. Линейный оператор φ в базисе имеет матрицу , а линейный оператор ψ в базисе матрицу . Найти матрицу линейного оператора φψ в базисе . Ответ: .



ЗАНЯТИЕ 18. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

  1. Найти собственные векторы и собственные значения линейных операторов пространства , заданных в некотором базисе матрицами:

    1. . Ответ: , e=(1,0,1).

    2. . Ответ: , , , .

    3. . Ответ: , , , , , .

    4. . Ответ: , , , , .

  2. Подобна ли матрица диагональной:

    1. Ответ: нет.

    2. Ответ: подобна матрице .

Департамент образования города Москвы

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования города Москвы

^ «МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт математики и информатики

Математический факультет




Наименование

дисциплины / курса

Уровень образования

Статус дисциплины в рабочем учебном плане

Количество зачетных единиц

Форма отчетности

Курс, семестр

Алгебра 2

Бакалавриат

Б3

вариативная часть

3

зачет

1 курс бакалавриата, 2 семестр
  1   2

Похожие:

Программа курса «алгебра 2» Направление «Педагогическое образование» iconПрограмма учебной дисциплины по направлению подготовки 050100 «Педагогическое образование»
Программа учебной дисциплины по направлению подготовки 050100 «Педагогическое образование» профили «История» «Обществознание»
Программа курса «алгебра 2» Направление «Педагогическое образование» iconРасписание занятий на факультете истории и менеджмента направление...

Программа курса «алгебра 2» Направление «Педагогическое образование» iconСамостоятельная работа №1 «Область существования функции»
Направление подготовки – Педагогическое образование. Профиль – «Физика» и «Информатика»
Программа курса «алгебра 2» Направление «Педагогическое образование» icon1 неделя) психолого-педагогическое образование (
Психолого-педагогическое взаимодействие участников образовательного процесса (л) доц. Жучкова С. Е
Программа курса «алгебра 2» Направление «Педагогическое образование» iconПрограмма учебной дисциплины по направлению 050100 «Педагогическое образование»
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Программа курса «алгебра 2» Направление «Педагогическое образование» iconРас ч ётн о-гр а фич е с кая раб о та по сопротивлению материалов...
«050100. 62 Педагогическое образование», по профилю «Технология», «Экономическое образование» соответствуют «Методическим указаниям...
Программа курса «алгебра 2» Направление «Педагогическое образование» iconПедагогическое образование

Программа курса «алгебра 2» Направление «Педагогическое образование» iconРасписание установочной сессии для студентов 1 курса заочного обучения...

Программа курса «алгебра 2» Направление «Педагогическое образование» icon1 неделя) педагогическое образование (

Программа курса «алгебра 2» Направление «Педагогическое образование» iconЛабораторная работа № Тема: Алгебры. Вещественная алгебра кватернионов
Определить размерность соответствующей алгебры, выяснить, является ли данная алгебра коммутативной, существует ли в ней единица,...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
userdocs.ru
Главная страница