Решение: >> A=[1 2 3 4; 2 3 4 1; 3 4 1 2; 4 1 2 3]; B=[11 12 13 14]'


Скачать 69.68 Kb.
НазваниеРешение: >> A=[1 2 3 4; 2 3 4 1; 3 4 1 2; 4 1 2 3]; B=[11 12 13 14]'
Дата публикации05.05.2013
Размер69.68 Kb.
ТипРешение
userdocs.ru > Математика > Решение
Цель работы: Приобретение навыков решения задач линейной алгебры с использование системы MATLAB.


Задание 1. Ответить на три теоретических вопроса – по одному из каждого раздела: векторная алгебра, операции с матрицами и решение систем линейных алгебраических уравнений. При ответе на вопрос привести пример в MATLAB.
Задание 2. Используя теорему Кронекера-Капелли, исследовать СЛАУ на совместность.
Для того, чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы A системы был равен рангу ее расширенной матрицы.

Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.
^ Порядок выполнения задания:

Согласно варианту, исследуем на совместность следующую систему уравнений:

Решение:

>> A=[1 2 3 4; 2 3 4 1; 3 4 1 2; 4 1 2 3]; B=[11 12 13 14]'; ...

[rank(A),rank([A B])]

ans =

4 4

Так как ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений, то данная система совместная. Ранг совместной матрицы равен числу неизвестных, т.е. система имеет единственное решение.
Задание 3. Решить СЛАУ следующими способами:

а) матричным методом;

б) методом Крамера;

в) методом Гаусса с частичным выбором главного элемента;

г) с помощью оператора \.
а) Матричный метод решения
Решение:

1. Вычислим определитель матрицы А:

2. Так как определитель матрицы A не равен нулю, то существует обратная матрица A-1:
.

3. Вычислим произведение обратной матрицы на вектор-столбец свободных членов:
.

4. Присвоим полученный результат вектору-столбцу X: .

Для решения СЛАУ матричным методом с помощью MATLAB в командное окно следует ввести следующую команду:

>> X=inv([1 2 3 4; 2 3 4 1; 3 4 1 2; 4 1 2 3])*[11;12;13;14]

X =

2

1

1

1
б) Решение с использованием метода Крамера
Решение:

1. Вычислим определитель системы , и если он не равен нулю, то определители , , и :

, , ,

, .

2. Применим формулы Крамера для определения значений x1, x2, x3 и x4:

, , , .

Таким образом, решение системы есть x1 = 2, x2 = 1, x3 = 1, x4 = 1.

Выполним указанные операции в MATLAB:

>> A = [1 2 3 4; 2 3 4 1; 3 4 1 2; 4 1 2 3]; B = [11; 12; 13; 14]; d = det(A)

d =

160

>> [B A(:,2) A(:,3) A(:,4)], dx1 = det(ans) % вычиcление определителя dx1

ans =

11 2 3 4

12 3 4 1

13 4 1 2

14 1 2 3

dx1 =

320

>> [A(:,1) B A(:,3) A(:,4)], dx2 = det(ans) % вычиcление определителя dx2

ans =

1 11 3 4

2 12 4 1

3 13 1 2

4 14 2 3

dx2 =

160

>> [A(:,1) A(:,2) B A(:,4)], dx3 = det(ans) % вычиcление определителя dx3

ans =

1 2 11 4

2 3 12 1

3 4 13 2

4 1 14 3

dx3 =

160

>> [A(:,1) A(:,2) A(:,3) B], dx4 = det(ans) % вычиcление определителя dx4

ans =

1 2 3 11

2 3 4 12

3 4 1 13

4 1 2 14

dx4 =

160

>> x = [dx1/d; dx2/d; dx3/d; dx4/d] % получение решений системы уравнений

x =

2

1

1

1
в) Решение с использованием метода Гаусса с частичным выбором главного элемента
Решение:

>> % задание раcширенной матрицы

>> A=[1 2 3 4; 2 3 4 1; 3 4 1 2; 4 1 2 3]; B=[11 12 13 14]'; AB = [A B];

>> % переcтановка 1-й и 4-й cтрок

>> AB=[AB(4,:); AB(2,:); AB(3,:); AB(1,:)]

AB =

4 1 2 3 14

2 3 4 1 12

3 4 1 2 13

1 2 3 4 11

>> format rational

>> % обнуление коэффициентов a21, a31 и a41

>> AB1=[AB(1,:); AB(2,:)-AB(1,:)*AB(2,1)/AB(1,1);...

AB(3,:)-AB(1,:)*AB(3,1)/AB(1,1); AB(4,:)-AB(1,:)*AB(4,1)/AB(1,1)]

AB1 =

4 1 2 3 14

0 5/2 3 -1/2 5

0 13/4 -1/2 -1/4 5/2

0 7/4 5/2 13/4 15/2

>> % обнуление коэффициентов а32 и а42

>> AB2=[AB1(1,:); AB1(2,:); AB1(3,:)-AB1(2,:)*AB1(3,2)/AB1(2,2);...

AB1(4,:)-AB1(2,:)*AB1(4,2)/AB1(2,2)]

AB2 =

4 1 2 3 14

0 5/2 3 -1/2 5

0 0 -22/5 2/5 -4

0 0 2/5 18/5 4

>> % обнуление коэффициента а43

>> AB3=[AB2(1,:); AB2(2,:); AB2(3,:); AB2(4,:)-AB2(3,:)*AB2(4,3)/AB2(3,3)]

AB3 =

4 1 2 3 14

0 5/2 3 -1/2 5

0 0 -22/5 2/5 -4

0 0 0 40/11 40/11

>> x4=AB3(4,5)/AB3(4,4) % вычиcление x4

x4 =

1

>> x3=(AB3(3,5)-AB3(3,4)*x4)/AB3(3,3) % вычиcление x3

x3 =

1

>> x2=(AB3(2,5)-AB3(2,3)*x3-AB3(2,4)*x4)/AB3(2,2) % вычиcление x2

x2 =

1

>> x1=(AB3(1,5)-AB3(1,2)*x2-AB3(1,3)*x3-AB3(1,4)*x4)/AB3(1,1) % вычиcление x1

x1 =

2

>> % формирование вектора X

>> X = [x1; x2; x3; x4]'

X =

2 1 1 1
г) Решение с помощью оператора \.

Оператор «\» или функция mldivide() самостоятельно выбирает лучший метод для решения заданной системы уравнений. При этом решение СЛАУ любого порядка достигается одной командой.
Решение:

>> A = [1 2 3 4; 2 3 4 1; 3 4 1 2; 4 1 2 3]; B = [11; 12; 13; 14];

>> X= (A\B)'

X =

2 1 1 1

Задание 4. Выполнить визуализацию решения заданной системы уравнений методом Гаусса-Жордана с помощью функции rrefmovie().
Решение:

>> A=[1 2 3 4; 2 3 4 1; 3 4 1 2; 4 1 2 3]; B=[11; 12; 13; 14]; AB = [A B];

>> rref (AB)

ans =

1 0 0 0 2

0 1 0 0 1

0 0 1 0 1

0 0 0 1 1
Визуализируем процесс решения СЛАУ из предыдущего примера с помощью функции rrefmovie().
Решение:

>> rrefmovie (AB)

Original matrix

A =

1 2 3 4 11

2 3 4 1 12

3 4 1 2 13

4 1 2 3 14

Press any key to continue. . .

swap rows 1 and 4

A =

4 1 2 3 14

2 3 4 1 12

3 4 1 2 13

1 2 3 4 11

Press any key to continue. . .

pivot = A(1,1)

A =

1 1/4 1/2 3/4 7/2

2 3 4 1 12

3 4 1 2 13

1 2 3 4 11

Press any key to continue. . .

eliminate in column 1

A =

1 1/4 1/2 3/4 7/2

2 3 4 1 12

3 4 1 2 13

1 2 3 4 11

Press any key to continue. . .

A =

1 1/4 1/2 3/4 7/2

0 5/2 3 -1/2 5

3 4 1 2 13

1 2 3 4 11

A =

1 1/4 1/2 3/4 7/2

0 5/2 3 -1/2 5

0 13/4 -1/2 -1/4 5/2

1 2 3 4 11

A =

1 1/4 1/2 3/4 7/2

0 5/2 3 -1/2 5

0 13/4 -1/2 -1/4 5/2

0 7/4 5/2 13/4 15/2

Press any key to continue. . .

swap rows 2 and 3

A =

1 1/4 1/2 3/4 7/2

0 13/4 -1/2 -1/4 5/2

0 5/2 3 -1/2 5

0 7/4 5/2 13/4 15/2

Press any key to continue. . .

pivot = A(2,2)

A =

1 1/4 1/2 3/4 7/2

0 1 -2/13 -1/13 10/13

0 5/2 3 -1/2 5

0 7/4 5/2 13/4 15/2

Press any key to continue. . .

eliminate in column 2

A =

1 1/4 1/2 3/4 7/2

0 1 -2/13 -1/13 10/13

0 5/2 3 -1/2 5

0 7/4 5/2 13/4 15/2

Press any key to continue. . .

A =

1 0 7/13 10/13 43/13

0 1 -2/13 -1/13 10/13

0 5/2 3 -1/2 5

0 7/4 5/2 13/4 15/2

A =

1 0 7/13 10/13 43/13

0 1 -2/13 -1/13 10/13

0 0 44/13 -4/13 40/13

0 7/4 5/2 13/4 15/2

A =

1 0 7/13 10/13 43/13

0 1 -2/13 -1/13 10/13

0 0 44/13 -4/13 40/13

0 0 36/13 44/13 80/13

Press any key to continue. . .

pivot = A(3,3)

A =

1 0 7/13 10/13 43/13

0 1 -2/13 -1/13 10/13

0 0 1 -1/11 10/11

0 0 36/13 44/13 80/13

Press any key to continue. . .

eliminate in column 3

A =

1 0 7/13 10/13 43/13

0 1 -2/13 -1/13 10/13

0 0 1 -1/11 10/11

0 0 36/13 44/13 80/13

Press any key to continue. . .

A =

1 0 0 9/11 31/11

0 1 -2/13 -1/13 10/13

0 0 1 -1/11 10/11

0 0 36/13 44/13 80/13

A =

1 0 0 9/11 31/11

0 1 0 -1/11 10/11

0 0 1 -1/11 10/11

0 0 36/13 44/13 80/13

A =

1 0 0 9/11 31/11

0 1 0 -1/11 10/11

0 0 1 -1/11 10/11

0 0 0 40/11 40/11

Press any key to continue. . .

pivot = A(4,4)

A =

1 0 0 9/11 31/11

0 1 0 -1/11 10/11

0 0 1 -1/11 10/11

0 0 0 1 1

Press any key to continue. . .

eliminate in column 4

A =

1 0 0 9/11 31/11

0 1 0 -1/11 10/11

0 0 1 -1/11 10/11

0 0 0 1 1

Press any key to continue. . .

A =

1 0 0 0 2

0 1 0 -1/11 10/11

0 0 1 -1/11 10/11

0 0 0 1 1

A =

1 0 0 0 2

0 1 0 0 1

0 0 1 -1/11 10/11

0 0 0 1 1

A =

1 0 0 0 2

0 1 0 0 1

0 0 1 0 1

0 0 0 1 1

Похожие:

Решение: >> A=[1 2 3 4; 2 3 4 1; 3 4 1 2; 4 1 2 3]; B=[11 12 13 14]\1. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом простой итерации
Эвм и дающих за конечное число действий решение дискретной задачи. Полученное решение дискретной задачи принимается за приближенное...
Решение: >> A=[1 2 3 4; 2 3 4 1; 3 4 1 2; 4 1 2 3]; B=[11 12 13 14]\Решение принять решение это уже решение
Кейс (от английского case) — многозначное понятие, которое в данном контексте трактуется как случай, казус (от латинского casus),...
Решение: >> A=[1 2 3 4; 2 3 4 1; 3 4 1 2; 4 1 2 3]; B=[11 12 13 14]\Полный перечень наших услуг: Решение задач по физике
Физические основы механики (решение задач по кинематике, динамика, вращательное движение)
Решение: >> A=[1 2 3 4; 2 3 4 1; 3 4 1 2; 4 1 2 3]; B=[11 12 13 14]\Решение исполнительного комитета Калининского областного Совета народных...
Постановлением Администрации Тверской области от 05 апреля 2005 г. N 126-па в настоящее решение внесены изменения
Решение: >> A=[1 2 3 4; 2 3 4 1; 3 4 1 2; 4 1 2 3]; B=[11 12 13 14]\Концепция курского регионального отделения
Воспитание социально зрелого слоя молодежи, решение материальных и социальных проблем студенчества, решение проблемы трудоустройства...
Решение: >> A=[1 2 3 4; 2 3 4 1; 3 4 1 2; 4 1 2 3]; B=[11 12 13 14]\Решение суда состоит из следующих частей (ст. 198 Гпк рф)
Вопрос 204. Сущность, значение и содержание (составные части) судебного решения в гражданском процессе. Требования, которым должно...
Решение: >> A=[1 2 3 4; 2 3 4 1; 3 4 1 2; 4 1 2 3]; B=[11 12 13 14]\Вопрос 206. Законная сила судебного решения по гражданскому делу
Если определением суда апелляционной инстанции отменено или изменено решение суда первой инстанции и принято новое решение, оно вступает...
Решение: >> A=[1 2 3 4; 2 3 4 1; 3 4 1 2; 4 1 2 3]; B=[11 12 13 14]\Решение: ,,  б
Решение: Найдём при каких значениях a уравнение имеет корни или Данное уравнение не имеет корней, если, т е при. Следовательно
Решение: >> A=[1 2 3 4; 2 3 4 1; 3 4 1 2; 4 1 2 3]; B=[11 12 13 14]\Решение спорных ситуаций (грубость персонала, мошенничество, конфликты между гостями, кражи)
Аптеки, как  и финансовые учреждениям одно из наиболее подверженных ограблению мест. Улучшить уровень безопасности позволит решение...
Решение: >> A=[1 2 3 4; 2 3 4 1; 3 4 1 2; 4 1 2 3]; B=[11 12 13 14]\Решение 20 января 2012 года город Челябинск
Судья Челябинского областного суда Кучин М. И. при секретаре Кутеповой Т. О., рассмотрев дело об административном правонарушении...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
userdocs.ru
Главная страница