Структурная минимизация систем управления, наблюдения и стабилизации


Скачать 228.32 Kb.
НазваниеСтруктурная минимизация систем управления, наблюдения и стабилизации
страница1/3
Дата публикации05.05.2013
Размер228.32 Kb.
ТипДокументы
userdocs.ru > Математика > Документы
  1   2   3
Структурная минимизация систем

управления, наблюдения и стабилизации

Для линейных стационарных управляемых систем известна задача определения минимального числа управляющих воздействий, при которых открытую систему можно сделать полностью управляемой. Решение этой задачи позволяет найти всю совокупность систем управления, при которых имеет место полная управляемость и обладающих при этом минимальной размерностью. В отличие от критерия Калмана предлагаемый подход позволяет рассматривать проблему полной управляемости еще на этапе создания управляемой системы. Кроме того, предлагаемый подход позволяет оценить избыточность систем управления. Решение этой задачи возможно редуцировать на линейные стационарные системы наблюдения, т.к. задача управляемости и наблюдаемости для линейных стационарных систем являются двойственными. Таким образом, решение этой задачи решает задачу структурной минимизации систем наблюдения.

§ 1. Структурная минимизация систем управления

Рассмотрим замкнутую линейную стационарную управляемую систему

, 

где и постоянные матрицы размера и (); – вектор управлений ; – кусочно-непрерывная вектор функция, определенная на интервале .

Критерий Калмана : для того, чтобы на интервале система  была полностью управляема необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы



был равен , т.е. совокупность векторов



содержала линейно независимых .

Замечание 1. Критерий Калмана можно заменить на следующий.

Для того чтобы система  была полностью управляемой необходимо и достаточно, чтобы матрица была положительно определенной.

Поставим задачу поиска минимального числа управляющих воздействий, при которых открытая система



может быть сделана полностью управляемой, путем выбора соответствующей матрицы размера (), т.е. задачу минимизации структуры системы управления, при которой замкнутая система  будет полностью управляемой. Задачи подобного рода могут возникать при синтезе систем управления.

На практике для определения минимального числа входов управляемой системы обычно используют следующий результат.

Теорема. Минимальное число входов управляемой системы равно числу нетривиальных инвариантных многочленов матрицы , которые определяются по формулам:

,

где - наибольший общий делитель (НОД) всех миноров - го порядка характеристической матрицы старший коэффициент всегда выбирается равным единице).

Замечание 2. Нетрудно видеть, что для построения нетривиальных инвариантных многочленов матрицы по заданным выше формулам требуется найти все характеристические многочлены определителей - го порядка характеристической матрицы и найти их НОД. Для этого требуется в символьном виде построить этих многочленов и найти их НОД, при этом не надо забывать, что все выкладки производятся в символьном виде. Если взять , а , то число многочленов у которых надо найти НОД . Все это показывает, что для систем достаточно большого порядка такой подход неприемлим [3].

Замечание 3. Другим подходом позволяющим реализовать построение нетривиальных инвариантных многочленов матрицы является сведение характеристической матрицы к матрице диагонального вида с помощью правых и левых элементарных операций не меняющих характеристический многочлен этой матрицы, так чтобы диагональные элементы полученной матрицы представляли собой искомые нетривиальные инвариантные многочлены. При таком подходе, для построения диагональной матрицы также требуется достаточно большое число символьных вычислений, которые при наличии ошибок округления могут привести к неверным результатам [3].

Замечание 4. Если использовать приведенный выше результат для построения всего множества матриц ранга , при которых система  является полностью управляемой, то для этого необходимо построить непересекающиеся базисы, отвечающие нетривиальным инвариантным многочленам , образующие инвариантные подпространства . В качестве столбцов матрицы необходимо выбрать векторы , так чтобы . Эта задачу весьма трудно алгоритмизировать, и она требует достаточно большого количества вычислений [3].

Ниже будет предложен более простой подход к определению минимального числа входов управляемой системы и к алгоритму построения систем управления минимальной структуры, при которых система  является полностью управляемой.

Определение 1. Назовем характеристикой полной управляемости системы  минимальное число управляющих воздействий, при которых для открытой системы можно выбрать матрицу размера (), при которой замкнутая система  будет полностью управляемой. Иногда, для краткости, будем говорить о характеристике управляемости матрицы .

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 1. (Алгоритм минимизации). Если ввести величину , где – число линейно независимых собственных векторов соответствующих различным собственным числам матрицы , то всегда можно выбрать линейно независимых векторов , являющихся столбцами матрицы так, что система  будет полностью управляемой.

Доказательство. Покажем, что можно построить линейно независимых векторов , так, чтобы совокупность векторов



содержала линейно независимых. Так как между матрицами и операторами существует взаимно однозначное соответствие, то перенесем рассмотрение поставленной выше задачи, в комплексное пространство , считая, что матрица является матрицей оператора действующего в этом комплексном пространстве.

Будем полагать, что оператор имеет собственные значения , имеющие кратность . Обозначим через корневые инвариантные подпространства оператора соответствующие этим собственным значениям и имеющими размерности , дающими в прямой сумме все пространство : . Каждое из этих подпространств содержит корневых векторов имеющих высоты , а сами подпространства представляют собой прямые суммы инвариантных подпространств () порождаемых корневыми векторами и имеющими циклические базисы [3]



Таким образом, все пространство представимо в виде прямой суммы непересекающихся инвариантных подпространств имеющих базисы . Заметим, что каждое инвариантное корневое подпространство содержит линейно независимых собственных векторов

.

Покажем, что можно выбрать линейно независимых векторов , так, чтобы совокупность из векторов



была линейно независимой.

Возьмем вектор , как линейную комбинацию векторов принадлежащих корневым инвариантным подпространствам , причем все коэффициенты в этой линейной комбинации, стоящие при корневых векторах отличны от нуля.

Тогда легко показать, что совокупность из векторов



линейно независима и составляет базис в инвариантном подпространстве .

Действительно, любая линейная комбинация векторов из совокупности векторов  может быть записана в виде , где операторный многочлен степени . Если предположить линейную зависимость этой совокупности, то это будет означать, что для некоторого операторного многочлена степени справедливо равенство . Так как в разложении вектора присутствуют все корневые векторы , каждый из которых имеет высоту , , то многочлен для того, чтобы обнулить все компоненты вектора должен иметь сомножители , т.е. иметь степень больше чем , ибо .

С другой стороны, любой вектор из совокупности  принадлежит инвариантному подпространству имеющему размерность . Это и означает, что совокупность из векторов  линейно независима и составляет базис в инвариантном подпространстве .

Исключим из дальнейшего рассмотрения подпространства .

Возьмем вектор , как линейную комбинацию векторов, принадлежащих корневым инвариантным подпространствам , причем все коэффициенты в этой линейной комбинации, стоящие при корневых векторах отличны от нуля. Заметим, что в этой линейной комбинации может быть меньше корневых векторов, чем , если какое либо корневое подпространство содержало всего один корневой вектор .

По аналогии с предыдущим можно показать, что совокупность из векторов



линейно независима и составляет базис в инвариантном подпространстве .

Действуя таким же образом и далее, пока все корневые подпространства не будут исчерпаны, мы построим векторов таких, что совокупности векторов  образуют базис в . Это вытекает из того, что каждая совокупность векторов



представляет собой базис инвариантного подпространства , прямая сумма которых представляет собой все пространство .

Заметим, что построенная совокупность из векторов является, вообще говоря, комплексной. Для того чтобы сделать ее вещественной, так чтобы совокупность из вещественных векторов



была линейно независимой, достаточно при построении каждого из векторов потребовать, чтобы его компоненты выбирались не только из подпространств , порожденных комплексно сопряженными корневыми векторами , но еще и были комплексно сопряжены. Это означает, что если одна из компонент вектора выбирается из инвариантного подпространства (), порожденного корневым вектором , отвечающим комплексному числу , то другая компонента обязательно выбирается из инвариантного подпространства (), порожденного комплексно - сопряженным корневым вектором , отвечающим комплексно - сопряженному числу . Причем эти компоненты выбираются так, чтобы быть комплексно - сопряженными величинами . При таком построении каждый вектор получается вещественным, совокупности векторов  линейно независимы и принадлежат различным инвариантным подпространствам, прямая сумма которых и представляет все пространство . Теорема доказана.

Теорема 2. Если ранг матрицы меньше величины , где – число линейно независимых собственных векторов соответствующих различным собственным числам матрицы , то система  не является полностью управляемой.

Доказательство. Как и в предыдущей теореме перейдем к изучению алгебраической задачи, решение которой и позволит установить результат, сформулированный в данной теореме.

Рассмотрим комплексное пространство и оператор , матрица которого имеет характеристику полной управляемости равную . Таким образом, наибольшее число линейно независимых собственных векторов этого оператора соответствующих некоторому его собственному значению равно .

Покажем, что для любой линейно независимой совокупности векторов , ранг матрицы



меньше , т.е. для любых линейно независимых векторов , из совокупности векторов



нельзя выбрать линейно независимых. Если этот факт будет установлен в , то теорема будет доказана, т.к. .

Проведем доказательство от противного. Предположим, что для некоторого существует линейно независимых векторов , таких, что ранг матрицы  равен . Данное предположение назовем гипотезой .

Обозначим через корневое подпространство оператора , которое имеет линейно независимых собственных векторов. Размерность этого подпространства и его собственное значение обозначим как и – соответственно. Заметим, что корневое подпространство является прямой суммой инвариантных подпространств , порождаемых корневыми векторами , имеющими высоты образующих в этих подпространствах циклические базисы

. 

Представим каждый вектор , в виде однозначного разложения по инвариантным подпространствам и (), т.е. в виде где , . Тогда любая линейная комбинация из совокупности  в силу того, что подпространства и инвариантны относительно оператора разбивается на две линейные комбинации, одна из которых принадлежит подпространству , а другая подпространству . Таким образом, если гипотеза имеет место, то с помощью линейной комбинации векторов



можно получить любой вектор из инвариантного подпространства .

Рассмотрим матрицу оператора в каноническом базисе Жордана считая, что клеток Жордана соответствующих собственному значению этого оператора стоят в левом верхнем углу этой матрицы и имеют размеры . Это эквивалентно тому, что первыми базисными векторами базиса Жордана являются вектора из совокупности . Заметим, что в этом случае у всех векторов , последние компонент являются нулевыми.

Обозначим через матрицу размера стоящую в левом верхнем углу канонической матрицы Жордана включающей все клетки Жордана соответствующие собственному значению и состоящую из «ящиков» Жордана имеющих размеры . Из гипотезы и сделанных выше замечаний вытекает, что существует совокупность из линейно независимых векторов , (вектора представляют собой первые компонент вектора ) таких, что из совокупности векторов



можно выбрать линейно независимых. Нетрудно видеть, что в этом случае из совокупности векторов

, 

где также можно выбрать линейно независимых. Заметим, что матрица отличается от матрицы тем, что у нее по главной диагонали стоят нули.

Рассмотрим невырожденную матрицу размера столбцами которой являются линейно независимых векторов из совокупности . Очевидно, что любой вектор имеет компонент с номерами равными нулю. Это означает, что строк матрицы с номерами имеет столбцов с элементами равными нулю, т.е. матрица образованная этими столбцами имеет ранг не больше чем . Отсюда следует, что выбранные строки матрицы линейно зависимы и эта матрица является вырожденной. Таким образом, мы показали, что гипотеза неверна. Тем самым теорема доказана.

Замечание 5. Из теорем 1 и 2 вытекает, что характеристика полной управляемости матрицы равна величине , где – число линейно независимых собственных векторов соответствующих различным собственным числам матрицы ,

Следствие. Если характеристический многочлен матрицы совпадает с его минимальным многочленом, то система  может быть сделана полностью управляемой с помощью скалярного управления.

  1   2   3

Похожие:

Структурная минимизация систем управления, наблюдения и стабилизации iconСеминар в городе керчи 8-10 марта структурная интеграция для всех кто работает с телом
Новый авторский семинар Дмитрия Томилова по структурной интеграции. На стыке Востока и Запада. Структурная интеграция это новые подходы...
Структурная минимизация систем управления, наблюдения и стабилизации iconСтруктурная антропология ббк87 л 36
...
Структурная минимизация систем управления, наблюдения и стабилизации iconСистемы видео наблюдения для детских садов Санкт-Петербург (СПб)
Каждый родитель хочет быть уверен, что его чадо в безопасности, под тщательным присмотром воспитателей, и никто кроме них к детям...
Структурная минимизация систем управления, наблюдения и стабилизации iconИнженеры этой специальности выполняют работу по проектированию, созданию...
Систем управления, где управление целиком возложено на машины. При этом человек принимает активное участие в начале и в конце технологического...
Структурная минимизация систем управления, наблюдения и стабилизации iconМикропроцессорные системы на базе схемотехники
Рис. Обобщенная структурная схема системы управления с использованием микроэвм
Структурная минимизация систем управления, наблюдения и стабилизации iconВопросы к экзамену по дисциплине «Базы данных и системы управления базами данных»
Проведите сравнительный анализ систем управления бд. Дайте характеристику реляционной системе управления бд
Структурная минимизация систем управления, наблюдения и стабилизации iconУправления, цели, функции, структура и методы управления
Область управленческой и хозяйственной деятельности, обеспечивающей рациональное управление экономическими процессами, организации...
Структурная минимизация систем управления, наблюдения и стабилизации icon1. Локальные системы управления современном производстве, тса в электронном...
Процесс проектирования и его автоматизируемость. Особенности автоматизации проектирования систем автоматического управления
Структурная минимизация систем управления, наблюдения и стабилизации iconВопросы для подготовки к экзамену по предмету
Функции систем управления сетями. Многоуровневое представление задач управления. Модель tmn
Структурная минимизация систем управления, наблюдения и стабилизации iconИгнатьева А. В., Максимцов М. М. И26 Исследование систем управления: Учеб пособие для вузов
И26 Исследование систем управления: Учеб пособие для вузов. М.: Юнити-дана, 2000. 157 с
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
userdocs.ru
Главная страница