Математическое описание сигналов в непрерывных линейных детерминированных системах


Скачать 197.86 Kb.
НазваниеМатематическое описание сигналов в непрерывных линейных детерминированных системах
Дата публикации05.05.2013
Размер197.86 Kb.
ТипДокументы
userdocs.ru > Математика > Документы

  1. Математическое описание сигналов в непрерывных линейных детерминированных системах.

При анализе прохождения сложного сигнала U(t) через такие системы его представляют в виде взвешенной суммы базисных функций φk(t) (или соответствующего интеграла)

, tt, t, (1.1)

где Сk – коэффициенты; t, t – интервал существования сигнала. На интервале t, t выражение справедливо как для сигналов, неограниченных во времени, так и для сигналов конечной длительности.

Вычисление составляющих сигнала существенно облегчается при выборе в качестве базиса системы функций 0(t), 1(t),…, k(t),…, j(t),…, n, которую называют ортогональной на отрезке t, t для всех , если удовлетворяются условия

при k j, (1.2)

и ортонормированной, если

при k = j. (1.3)

Распространенной временной формой представления сигнала является такое разложение сигнала U(t), при котором в качестве базисной функции используются единичные импульсные функции – дельта-функции.

Математическое описание такой функции задается соотношениями, когда дельта-функция отличается от нуля в момент времени t = , имеем:

; (1.5)

.

Такая математическая модель соответствует импульсу бесконечно малой длительности и безграничной величины. С помощью дельта-функции можно выразить значение реального сигнала U(t) в конкретный момент времени :

. (1.6)

Равенство (1.6) справедливо для любого текущего момента времени t.Заменив  на t и приняв в качестве переменной интегрирования , получим

. (1.7)

Формула (1.7) справедлива и для более узкого диапазона пределов интегрирования. Так, для любого  > 0 имеем

. (1.8)

На практике еще пользуются импульсной -функции. При условии, что U(t) имеет непрерывные производные до n-го порядка, с учетом производных -функции имеем

(1.9)

и аналогично

(1.10)

при k = 1, 2,…, n.

Единичную импульсную -функцию можно представить прямоугольным импульсом конечной длительности Δ, имеющим единичную площадь в виде рис. 1. Тогда можно записать, что

. (1.11)

Представим интегралом Фурье единичный прямоугольный импульс (t), определяемый формулой (1.11).

(1.12

1/



t



Подставляя в (1.14) выражение (1.13) прямоугольно-го импульса, будем иметь



(1.13)

Выполнив обратное преобразование Фурье для (1.15), получим

. (1.14)

Переходя к пределу при Δ→0 и принимая во внимание, что при этом , получим

. (1.15)

Эта формула дает разложение мгновенного единичного импульса на гармонические колебания всех возможных частот.

Можно подставить выражение (1.17) в формулу (1.7), что позволяет сказать о возможности использования экспоненциальных функций в качестве базисных для сигнала системы.

Использование экспоненциальных базисных функций в преобразовании Фурье комплексно-сопряженными парами (с положительным и отрицательным параметром ) позволяет в соответствии с формулой Эйлера

(1.16)

представить сложный детерминированный сигнал в виде суммы гармонических составляющих. Поскольку параметр  в этом случае имеет смысл круговой частоты, результат такого преобразования называют частотной формой представления сигнала.


  1. ^ Математическое описание сигналов в непрерывных линейных стохастических системах.

Под случайным (стохастическим) процессом подразумевают такую функцию времени U(t), значения которой в каждый момент времени случайны. Точно предсказать, какой будет реализация в очередном опыте, принципиально невозможно. Могут быть определены лишь статистические данные, характеризующие все множество возможных реализаций, называемое ансамблем.

В соответствии с определением, случайный процесс U(t) может быть описан системой N обычно зависимых случайных величин U1 = = U(t1),…, Ui = U(ti),…, UN = = U(tN), взятых в различные моменты времени.

Для оценки степени статистической зависимости мгновенных значений процесса U(t) в произвольные моменты времени t1 и t2 используется неслучайная функция аргументов RU(t1, t2), которая называется автокорреляционной или просто корреляционной функцией. При конкретных аргументах t1 и t2 она равна корреляционному моменту значений процесса U(t1) и U(t2):

. (1.17)

Через двумерную плотность вероятности выражение (1.17) представляется в виде

(1.28)

В силу симметричности этой формулы относительно аргументов справедливо равенство

. (1.19)

Для стационарных эргодических процессов справедливы соотношения:

для математического ожидания сигнала U(t)

; (1.20)

для дисперсии сигнала

; (1.21)

для корреляционной функции сигнала

. (1.22)

Дисперсия сигнала U(t) равна корреляционной функции при  = 0:

.
^

Спектральная плотность стационарных процессов


. (1.30)

Выражение (1.30) называют формулой Релея, которая соответствует энергетической форме интеграла Фурье. Для нахождения энергии рассматриваемого процесса вместо бесконечного интервала наблюдения с равным основанием можно интегрировать квадрат функции времени по всему интервалу [∞, ∞] или интегрировать квадрат модуля изображения Фурье по всем частотам [∞, ∞]. Для большинства процессов энергия за бесконечный интервал стремится к бесконечности, что неудобно в технических приложениях. В связи с этим удобнее вместо энергии использовать среднюю мощность процесса, которая будет получена, если энергию поделить на интервал наблюдения, тогда на основании формулы (1.30) получим

. (1.31)

Введем обозначение

, (1.32)

которое получило название спектральной плотности.

С учетом (1.32) перепишем выражение (1.31)

, (1.33)

где ū2 – средний квадрат рассматриваемой величины u(t).

Важным свойством спектральной плотности является то, что интегрирование ее по частотам [∞, ∞] дает средний квадрат исходной функции времени u(t). По своему физическому смыслу спектральная плотность есть величина, которая пропорциональна средней мощности процесса в интервале частот от ω до ω dω.

Спектральная плотность и корреляционная функция случайных процессов представляют собой взаимные преобразования Фурье:

; (1.34)

. (1.35)



  1. Математическое описание сигналов в линейных дискретных системах.

Из анализа спектров сигналов можно заключить, что наименьшая частота квантования для возможности восстановления сигнала равна , где – наивысшая частота, содержащаяся в спектре . Формально это положение известно как импульсная теорема. Теорема утверждает, что если сигнал не содержит частот выше, чем радиан в секунду, он полностью описывается своими значениями, измеренными в дискретные моменты времени с интервалом секунд.

В соответствии с импульсной теоремой непрерывный сигнал может быть получен из дискретного по интерполяционной формуле



Преобразование Фурье:



По условию теоремы функция F равна нулю вне интервала . Если , то



.

Значение непрерывной функции на основе равно



Меняя порядок интегрирования и суммирования, получаем



Однако реально на выбор частоты квантования влияют требование устойчивости замкнутых систем и другие практические соображении, которые могут сделать необходимым квантование сигнала с частотой более высокой, чем теоретический минимум. Более того, сигналы с ограниченным спектром физически не существуют в системах связи или управления. Все физические сигналы, существующие в реальном мире, содержат гармоники, покрывающие широкий диапазон частот. Но вследствие того, что амплитуды высокочастотных составляющих значительно ослаблены, предполагается, что сигнал имеет ограниченный спектр. Поэтому на практике эти факторы в сочетании с нереализуемостью идеального низкочастотного фильтра делают невозможным точное воспроизведение непрерывного сигнала по его дискретным выборкам, даже если выполняются условия импульсной теоремы.

Следует привести замечание по поводу импульсной теоремы: сигнал все же может быть полностью определен при квантовании его со скоростью меньшей, чем радиан в секунду, если в моменты выборки известна информация, как об амплитуде сигнала, так и о его производных. Фогель и другие доказали, что если сигнал не содержит частот больших, чем радиан в секунду, он полностью определяется значениями и , измеренными в дискретные моменты времени с интервалом секунд, где

(4.53)

Это означает, что если кроме значений в моменты известны значения первой производной , то максимально допустимый период квантования . Это вдвое больше периода, необходимого при измерении только . Добавление каждой последующей производной позволяет увеличивать интервал между выборками до величины , где n – порядок высшей производной, при условии, что для каждой выборки все производные низших порядков известны.

  1. Типовые элементарные звенья и их характеристики.

Последовательное соединение звеньев показано на рис. 1.8, 1.9.

W1(p)

W2(p)

W3(p)

X2

X1

X3

X4

Рис. 1.8. Блок-схема последовательного соединения

X1

X2

X3

X4

W1

W2

W3

Рис. 1.9. Граф последовательно соединения

Можно сжать структуру приведенной схемы до одного эквивалентного оператора. Используя операторы соотношения, получим

x4(p) = W3(p)x3(p) = W3(p)W2(p)x2(p) = W3(p)W2(p)W1(p)x1(p).

Тогда для последовательного соединения звеньев имеем эквивалентную передаточную функцию

. (1.145)

Параллельное соединение звеньев показано на рис. 1.10.

Так как сигналы на выходе всех k звеньев складываются, то результирующая (эквивалентная) передаточная функция равна

. (1.146)

W1(p)

W2(p)

W3(p)

X2

X3

X4

X5

X1



Рис. 1.10. Блок-схема параллельного соединения звеньев

Соединения звеньев с обратной связью приведено на рис. 1.11.

W1(p)

W2(p)

x2

x3

x4

x1



x3

Рис. 1.11. Блок-схема соединения звеньев с обратной связью

Для сигналов, показанных на схеме с отрицательной обратной связью, можно записать следующие соотношения:

x2 = x1x2;

x4 = W2(p)x3;

x2 = W1(p)x2.

Исключив промежуточные переменные x2, x4, получаем эквивалентную передаточную функцию системы

. (1.147)

При положительной обратной связи (x2 = x1 + x4) имеем

. (1.148)


  1. Типовые нелинейности.

b

b

c

c

x

а)

x

у

Б)

x

у

в)

у

c

c

x

г)

с

х

у

с

д)

Однозначные статические нелинейности: а – с насыщением; б – с зоной нечувствительности; в – линейные по модулю; г – идеальная релейная; д - релейная с зоной нечувствительности.

Существуют также петлевые гистерезисные нелинейности (рис. 3.2).

у

с

b

c

x

а)

y

c

c

b

d

b

d

x

б)

Рис. 3.2. Петлевые гистерезисные характеристики: а – релейная; б – релейная с зоной нечувствительности.


  1. Преобразование структурных схем линейных непрерывных систем.


Операция

Исходная схема

Эквивалентная схема

1

2

3

Перенос узла с выхода на вход звена

W1

X1

X2

X2

W1

W1

X1

X2

X2

Перенос узла с входа на выход звена

W1

X1

X1

X2

W1

W1-1

X1

X2

X1

Перенос сумматора с выхода на вход звена

W1

X1

X2

X3

Σ

W1

W1-1

X1

X3

X2

Σ

Перенос сумматора с входа на выход звена

W1

X3

X1

X2

Σ

W1

W1

X1

X2

X3

Σ

Переход к единичной обратной связи

W1

W2

X1

X2

Σ

W1-1

W1

W2

X1

X2

Σ



  1. ^ Критерий устойчивости непрерывных линейных систем.

Алгебраические критерии представляют математическое выражение необходимых и достаточных условий отрицательности вещественных частей всех корней уравнения n-й степени с постоянными вещественными коэффициентами

A(p) = a0pn + a1pn1 ++ an1p + an = 0. (1.170)

Условия устойчивости линейных систем выражаются с помощью алгебраических неравенств, содержащих значения коэффициентов уравнения (1.170). Они позволяют установить положение корней полинома A(p) в комплексной плоскости p =  + j относительно мнимой оси без вычисления значений корней.

При работе с полиномом (1.170) будем его приводить к виду, когда a0 > 0.

^ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ: Критерий Гаусса.

Пусть будет уравнение 7-го порядка:

Анализируем знаки 1-го столбца. Если один и тот же знак у всех коэффициентов, значит, система устойчива. Это достаточно лёгкая задача.




^ Критерий Гурвица.

Для начало записываются две строки: в начале нечётные, затем чётные:

Всё это будем делать пока мы не сформируем матрицу подходящего размера (если уравнение 7-го порядка, то последнее число будет а7).

  1. а1, 2) , 3)

И т.д. до 7-го порядка. Находим определители, и система является устойчивой, если окажется, что все определители будут >0.

ЧАСТОТНЫЕ: Михайлова:

a0=1; p^n+a1*p^(n-1)+a2*p^(n-2)+…+an=0

Допустим, мы имеем модель в форме д.у. движения системы, и по этому уравнению мы записали это характеристическое уравнение.

Формально оператор р заменяем на (јω):

(јω)^n+a1*(јω)^(n-1)+…+an=0.

Если раскрыть скобки то можем выделить:

Re(ω)+ јIm(ω)=0.

Затем можно построить: ω[0; ].

Пусть наша система д.у. 1-го порядка (один корень). Возьмём корень соответствующей естественной системе: (p-p1)=0; p1=-.

Заменим оператор р на (јω): јω+=0.

Начинаем находить точки: ω=0; ω=1; ω=2; при ω=, наш вектор повернётся на против часовой стрелки.
Возьмём систему 2-го порядка:

(p-p1)*(p-p2)=0; p1= -1; p2= -2, (јω+1 )*( јω+2 )=0.

Амплитуды перемножаются, углы складываются:

A1*e^(ј*φ1(ω)); A2*e^(ј*φ2(ω))

→A1*A2* e^(ј*(φ1(ω)+ φ2(ω)))

φ(ω)=n*; ω[0; ].

Если берём комплексные числа, то правило сохраняется. Если годограф проходит через нулевую точку, то можно сказать, что система находится на границе устойчивости.


  1. ^ Критерий устойчивости дискретных линейных систем.

Рассмотри систему вида: Х(к+1)=А*Х(к)+В*U(к)

Нам надо оценить, как будет меняться Х в зависимости от того, какие будут начальные условия: U(к)=0; Х(к+1)= А*Х(к).

Мы зададимся разными начальными условиями: X(0), такими, что ошибка (X(0) - )<δ.

(X(к+1) - )<ε - число, которым мы можем задаться сами произвольно.

Когда при условии , а в этом случае асимптотная система устойчива.

На сегодняшний день есть понятие, когда U(к)0.

Возьмём с начала скалярную систему:

Х(к+1)=А*Х(к)+В*U(к)

U(к)=0; Х(к+1)= А*Х(к)

X(0)0; Х(к+1)= a*Х(к)

X(1)=a*X(0)

X(2)=a*X(1)=a^2*X(0) … X(k)=a^k*X(0)

; X(k)0.

Когда, а=0, то, а^к не играет значения.

Когда, а<1, то, а^к будет уменьшаться, и <1 не играет роли, какой знак имеет а в данном случае.

Сделаем Z преобразование: Z*X(z)=a*X(z), (Z-a)*X(z)=0

Мы видим, что мы можем Z-a=0 Z=a. Когда <1 система устойчива.

Характеристическое уравнение для заданной системы:

a0*Z^n+a1*Z^(n-1)+…+an=0.

Когда хотя бы один корень будет > 1, то наша система неустойчива. Если хотя бы один корень будет = 1, то система находится на границе устойчивости.

Для матрицы А необходимо найти собственные числа, и когда они будут по модулю < 1, то наша система является устойчивой.

  1. ^ Критерий устойчивости дискретных нелинейных систем.

Частотный критерий устойчивости Попова. Он основан на методе интегральных оценок изучаемой системы на конечном интервале времени [0, T]. Пусть имеется описание линейной части системы в форме весовой g(t l) и частотной передаточной W(j) функции.


Структурная схема системы представлена на рис. 3.16.

f(t)





(, t)



g(t – )



Рис. 3.16. Структурная схема линейной системы

Интегральное уравнение, соответствующее приведенной системе, имеет вид . (3.55)

Попов использовал интегральную оценку (3.56)

Для того чтобы нелинейная стационарная система была абсолютно устойчива в секторе [0, k], достаточно, чтобы существовало такое действительное число q, при котором для всех w ³ 0 выполнялось неравенство (3.57)

Для проверки критерия Попова необходимо построить на комплексной плоскости годограф видоизмененной частотной характеристики

(3.60)


ImW1(j)


ReW1(j)

и отложить точку на отрицательной части вещественной оси, равную k1. Eсли через точку –k1 можно провести прямую, позволяющую годографу W1(j) находиться целиком справа от нее, то система абсолютно устойчива (рис. 3.17).

Рис. 3.17. Геометрическое представление критерия Попова

Поскольку все полюса W(p) находятся в левой плоскости Res > 0, поэтому условие (3.57) эквивалентно

(3.61)

где D достаточно мало.

Для доказательства рассмотрим функционал Попова со связью (3.55) и производной от s(t), равной

. (3.62)

Подставив (3.55) и (3.62) в (3.56), запишем

(3.63)

где (3.64)

(3.65)

Тогда . (3.66)

Используя неравество Коши  Буняковского, запишем

. (3.67)

На основе формулы Парсевеля перепишем (3.65) в виде

. (3.68)

При достаточно малом положительном D с учетом (3.61) перепишем (3.68): . (3.69)

Сравнивая (3.66), (3.67) и (3.69), имеем (3.70)

где .

Анализ последнего неравенства показывает, что

. (3.71)

Откуда ||x|| £ ¥.

Известна лемма о том, что если в линейной системе

(3.72)

и выполнены условия , (3.73)

то (3.74)

Таким образом, система, удовлетворяющая критерию Попова, обеспечивает выполнение абсолютной устойчивости.

  1. Построение переходных процессов для линейных непрерывных сис.

1) Численные методы. Этот метод используется с применением ЭВМ так как возникают проблемы с решением д.у. высокого порядка:

;

y – выходное воздействие, а g – входное.

Примем , затем подставим в правую часть.

2) Аналитические методы (остановимся на частных случаях):

Возьмём случай когда коэффициенты b0, b1,…bm-1. В этом случае решение будет состоять из вынужденного и общего решения

.

Если есть начальные условия, то можно найти постоянные интегрирования, а следовательно имеем аналитическое решение д.у.

3) Операторный способ



Далее по таблице можно найти обратный переход:

Если найти корни pi=0,p1…

Воспользуемся формулой разложения:



- обратное преобразование Фурье.

Похожие:

Математическое описание сигналов в непрерывных линейных детерминированных системах iconТеория автоматического управления
Математическое описание сигналов в непрерывных линейных детерминированных системах
Математическое описание сигналов в непрерывных линейных детерминированных системах iconЦель: Общие сведения о использовании, спецификации. Основные сведения...
...
Математическое описание сигналов в непрерывных линейных детерминированных системах icon  - раздел кинематики, изучающий математическое описание движения...
Кинематика точки  — раздел кинематики, изучающий математическое описание движения материальных точек. Основной задачей кинематики...
Математическое описание сигналов в непрерывных линейных детерминированных системах iconПрохождение модулированных сигналов через резонансный усилитель
Исследование линейных искажений при прохождении амплитудно- и частотно-модулированных сигналов через резонансный усилитель на полевом...
Математическое описание сигналов в непрерывных линейных детерминированных системах iconЛинейные сигналы прямого направления
Рис. Характеристика типов сигнализации Состав линейных сигналов
Математическое описание сигналов в непрерывных линейных детерминированных системах iconМетоды изучения затрат рабочего времени
Динамика нелинейных систем описывается нелинейными дифференциальными или разностными уравнениями Для анализа и синтеза сау необходимо...
Математическое описание сигналов в непрерывных линейных детерминированных системах iconУсловия 25 Задания 25 Контрольные вопросы 26
В цифровых системах связи для передачи нескольких цифровых сигналов по одной линии связи применяется мультиплексирование с временным...
Математическое описание сигналов в непрерывных линейных детерминированных системах iconКурс лекций по дисциплине «Менеджмент» для слушателей цпкипк специальности...
Можно выделить три вида управления: в не живой природе (технических системах) управление станком, автомобилем, компьютером; в организмах...
Математическое описание сигналов в непрерывных линейных детерминированных системах iconЭкзаменационная программа по курсу «Линейная алгебра»
Системы линейных уравнений. Алгоритм Гаусса упрощения системы линейных уравнений и матрицы. Главные и свободные неизвестные. Разложение...
Математическое описание сигналов в непрерывных линейных детерминированных системах icon«Построение математической модели реактора, движение потоков в котором...
Вариант Построить математическое описание и блок-схему поверочного (оценочного) расчета стационарного режима гомогенного жидкофазного...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
userdocs.ru
Главная страница