1. Основные понятия и обозначения


Скачать 141.63 Kb.
Название1. Основные понятия и обозначения
Дата публикации05.05.2013
Размер141.63 Kb.
ТипДокументы
userdocs.ru > Математика > Документы
1.

Основные понятия и обозначения. Пусть . Матрицей размера называется совокупность чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы из строк и столбцов. При этом сами числа называются элементами матрицы.

Элементы матрицы обозначают строчными латинскими буквами, снабженными двумя индексами: – элемент матрицы, расположенный в i-й строке и j-м столбце или коротко элемент в позиции .

В общем виде матрица размера может быть записана следующим образом



Приведём некоторые обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем:

- множество всех матриц размера ;

- матрица с элементами в позиции ;

- матрица размера .

Элементы , где , называются диагональными, а элементы , где – внедиагональными. Совокупность диагональных элементов , где , называется главной диагональю матрицы.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается символом .

Заметим, что для каждого размера существует своя нулевая матрица.

Матрица размера называется квадратной матрицей n-го порядка. Квадратная матрица называется диагональной, если все её внедиагональные элементы равны нулю. Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной матрицей и обозначается символом или .

Матрица размера называется матрицей-строкой или вектор-строкой. Матрица размера называется матрицей столбцом или вектор-столбцом.

--22

Матрицы специального вида. Квадратная матрица называется верхней треугольной, если при , и нижней треугольной, если при . Общий вид треугольных матриц:

.

Заметим, что среди диагональных элементов , , …, могут быть равные нулю элементы. Матрица называется верхней трапециевидной, если выполнены следующие три условия:

  1. при ;

  2. Существует такое натуральное число , удовлетворяющее неравенствам , что .

  3. Если какой-либо диагональный элемент , то все элементы i-й строки и всех последующих строк равны нулю.

Общий вид верхних трапециевидных матриц:


,при

,пр

,при

, при .



Отметим, что при , верхняя трапециевидная матрица является треугольной матрицей с отличными от нуля диагональными элементами.


Операции над матрицами

Равенство матриц. Две матрицы и одинакового размера называются равными, если , , .

Если матрицы и равны, то будем писать .

Линейные операции. Суммой двух матриц и размера называется матрица размера , элементы которой определяются равенством



Сумму матриц и будем обозначать .

Матрица называется противоположной к матрице .

Теорема 2.1 Операция сложения матриц обладает следующими свойствами: для любых матриц и нулевой матрицы

  1. ; (перестановочность или коммутативность операции сложения

  2. ; (ассоциативность или сочетательное свойство)





Разностью матриц и называется матрица . обозначать .

Произведением матрицы на число α называется матрица , элементы которой определены равенством (обозначать ).



Теорема 2.2. Операция умножения матрицы на число обладает следующими свойствами:





  1. (Распределительное свойство относительно сложения матриц);

  2. (Распределительное свойство относительно сложения чисел);

  3. .

2. Умножение матриц. Произведением матриц и называется матрица , элементы которой определены равенством .


Из определения следует, что произведение определено лишь в том случае, когда число столбцов матрицы совпадает с числом строк матрицы . Это означает, что оба произведения и определены тогда и только тогда, когда матрицы A и B имеют размеры и соответственно. Следовательно равенство возможно лишь для квадратных матриц одинакового порядка. Однако и в этом случае произведение матриц, вообще говоря, зависит от порядка сомножителей.

, тогда .Следовательно .

Матрицы и называются перестановочными или коммутирующими, если .

Теорема 2.3. Операция умножения матриц обладает следующими свойствами:

  1. (Свойство ассоциативности),

  2. , для любого действительного числа α,

  3. , (Свойство дистрибутивности),для любых матриц , для которых левые части равенств имеют смысл.

В качестве иллюстрации приведём доказательство первого равенства свойства 3).

Пусть , , . Матрицы и имеют одинаковый размер - . Пусть – элемент матрицы в позиции , - элемент матрицы в позиции , тогда



Из равенств (1) и (2) следует, что , что доказывает первое равенство свойства 3).

Заметим, что для любой матрицыи единичной матрицы A =A, =A.


Возможен случай, когда произведение двух ненулевых матриц может оказаться равной

нулевой матрице.




Транспонирование матриц. Пусть . Матрица называется транспонированной к матрице , если

Заметим, что при транспонировании матрицы её строки становятся столбцами матрицы , с теми же номерами, а столбцы – строками.

Теорема 2.4. Операция транспонирования матриц обладает следующими свойствами:

  1. ,

  2. , для любого действительного числа α,

  3. ,

  4. ,

для любых матриц и , для которых имеют смысл левые части равенств.

Свойства 1), 2), 4) непосредственно вытекают из определения. Приведём доказательство свойства 3). Пусть и , при таком согласовании размеров матриц и произведения и существуют, при этом размеры и совпадают и равны . Пусть - элемент матрицы в позиции , – элемент матрицы , - элемент матрицы в позиции .

что доказывает справедливость свойства 3).
3.Понятие определителя квадратной матрицы , для .

Определитель – это некоторое число поставленное в соответствие квадратной матрице .

Для неквадратных матриц понятие определителя не вводится.

Пусть - произвольная квадратная матрица порядка . Если , то матрица состоит из одного числа . Положим по определению, что определитель такой матрицы равен числу .

Если , то матрица имеет вид Положим по определению, что определитель такой матрицы равен

Если , то матрица имеет вид



Положим по определению, что определитель такой матрицы равен



Основные свойства определителей.

Свойство 1. Определитель квадратной матрицы не изменяется при её транспонировании: .

Свойство 2. Если одна из строк (столбцов) матрицы целиком состоит из нулей, то её определитель равен нулю.

Свойство 3. При перестановке местами любых двух строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак.











Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число.


Пусть






Свойство 5. Если каждый элемент i-й строки (столбца) матрицы представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель такой матрицы равен , где элементы матриц и , за исключением элементов -й строки (столбца), совпадают с соответствующими элементами матрицы . А в -х строках (столбцах) матриц и стоят упомянутые первые и вторые слагаемые соответственно. Пусть .



Отметим некоторые следствия, непосредственно вытекающие из перечисленных 5 основных свойств определителя.

Следствие 1. Определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки (столбца) равен нулю.

Доказательство. Пусть - квадратная матрица, имеющая две одинаковые строки (столбца). - матрица полученная в результате перестановки указанных одинаковых строк (столбцов) матрицы . Тогда, с одной стороны, , с другой стороны, в силу свойства 3, . Следовательно, . Из последнего равенства следует, что .

Следствие 2. Если какие-либо две строки (столбца) матрицы пропорциональны, то её определитель равен нулю.

Доказательство. Пусть - квадратная матрица третьего порядка, имеющая две пропорциональные строки.

Предположим, что элементы второй строки получены умножением соответствующих элементов первой строки на некоторое число .





Следствие 3. Если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы любой другой строки (столбца), умноженные на любое число , то определитель не изменится.

Доказательство. Пусть - квадратная матрица третьего порядка

В качестве иллюстрации доказательства, рассмотрим случай, когда к элементам первой строки матрицы прибавляются элементы второй строки, умноженные на произвольное число . Тогда, в силу свойства 5 и следствия 2

=

Миноры и алгебраические дополнения. Пусть - произвольная квадратная матрица, – её элемент, стоящий в позиции . Вычеркивая из матрицы i-ю строку и j-ый столбец, получим некоторую матрицу , порядка . Определитель матрицы называется минором элемента . Минор элемента будем обозначать символом .

Число называется алгебраическим дополнением элемента . Для обозначения алгебраического дополнения элемента будем пользоваться символом .

Разложение определителя по строке (столбцу)

Теорема 4.1. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов произвольной строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

В качестве иллюстрации докажем, что определитель любой квадратной матрицы третьего порядка равен сумме произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения. Пусть.



Рассмотрим сумму произведений элементов первой строки на их алгебраическое дополнение





Легко заметить, что правая часть равенства (3) равна определителю матрицы .

формула Лапласа

4. Диагональная единичная и треугольная матр.их определители.Опред произвед матриц.

Матрица размера называется квадратной матрицей n-го порядка.

Квадратная матрица называется диагональной, если все её внедиагональные элементы равны нулю.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной матрицей

Квадратная матрица называется верхней треугольной, если при , и нижней треугольной, если при . Общий вид треугольных матриц:

.

Теорема 4.2. Определитель любой верхней треугольной (нижней треугольной) матрицы равен произведению диагональных элементов.

Доказательство. Рассмотрим случай верхней треугольной матрицы

Разложив определитель по первому столбцу, получим

Раскладывая полученный определитель -го порядка по первому столбцу и продолжая этот процесс, мы получим, что Теорема 4.2. доказана.

Следствие из теоремы 4.2. Определитель любой диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов.(любая диагональная матрица является как верхней треугольной, так и нижней треугольной)

Теорема 4.3. ** Определитель произведения квадратных матриц и равен произведению определителей матриц-сомножителей, т.е.

Теорема 4.4. (О фальшивом разложении определителя). Сумма произведений элементов одной строки (столбца) квадратной матрицы, на алгебраические дополнения элементов другой её строки (столбца) равна нулю.

Обратная матрица/Условие обратимости. Матрица называется обратной к матрице , если , где - единичная матрица. Матрица , для которой существует обратная матрица, называется обратимой.

Так как равенство возможно лишь для квадратных матриц одинакового размера, то обратимой может быть лишь квадратная матрица. Однако, не каждая квадратная матрица обратима.

Квадратная матрица называется вырожденной, если , и невырожденной, если .

Теорема 5.1. (Критерий обратимости) Матрица обратима тогда и только тогда, когда она не вырождена.

Доказательство. Пусть обратимая. Тогда существует матрица такая, что . Из этого равенства следует, что . Следовательно , т.е. матрица не вырождена.

Пусть теперь матрица не вырождена. Рассмотрим вспомогательную матрицу

где  – алгебраическое дополнение элемента матрицы . Матрица называется присоединённой или взаимной к матрице . Покажем, что матрица является обратной к матрице . Тем самым будет доказана обратимость матрицы .

Рассмотрим матрицу . В позиции матрицы стоит элемент ,

. Из теоремы 4.4. и определения определителя n-го порядка следую, что при и при . Следовательно .Из последнего равенства следует, что .Совершенно аналогично доказывается, что , т.е. . Теорема 5.1 доказана.

Теорема 5.2. (О единственности обратной матрицы) Если - квадратная невырожденная матрица, то существует единственная обратная к ней матрица.

Доказательство. Т.к. матрица невырождена, то в силу теоремы 5.1, она обратима, при этом матрица является обратной к матрице .

Пусть - произвольная матрица, удовлетворяющая равенствам . Единственность обратной матрицы будет доказана, если .

Умножая равенство слева на матрицу , получим (1)

С другой стороны=. (2)Сравнивая равенства (1) и (2) приходим к выводу .

Теорема 5.2 доказана.

В качестве примера найдём обратную к матрице

Как уже известно, обратную матрицу можно найти по формуле



Теорема 5.3. (обратимость призведения двух невырожденных матриц) Пусть квадратные невырожденные матрицы порядка . Тогда матрица обратима и при этом

Доказательство. В силу теоремы 4.3 . Т.е. матрица - невырождена. Следовательно, обратима.

Рассмотрим матрицу

Рассмотрим теперь матрицу

Из равенств (3), (4) и определения обратной матрицы следует, что .

Обратная к невырожденной диагональной матрице. Пусть - невырожденная диагональная матрица порядка .Тогда . Из условия невырожденности матрицы следует, что Легко проверить, что обратной к матрице будет матрица

Замечание. Из теоремы 4.3 непосредственно вытекает справедливость равенства




Похожие:

1. Основные понятия и обозначения iconОбозначения монетных дворов на российских монетах
На монете может присутствовать одновременно два обозначения. Порой на монетах вообще нет обозначения монетного двора
1. Основные понятия и обозначения iconПримерный перечень вопросов к экзамену по курсу «Аддиктивное поведение»
Психотерапия: сущность, основные виды. Отличие понятия «психотерапия» от понятия «психокоррекция»
1. Основные понятия и обозначения iconТема 1: Основные понятия программно-аппаратной защиты информации
Лекция 1: Введение. Предмет и задачи программно-аппаратной защиты информации. Основные понятия
1. Основные понятия и обозначения icon1. 1 Основные понятия информации: определение, мера измерения, качество
Изучение любой дисциплины начинается с определений основных терминов и формулировки понятий. К XXI в. Понятия информация и информационные...
1. Основные понятия и обозначения iconБиология как комплекс наук о живой природе. Основные свойства и признаки...
Термин «биология» введен в начале ХIХ века Ж. Б. Ламарком и Г. Тревиранусом для обозначения науки о жизни
1. Основные понятия и обозначения iconТема Содержание и основные понятия менеджмента
Тема Содержание и основные понятия менеджмента. Понятие, сущность и функции менеджмента. Рыночная экономика и менеджмент. Рынок в...
1. Основные понятия и обозначения iconПравовое регулирование занятости населения в рф: основные акты и...
Основные акты и понятия в сфере занятости. Государственные органы содействия занятости
1. Основные понятия и обозначения iconОсновные термины и понятия, применяемые в антинаркотической воспитательно-профилактической...
Основные термины и понятия, применяемые в антинаркотической воспитательно-профилактической
1. Основные понятия и обозначения iconЕстественная и экспоненциальная формы представления чисел в ЭВМ и разрядные сетки для них
Основные действия эвм: выбор (дешифраторы, шифраторы – типы, обозначения, принцип действия)
1. Основные понятия и обозначения icon1. основные понятия в области метрологии
Основные термины и определения в области метрологии регламентируются рекомендациями по межгосударственной стандартизации рмг 29 –...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
userdocs.ru
Главная страница