Вопросы к рассмотрению: Понятие о выборочном методе. Условия его применения


Скачать 174.68 Kb.
НазваниеВопросы к рассмотрению: Понятие о выборочном методе. Условия его применения
Дата публикации06.05.2013
Размер174.68 Kb.
ТипЛекция
userdocs.ru > Математика > Лекция


ЛЕКЦИЯ 6. ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД. ПРАКТИКА ПРИМЕНЕНИЯ ВЫБОРОЧНОГО МЕТОДА

Вопросы к рассмотрению:

  1. Понятие о выборочном методе. Условия его применения

  2. Ошибки выборки

  3. Типовые задачи, решаемые на основе выборочного метода. Использование выборочного метода в зоотехнии

  4. Способы формирования выборочной совокупности

1. Понятие о выборочном методе. Условия его применения

Статистическое наблюдение, предполагающее получение исходной информации в виде значений признаков единиц статистической совокупности, производится на основе изучения всех без исключения единиц (сплошное наблюдение) или только их части (наблюдение несплошное). Несплошное наблюдение предпочтительно при ограниченности времени или ресурсов на исследование. В ряде случаев несплошное наблюдение является единственно приемлемым. Среди способов несплошного наблюдения (изучение основного массива, выборочное наблюдение, монографическое обследование) основным является выборочное наблюдение.

Выборочное наблюдение – это специально организованное наблюдение за частью единиц исходной совокупности с целью получения полных и объективных данных обо всей совокупности.

При применении выборочного метода используются следующие основные понятия.

^ Генеральная совокупность - это исходная статистическая совокупность, по которой на основе выборки должны быть получены статистические показатели. Численность генеральной совокупности (N) может конечной или бесконечной (гипотетической). Статистическая совокупность конечна, если число входящих в нее единиц может быть установлено. Конечной является численность животных на предприятии или в регионе. Конечной будет совокупность возможных проб продукции или корма. Если же число единиц, входящих в совокупность подсчитать невозможно из-за ее неограниченности, то такая совокупность будет бесконечной. Примером бесконечной статистической совокупности может служить совокупность возможных результатов эксперимента, в том числе в зоотехнии и ветеринарии.

^ Выборочная совокупность (выборка ) - специально отобранная часть генеральной совокупности. Предназначение выборки - быть надежной моделью генеральной совокупности с точки зрения тех статистических особенностей, которыми генеральная совокупность обладает. Численность выборочной совокупности обозначается через n .

Оценка - статистическая характеристика (средняя, доля, дисперсия и т.д.) выборочной совокупности, на основе которой делается заключение относительно той или иной статистической характеристики генеральной совокупности. Например, средняя по выборке является оценкой для средней по генеральной совокупности.

Чтобы выборка была надежной моделью генеральной совокупности предварительно перед проведением выборки должно выполняться два условия:

во-первых, каждая единица входящая в генеральную совокупность должна иметь в сравнении с другими единицами равную возможность, строго говоря равную вероятность, попадания в выборку. Иными словами субъективизм при формировании выборки должен быть полностью исключен; выборка должна формироваться случайным образом, что позволит в дальнейшем, опираясь на теорию вероятностей, рассчитывать возможные ошибки. Реализуется этот принцип применением различных способов отбора, речь о которых пойдет в дальнейшем.

^ Во-вторых число единиц в выборке должно быть достаточно большим. Недостаточное число единиц в выборке не позволит отразить все особенности генеральной совокупности с точки зрения вариации изучаемых признаков. Статистикой разработаны алгоритмы, позволяющие определять ту численность выборки, которая гарантирует необходимую точность оценки как характеристики генеральной совокупности.

^ 2. Ошибки выборки

Поскольку выборка составляет, как правило, весьма незначительную часть генеральной совокупности, то следует предполагать, что будут иметь место различия между оценкой и характеристикой генеральной совокупности, которую эта оценка отображает. Эти различия получили название ошибок отображения или ошибок репрезентативности. Ошибки репрезентативности подразделяются на два типа: систематические и случайные.

^ Систематические ошибки - это постоянное завышение или занижение значения оценки по сравнению с характеристикой генеральной совокупности ( например, постоянное занижение упитанности животных при приемке животных на мясокомбинате или постоянное завышение питательности заготовленного сена ). Причиной появления систематической ошибки является несоблюдение принципа равновероятности попадания каждой единицы генеральной совокупности в выборку, то есть выборка формируется из преимущественно «худших» (или « лучших») представителей генеральной совокупности. Соблюдение принципа равновозможности попадания каждой единицы в выборку позволяет полностью исключить этот тип ошибки.

Случайные ошибки – это меняющиеся от выборки к выборке по знаку и величине различия между оценкой и оцениваемой характеристикой генеральной совокупности, например, меняющаяся от одной выборки к другой масса 10 яиц. Причина возникновения случайных ошибок - игра случая при формировании выборки, составляющей лишь часть генеральной совокупности. Этот тип ошибок органически присущ выборочному методу. Исключить их полностью нельзя, задача состоит в том, чтобы предсказать их возможную величину и свести их к минимуму. Порядок связанных в связи с этим действий вытекает из рассмотрения трех видов случайных ошибок: конкретной, средней и предельной.

Конкретная ошибка – это ошибка одной проведенной выборки. Если средняя по этой выборке () является оценкой для генеральной средней (0) и, если предположить, что эта генеральная средняя нам известна, то разница = -0 и будет конкретной ошибкой этой выборки. Если из этой генеральной совокупности выборку повторим многократно, то каждый раз получим новую величину конкретной ошибки: …, и так далее. Относительно этих конкретных ошибок можно сказать следующее: некоторые из них будут совпадать между собой по величине и знаку, часть из них будет равна 0, то есть будет иметь место совпадение оценки и параметра генеральной совокупности;

^ Средняя ошибка – это средняя квадратическая из всех возможных по воле случая конкретных ошибок оценки: , где - величина меняющихся конкретных ошибок; частота (вероятность) встречаемости той или иной конкретной ошибки. Средняя ошибка выборки показывает насколько в среднем можно ошибиться, если на основе оценки делается суждение о параметре генеральной совокупности. Приведенная формула раскрывает содержание средней ошибки, но она не может быть использована для практических расчетов, хотя бы потому, что предполагает знание параметра генеральной совокупности, что само по себе исключает необходимость выборки. В таблице 6.1 приведены формулы для расчета средних ошибок различных выборочных оценок, при этом символом s обозначено среднее квадратическое отклонение изучаемого признака по выборке, которое следует рассчитывать по формуле ; символом n обозначена численность выборки. Следовательно, в знаменателе при расчете среднего квадратического отклонения должна использоваться не численность выборки (n), а так называемое число степеней свободы (n-1). Приведенные в таблице 6.1 формулы относятся к так называемому случайному, повторному отбору единиц в выборку. При других способах отбора, о которых речь пойдет ниже, формулы будут несколько видоизменяться.

Таблица 6.1


Формулы для расчета средних ошибок выборочных оценок

Выборочные оценки

Формулы для расчета средней ошибки выборочной оценки

Выборочная средняя ( )



Выборочная дисперсия ( )



Выборочное среднее квадратическое отклонение ( s )



Выборочная доля (w )




Знание оценки и ее средней ошибки в ряде случаев совершенно недостаточно. Например, при использовании гормонов при кормлении животных знать только средний размер неразложившихся их вредных остатков и среднюю ошибку, значит подвергать потребителей продукции серьезной опасности. Здесь настоятельно напрашивается необходимость определения максимальной (предельной ошибки). При использовании выборочного метода предельная ошибка устанавливается не в виде конкретной величины, а виде равных границ (интервалов) в ту и другую сторону от значения оценки. Интервалы ошибки устанавливаются с доверительным уровнем вероятности (Р), под которым понимается вероятность того, что ошибка будет находиться в установленных границах. В качестве доверительного уровня вероятности берут такую вероятность, чтобы вероятностью противоположного события (ошибка выйдет за установленный интервал) можно было пренебречь. Минимальное значение доверительного уровня вероятности, используемое на практике составляет 0,90 (90%). В этом случае пренебрегают десятью процентами вероятности, что границы предельной ошибки будут шире. Наиболее часто используемыми значениями доверительного уровня вероятности являются 0,95; 0,99 и 0,999.

Для нахождения интервалов предельной ошибки необходимо среднюю ошибку оценки умножить на коэффициент t , то есть . Значение коэффициента t устанавливается по специальным таблицам. Если численность выборки превышает 20 единиц (так называемые большие выборки), то коэффициент t берут из таблицы «Значение интеграла нормального распределения вероятностей» и его значение зависит только от принятого доверительного уровня вероятностей. Если же численность выборки менее или равна 20 единицам ( малые выборки ), то значение коэффициента t берут из таблицы «Критические точки t- распределения Стьюдента». В этом случае его значение зависит не только от принятого доверительного уровня вероятности, но и от числа степеней свободы ( ).

^ 3. Типовые задачи решаемые на основе выборочного метода.

Выборочный метод используется для решения двух типов задач. Первый тип задач связан с получением оценок параметров генеральной совокупности и включает в себя три задачи: 1) установление границ, в которых с принятым доверительным уровнем вероятности находится параметр генеральной совокупности; 2) расчет минимально необходимой численности выборки, обеспечивающей появление ошибки не больше заданной; 3) определение уровня вероятности появления заданной ошибки при ограниченной численности выборки.

^ Первая из названных задач решается в такой последовательности: 1) из генеральной совокупности осуществляется выборка численностью единиц; 2)по выборочной совокупности определяется выборочная средняя как оценка для средней генеральной; при ее расчете может быть использована формула средней арифметической простой или (если выборочные данные представлены вариационным рядом распределения) и средней арифметической взвешенной ; 3) по выборочной совокупности определяется значение выборочного среднего квадратического отклонения по формулам: ( для случая простой средней ) и (для случая, когда выборочная средняя определяется как средняя взвешенная); 4) определяется средняя ошибка выборочной средней ; 5) устанавливается доверительный уровень вероятности (Р); 6) для принятого доверительного уровня вероятности по соответствующим таблицам находят значение коэффициента t; 7) определяются границы предельной ошибки ; 8) с принятым доверительным уровнем вероятности генеральная средняя находится в интервале 0 = ±;

Вторая задача решается в том случае, если значение ошибки (чаще всего предельной) заранее задано и, следовательно, стоит вопрос о том, какова должна быть минимальная численность выборки, чтобы ошибка с принятым доверительным уровнем вероятности не выходила за заданные границы. Алгоритм решения этой задачи вытекает из формулы расчета предельной ошибки =. Из этого равенства вытекает, что . Необходимая численность выборки определяется округленно до целых единиц, округление при этом производится всегда в большую сторону.

При использовании представленной выше формулы возникает проблема с дисперсией - . Ведь по сути выборка еще не производилась, а величина ее дисперсии должна быть уже известна. Решается проблема двояким образом: если исследуемая генеральная совокупность подвергалась ранее выборочному наблюдению, то можно воспользоваться значением дисперсии по данным предшествующей выборки; если же выборочного наблюдения не было, то для установления дисперсии можно провести экспресс выборку и по ней рассчитать величину дисперсии.

Интервалы предельной ошибки весьма часто задаются в % от оценки, например, в % от выборочной средней. В этом случае формула для расчета минимально необходимой численности выборки будет выглядеть так:

, где -квадрат выборочного коэффициента вариации, - квадрат ошибки, выраженной в %.

^ Третью задачу - необходимо решать в том случае, если при установленных границах ошибки имеет место также ограничение в численности выборки. Здесь возникает вопрос о том, какова гарантия (какова вероятность), что при заданной численности выборки ошибка не выйдет за установленные границы. Если в ходе решения окажется, что эта вероятность равна 0,90 и выше, то значит, эта выборка с высокой степенью надежности гарантирует, что ошибка не превысит установленную величину, если же вероятность оказалась ниже 0,90, то следует или примириться с большей ошибкой или найти возможность увеличить численность выборки.

С уровнем вероятности связан коэффициент t. Исходя из равенства =, определяется , а затем по таблицам «Значение интеграла нормального распределения вероятностей» или «Критические точки t- распределения Стьюдента» находится уровень вероятности (Р).

^ Второй тип задач, решаемых на основе выборочного метода состоит в том, что выдвигается некоторое предположение (статистическая гипотеза) о параметре генеральной совокупности или о ее распределении, а затем это предположение или подтверждается или опровергается на основе выборки.

Общую схему проверки статистической гипотезы рассмотрим на примере проверки гипотезы о распределении поголовья коров по содержанию жира в молоке.

Имеются выборочные данные о распределении коров определенной породы по жирности молока (в таблице 6.2 - фактические численности). Требуется установить, соответствует ли распределение коров всей породы

(в генеральной совокупности) пропорции 1:2 :4 :2:1

Таблица 6.2


К проверке гипотезы о соответствии фактического распределения коров по жирности молока ожидаемому

Этапы расчета

критерия

Формула

расчета

Процент жира в молоке

до 3.40

3,40-3,50

3,51-3,60

3,61-3,70

Свыше 3,70

Фактические численности

ni

104

188

383

196

129

Ожидаемые численности

ñi

100

200

400

200

100

Разности

ni - ñi

+4

-12

-17

-4

+29

Квадрат разности

(ni - ñi )

16

144

289

16

841

Отношение

(ni - ñi )/ ñi

0,16

0,72

0,72

0,08

8,41


На первом этапе выдвигаются две противостоящие друг другу гипотезы: в нашем примере Н0 (нулевая гипотеза) – распределение коров по жирности молока соответствует ожидаемой пропорции 1:2:4:2: 1 и НА (альтернативная гипотеза) распределение коров обозначенной пропорции не соответствует. В конечном счете, должна быть признана справедливой одна из этих гипотез, а вторая, соответственно отвергнута.

Далее следует установить так называемый уровень значимости (α), который означает вероятность ошибки в окончательном выводе о справедливости той или иной гипотезы. Возможность такой ошибки вытекает из того обстоятельства, что суждение о генеральной совокупности строится на основе выборки и на его содержание может повлиять игра случая. Уровень значимости выбирается самим исследователем. Для убедительности вывода он, как правило, не должен превышать 10% (α=0,10). Наиболее часто используемыми значениями уровня значимости являются 0,05 и 0,01. Величина 1- α = β называется достоверностью вывода.

Примем для нашего примера α=0,01

На третьем этапе необходимо выбрать статистический критерий - инструмент для проверки выдвинутых гипотез. По содержанию критерий - это случайная величина, имеющая свой закон распределения, а, следовательно, алгоритм расчета. Рассчитанное по выборочным данным значение критерия называется фактическим значением критерия. Выбор критерия зависит от содержания выдвинутых гипотез (о распределении генеральной совокупности, о средней в генеральной совокупности, о средних двух и более генеральных совокупностей, о дисперсии генеральной совокупности и т.д.), а также от численности выборки.

При проверке гипотезы относительно распределения генеральной совокупности, которая рассматривается в нашем примере, чаще всего используется критерий - Пирсона, при этом фактическое значение критерия рассчитывается по формуле: факт = , где - фактические численности по группам (интервалам) - ожидаемые численности, причем в качестве ожидаемых берутся численности соответствующие нулевой гипотезе (Н0 ).

В таблице 6.2 представлены последовательные этапы расчета фактического значения критерия , при этом ожидаемые численности устанавливались следующим образом: определялась общая численность выборки (1000 голов) и эта общая численность разбивалась по группам в пропорции 1:2:4:2:1. факт = 0,16+0,72+0,72+0,08 +8,41 = 10,09.

На заключительном этапе проверки статистических гипотез фактическое значение критерия необходимо сравнить с его табличной величиной. Таблицы с критериями построены так, что если фактическое значение критерия оказалось равным или меньше табличного, например, если факт ≤ табл, то с установленным уровнем значимости принимается нулевая гипотеза, если же фактическое значение критерия больше табличного (факттабл), то справедливой считается альтернативная гипотеза.

В нашем примере табл = 13.28 определяется принятым уровнем значимости (α=0,01) и числом степеней свободы, которое в данном случае равно df( = 5-1 =4, где = 5 – число интервалов (групп). Поскольку фактическое значение критерия (10,09) оказалось меньше табличного (13.28) справедливой должна быть признана нулевая гипотеза – с вероятностью ошибки в 1% распределение коров данной породы по жирности молока соответствует пропорции 1: 2 :4 :2 :1 .

Использование выборочного метода в зоотехнии определяется теми задачами, которые могут быть решены на его основе. Интервальная оценка генеральной средней и доли могут быть использованы для определения дневной продуктивности коров (контрольные дойки), для установления среднесуточных и месячных приростов скота, птицы, рыбы на откорме, если взвешивание всех экземпляров заменяется взвешиванием их выборочной совокупности. Кстати, решая эту задачу можно установить границы абсолютного показателя, то есть прироста живой массы в целом по откормочному поголовью. С этой целью достаточно среднюю выборочную и ее предельную ошибку умножить на численность генеральной совокупности (численность всего поголовья). Например, месячный прирост живой массы одной головы крупного рогатого скота по данным выборки составил 25 кг, с предельной ошибкой в 1 кг. При численности откормочного поголовья в 2000 голов общий прирост живой массы составил 2000×0,25=500ц, с предельной ошибкой 2000× 0,01 = 20ц.

Интервальная оценка генеральной средней и доли могут быть также использованы при определении общей питательности корма и содержания в нем переваримого протеина на основе выборочных проб, при установлении доли пораженных заболеванием животных.

Проверка статистических гипотез используется как основной инструмент для статистической обработки экспериментальных данных. Только опираясь на такую обработку экспериментатор имеет право рассматривать его результаты как некоторую закономерность, которая проявится при повторении эксперимента и в хозяйственных условиях. Важнейшим приемом при обработке экспериментальных данных является дисперсионный анализ, позволяющий вскрыть наличие или отсутствие различий по нескольким вариантам опыта, оценить наличие или отсутствия эффекта взаимодействия факторов положенных в основание опыта.
^ 4. Способы формирования выборочной совокупности. Особенности

расчета ошибок при различных способах формирования выборки.

Равновозможность (равновероятность) каждой единицы генеральной совокупности попасть в выборку обеспечивается, как уже говорилось ранее, различными способами отбора. Среди них следует выделить наиболее часто используемые: собственно случайный (повторный и бесповторный), механический, типический, серийный.

^ Собственно случайный отбор. При этом способе отбора каждой единице генеральной совокупности предварительно присваивается некоторая «метка» в виде числа, буквы и так далее, при этом «метка» никаким образом не должна быть связана с изучаемым признаком. Затем используя различные приемы, обеспечивающие случайность отбора (таблица случайных чисел, лототрон и тому подобное) осуществляется отбор «меток», как заменителей единиц.

Собственно случайный отбор проводится как повторный и как бесповторный.

^ При повторном отборе единицы генеральной совокупности, попавшие в выборку, после фиксации по ним значения признака, возвращаются обратно в генеральную совокупность, вследствие чего генеральная совокупность по численности остается постоянной, а, следовательно, вероятность попадания каждой единицы генеральной совокупности в выборку остается неизменной. Ранее рассмотренные алгоритмы для расчета средней и средней, предельной ошибок, необходимой численности выборки исходят именно из этого способа формирования выборочной совокупности.

^ При бесповторном отборе единица генеральной совокупности, попавшая в выборку, в генеральную совокупность не возвращается, поэтому генеральная совокупность по численности уменьшается, следовательно, каждая последующая единица генеральной совокупности имеет возрастающую вероятность попасть в выборку. При бесповторном отборе при расчете средней, а, следовательно, и предельной ошибки вводится поправка на конечность генеральной совокупности (пкс) =. При больших значениях N единицей в знаменателе можно пренебречь и поправка на конечность совокупности будет выглядеть так: (пкс ) =, следовательно, алгоритмы расчета средней и предельной ошибок выборочной средней при бесповторном отборе будут такими: ; . Множитель

< 1, вследствие чего, средняя ошибка и предельная ошибки при бесповторном отборе всегда меньше, чем при отборе повторном.

Аналогичным образом, то есть с введением поправки меняются формулы для расчета средней и предельной ошибок для доли и других оценок.

^ Механический отбор используется в том случае если единицы генеральной совокупности объективно располагаются в каком либо порядке во времени или в пространстве или же есть возможность это сделать. Важно отметить, что порядок расположения единиц не должен быть связан с изучаемым явлением. С такого рода совокупностями можно встретиться, например, при социологических обследованиях, когда изучаемую совокупность людей можно расположить в алфавитном порядке или в зависимости от номера их стационарного телефона.

Для осуществления отбора находят отношение , получившее название шага или интервала отбора. Из совокупности, предварительно упорядоченной в указанном выше порядке, через найденный шаг осуществляется отбор (формирование выборки).

При механическом отборе расчет средней и предельной ошибок осуществляется по формулам случайного бесповторного отбора, поскольку механический отбор осуществляется как бесповторный.

^ Типический отбор целесообразно использовать в том случае , если в генеральной совокупности реально выделены своеобразные группы единиц (например, партии сена с разными сроками заготовки, группы животных на откорме разного возраста) , или же такие группы можно выделить (например группы коров с разным месяцем лактации).

Установив наличие в совокупности качественно отличных частей (групп), далее определяется представительство каждой из этих частей в выборке. Представительство групп в выборке чаще всего устанавливается пропорционально их численности, то есть исходя из равенства , где - численность i-ой группы в генеральной совокупности представительство которой в выборке надо определить; - общая численность генеральной совокупности; - общая численность выборки; - искомая величина, то есть сколько единиц должно быть взято из i- ой группы в выборку. Из этого равенства следует, что .

Иногда представительство групп в выборке определяют пропорционально средним квадратическим отклонениям изучаемого признака в выделенных группах генеральной совокупности, пропорционально дисперсиям или объемам вариации.

После определения представительства производится отбор из групп, при этом используется или случайный бесповторный или механический отбор.

Поскольку типический отбор предполагает представительство в выборке всех качественно отличных групп генеральной совокупности, при расчете средней, а, соответственно, предельной ошибок учитывается колеблемость признака только внутри групп, то есть , а

.

Поскольку остаточная (средняя групповая дисперсия) составляет лишь часть общей дисперсии, типический отбор обеспечивает при прочих равных условиях минимальную по сравнению с другими способами отбора ошибку.

^ При серийном (гнездовом) отборе выборка формируется из серий (гнезд), состоящих из нескольких единиц. Например, при выборочном социологическом опросе доярок в качестве гнезда может выступать ферма, на которой в случае попадания ее в выборку, будут опрошены все доярки. Отбор гнезд производится, как правило, механически.

При расчете ошибок учитываются только межсерийные различия, следовательно, формулы для расчета средней и предельной ошибок для выборочной средней имеют вид : , а , где и соответственно средняя и предельная ошибки выборочной средней, и - число серий ( гнезд ) соответственно в выборочной и генеральной совокупностях ; межсер - межсерийная дисперсия.


Похожие:

Вопросы к рассмотрению: Понятие о выборочном методе. Условия его применения icon1. Законный режим имущества супругов (понятие, особенности, условия применения)
Изменение и расторжение брачного договора. Основания и порядок признания его недействительным
Вопросы к рассмотрению: Понятие о выборочном методе. Условия его применения iconКурсовая работа. Дисциплина: Управление персоналом. Тема: «Использование...
Сегодня же речь пойдет о методе, который по праву можно считать уникальным, а именно о кейс методе. Его уникальность заключается,...
Вопросы к рассмотрению: Понятие о выборочном методе. Условия его применения iconВопросы к экзамену по налогам и налогообложению
Формы изменения срока уплаты налога: отсрочка и рассрочка, инвестиционный налоговый кредит. (Условия и порядок их применения)
Вопросы к рассмотрению: Понятие о выборочном методе. Условия его применения icon1. Понятие, сущность и назначение уголовного процесса
Уголовный процесс строго регламентированная законом деятельность специально уполномоченных государственных органов в целях выявление...
Вопросы к рассмотрению: Понятие о выборочном методе. Условия его применения iconГражданское право вариант 1 Вопросы: Понятие, значение и сфера применения договора купли-продажи
Виды договора купли-продажи. Стороны, предмет и форма договора. Существенные условия договора. Содержание договора купли-продажи...
Вопросы к рассмотрению: Понятие о выборочном методе. Условия его применения iconКурсовая работа По дисциплине «Логистика» на тему: «Штриховые коды:...
«Штриховые коды: понятие, виды, области применения в логистике. Структура и порядок применения штрихового кода ean-13»
Вопросы к рассмотрению: Понятие о выборочном методе. Условия его применения iconТема 4 Средние величины и показатели вариации
Понятие средней величины: сущность и значение средних величин в статистических исследованиях. Виды средних величин, порядок их расчета...
Вопросы к рассмотрению: Понятие о выборочном методе. Условия его применения iconВопросы к экзамену и контрольной работе по «предпринимательскому праву»
Государственная регистрация юридических лиц. Понятие, способы, необходимые условия
Вопросы к рассмотрению: Понятие о выборочном методе. Условия его применения iconВопросы к экзамену по дисциплине «Консьюмерское право»
Договор розничной купли-продажи (понятие, стороны, существенные условия, права и обязанности сторон.)
Вопросы к рассмотрению: Понятие о выборочном методе. Условия его применения iconВопросы к экзамену по менеджменту
Понятие интрапренерства. Условия функционирования интрапренерства на предприятии
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
userdocs.ru
Главная страница