Задачи теории игр в экономике, финансах и бизнесе. Теория игр




НазваниеЗадачи теории игр в экономике, финансах и бизнесе. Теория игр
страница1/28
Дата публикации06.06.2013
Размер1.14 Mb.
ТипЗадача
userdocs.ru > Математика > Задача
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   28

  1. Задачи теории игр в экономике, финансах и бизнесе.


Теория игр – раздел современной математики, изучающий математические модели принятия решений в т.н. конфликтных ситуациях.

Математическая модельэто математическое описание компонентов и функций, отображающих существенные свойства моделируемого объекта.

Игра – упрощенная, формализованная модель конфликта. Важным отличием игры от реального конфликта является наличие жёстко определённых правил поведения.

Игроки – заинтересованные в конфликте стороны.

Стратегия – любое возможное действие игрока.

Игровая ситуация – результат выбора каждым из игроков своей стратегии.

Выигрыш – то, что обуславливает интерес игроков. (похвала, порицание, приз, штраф).

Три вида игр:

  1. Антагонистические

Страховщик и страхователь

На рынке есть страховщик и страхователь. Эта игра антагонистическая, так как выигрыш одного игрока равен проигрышу другого.

Взаимодействие этих сторон можно рассматривать, как игру, потому что есть конфликт интересов. У каждого игрока есть свои стратегии. И они нацелены на максимизацию своего выигрыша, либо минимизацию проигрыша.

  1. ^ Игры с природой

Предположим, что инвестор может купить акции одной из 3 компаний. Роль природы исполняет ситуация на фондовом рынке, которая в разные периоды складывается по-разному. Инвестору надлежит принять решение в условиях неопределенности, какой компании отдать предпочтение. На основе этих составляются матрицы выигрышей.

  1. Неантагонистические

На рынке есть две фирмы А и В, производят аналогичные товары. Они выбирают объем производимых товаров Q1 и Q2.

Если Q=0, то P=A

При этом издержки у них одинаковы = C

Цена зависит от Q: P(Q)=A-Q

Чем больше Q, тем меньше P.

Pk=(A-Q-C)*Qk

Задача этой модели, найти равновесные Q1* и Q2*, которые создают ситуацию, которая является равновесием Нэша.

Необходимо найти:

P1(Q1;Q2*) -> max

P2(Q1*;Q2) -> max


  1. Основные понятия и определения антагонистических игр.


Стратегия – любое возможное действие игрока.
Множество стратегий – все возможные стратегии игроков

Игровая ситуация – результат выбора каждым из игроков своей стратегии.

Множество игровых ситуаций – все возможные варианты игровых ситуаций. Образует ситуационное пространство игры.

Игра – упрощенная, формализованная модель конфликта. Важным отличием игры от реального конфликта является наличие жёстко определённых правил поведения.

Игроки – заинтересованные в конфликте стороны.

Платежная матрица – матрица, элементами корой являются выигрыши (проигрыши) игрока.

Антагонистическая игра – игра с нулевой суммой, в которой выигрыш одного игрока равен проигрышу другого.

FA=-FB , где F – функция выигрыша.

Платежная матрица:

Стратегии игрока A

Стратегии игрока B


















































Матрица игровых ситуаций:

Стратегии игрока A

Стратегии игрока B




















































  1. Взаимосвязь заключается в том, что при игровой ситуации (A1;B1) игроки соответственно достигают выигрышей(проигрышей) (a11;b11)3. Функция выигрыша и матрица выигрышей. Чистые стратегии игроков. Принцип доминирования стратегий. Соотношение между матрицами выигрышей игроков А и В в парной антагонистической игре с нулевой суммой.


Функция выигрыша: , k – игроки, s – ситуации.

Матрица выигрышей:

Стратегии игрока A

Стратегии игрока B

















































Чистая стратегия игрока – стратегия, которую выберет игрок с вероятностью = 1.

Доминирование - ситуация, при которой одна из стратегий некоторого игрока дает больший выигрыш, нежели другая, при любых действиях его оппонентов.

Цель принципа доминирования – уменьшить размер матрицы, путем выбрасывания из рассмотрения тех стратегий, которые являются очевидно невыгодными.
безымянный4. Максиминный и минимаксный принципы игроков. Показатели эффективности и неэффективности чистых стратегий.
Показатель эффективности: минимальный выигрыш игрока А.



Показатель неэффективности: максимальный проигрыш игрока В.



Максиминный принцип: принцип выбора эффективной стратегии, при котором максимизируется показатель эффективности.



При этом выигрыш – максимин, или нижняя цена игры.

Минимаксный принцип: принцип выбора эффективной стратегии, при котором минимизируется показатель неэффективности.



При этом проигрыш - минимакс, или верхняя цена игры. 5. Максимин и минимакс игры. Максиминные и минимаксные стратегии. Нижняя и верхняя цена игры в чистых стратегиях. Соотношение между ними.
Максиминный принцип: принцип выбора эффективной стратегии, при котором максимизируется показатель эффективности.



При этом выигрыш – максимин, или нижняя цена игры.
Минимаксный принцип: принцип выбора эффективной стратегии, при котором минимизируется показатель неэффективности.



При этом проигрыш - минимакс, или верхняя цена игры.
Соотношение для α и β

Для элементов матрицы A имеют место неравенства

, , ,

и, следовательно, нижняя цена игры не больше её верхней цены в чистых стратегиях:

.


  1. Критерий решения игры в чистых стратегиях.

Критерий решения игры в чистых стратегиях упирается в критерий существования цены игры в чистых стратегиях.

Свойство: ни одному из игроков А и В, придерживающихся одной из своих оптимальных стратегий невыгодно от нее отклоняться, поскольку в этом случае он не увеличивает свой выигрыш.

Цена игры в чистых стратегиях представляет собой значение выигрыша игрока А, которое он не может увеличить, если игрок В придерживается своей оптимальной стратегии и значение проигрыша игрока В, которое последний не может уменьшить при условии, что игрок А действует по своей оптимальной стратегии.

Теорема: для того, чтобы существовала цена игры в чистых стратегиях, т.е. для того чтобы нижняя цена игры равнялась верхней цене игры , необходимо и достаточно существование у матрицы этой игры седловой точки.

В игре без седловых точек ни у одного из игроков оптимальных стратегий нет. Т.е. задача в чистых стратегияхи меет решение, если сущ. седловая точка.


  1. Доказательство утверждения .

Теорема. Для элементов матрицы имеют неравенства и след-ноб нижняя цена игры не больше ее верхней цены в чистых стратегиях:

Д-во. По определению показателей эффективности стратегий Ai и определению показателей неэффективности стратегий Bj игрока В имеем

, cлед-но доказано

так как доказанное неравенство справедливо для любых i=1,..,m, j=1,..n, то оно будет справедливым в частности для номеров i=i0 и j=j0 соответственно максиминной и минимаксной стратегией Ai0 и Bj0:

Тогда в силу получим требуемое неравенство


  1. Теорема об удовлетворительности игровой ситуации для игрока A.

Т. Ситуация (Ai0, Bjo) будет удовлетворительна для игрока А Тогда и только тогда, когда его выигрыш совпадет с показателем неэффективности стратегии Bjo игрока В: , то есть будет максимальной в j-ом столбце матрицы игры

Д-во: Пусть ситауция (Ai0, Bjo) удовлетворительна для игрока А. Тогда по определению справедливо нер-во .Из этого неравенства и по определению (1) показателя неэффективности стратегии Bj0 следует, что , то есть нер-во доказано. Тогда применяя (1) при j=j0 получим , то есть доказано


  1. Теорема об удовлетворительности игровой ситуации для игрока B

Т. Ситуация (Ai0, Bjo) будет удовлетворительна для игрока В Тогда и только тогда, когда его проигрыш совпадет с показателем эффективности стратегии Aio игрока A: , то есть будет минимален в i-ой строке матрицы игры

Д-во: Если ситауция (Ai0, Bjo) удовлетворительна для игрока В, то из нер-ва и равенства при i=i0 получим и рав-во доказано

Если же это справедливо то по при i=i0 будем иметь то есть доказано неравенство


  1. Равновесие в антагонистической игре.

Ситуация (Ai0, Bjo) называется равновесной , если она удовлетворительна для каждого из игроков А и В то есть если выполняются неравенства и : (1) или равенства и : (2)

Таким образов двойное нер-во (1) и двойное равенство (2) эквивалентны

  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   28

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Задачи теории игр в экономике, финансах и бизнесе. Теория игр iconЗадачи теории игр в экономике, финансах и бизнесе. Теория игр
Теория игр – раздел современной математики, изучающий математические модели принятия решений в т н конфликтных ситуациях

Задачи теории игр в экономике, финансах и бизнесе. Теория игр iconЗадачи теории игр в экономике, финансах и бизнесе. Теория игр
Теория игр – раздел современной математики, изучающий математические модели принятия решений в т н конфликтных ситуациях

Задачи теории игр в экономике, финансах и бизнесе. Теория игр iconТема реферата: История параолимпийских игр
«Paralympics», были игры 1964 года. Тем не менее, в ряде игр вплоть до Игр 1980 года, использовался термин «Олимпийские игры для...

Задачи теории игр в экономике, финансах и бизнесе. Теория игр iconЛекция №13. «Особенности регулирования градостроительных и земельных...
Особенности осуществления градостроительной деятельности в целях организации Олимпийских и Паралимпийских игр

Задачи теории игр в экономике, финансах и бизнесе. Теория игр iconСколько игр вы знаете?
Охватывает все разнообразие игр, необходимых в работе вожатого, воспитателя, руководителя клуба

Задачи теории игр в экономике, финансах и бизнесе. Теория игр iconО проведении 8-го сезона игр квн 2012-2013
Организатором сезона игр Школьной Лиги квн санкт-Петербурга (далее по тексту сезон игр квн) среди учащихся образовательных учреждений...

Задачи теории игр в экономике, финансах и бизнесе. Теория игр iconБольшая (и лучшая) часть книги переведена
Он является консультантом для покерных игроков мирового уровня и множества игорных заведений, его советы относительно игр в казино...

Задачи теории игр в экономике, финансах и бизнесе. Теория игр iconКонкурс виртуальных литературных игр : создание игр по типу телевизионной передачи «Своя игра»
Конкурс виртуальных литературных игр: создание игр по типу телевизионной передачи «Своя игра»

Задачи теории игр в экономике, финансах и бизнесе. Теория игр iconРазведческие игры и состязания
Нельзя забывать о том, что инициатива и творчество у ребят лучше всего развиваются во время игр. Скаутские игры полезны, ибо они...

Задачи теории игр в экономике, финансах и бизнесе. Теория игр iconКнига содержит описание игр, являющихся своеобразной «умственной гимнастикой»
Автор книги, известный многим читателям по выступлениям в печати о воспитании детей, рассказывает об опыте применения и использования...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
userdocs.ru
Главная страница