§ линии второго порядка на плоскости


Скачать 236.51 Kb.
Название§ линии второго порядка на плоскости
страница1/3
Дата публикации28.06.2013
Размер236.51 Kb.
ТипЛекция
userdocs.ru > Математика > Лекция
  1   2   3
Лекция №

§ 7. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ.

Общее уравнение линии 2 – го порядка на плоскости имеет вид:

(1)

Для анализа этого уравнения нам понадобится понятие преобразования координат на плоскости.

1. Параллельный перенос: пусть - старые координаты, а - новые координаты, полученные переносом начала координат из точки в точку .







Для произвольной точки получим

(2) и (3)

(2) - это формулы перехода от старых координат к новым, (3) - формулы обратного перехода. Параллельный позволяет убрать в уравнении (1) линейные слагаемые (т.е. слагаемые ).

2. Поворот осей координат на угол .















Из построения видно, что



^ Таким образом, получены формулы перехода от старых координат к новым:

(4)

Аналогичным образом можно получить формулы обратного перехода от новых координат к старым при повороте системы координат:

(5)

^ С помощью поворота системы координат избавляются от произведения в уравнении (1).

После преобразования уравнения (1) с помощью переноса и поворота системы координат, можем получить следующие уравнения: , или

Рассмотрим сначала уравнение :

1. Если , то имеем уравнение эллиптического типа, причём, в случае , уравнение определяет эллипс (или окружность при ; если же , то уравнение определяет мнимый эллипс ( или мнимую окружность); если , то данное определение задаёт точку.

2. Если , то имеем уравнение гиперболического типа, при этом, если , уравнение определяет гиперболу, если - сопряжённую гиперболу, если , то уравнение определяет две пересекающиеся прямые.

Уравнения вида параболического типа. Определяют либо параболы, направленные или по оси , или по оси , либо две параллелельные прямые (если , то прямые параллельны оси ; если - то прямые параллельны оси ).



Рассмотрим теперь основные линии 2 – го порядка.

  1. Окружность - это геометрическое место точек равноудалённых от данной точки, называемой её центром. Не имеет смысла подробно останавливаться на рассмотрении этой линии, так как её уравнения хорошо известны из школьного курса математики: - окружность с центром в начале координат, или смещённая окружность с центром в точке : .

  2. Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух заданных точек, называемых фокусами, величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

^ Введём систему координат следующим образом: пусть ось проходит через фокусы данной линии, а ось делит отрезок пополам и перпендикулярна оси .






фокусы, расстояние между ними , Тогда, по определению, Запишем данное равенство, используя формулу расстояния между точками:





^ Правую и левую часть равенства возведём в квадрат и раскроем скобки:

После преобразования имеем Возводя полученное равенство в квадрат, получаем:

или .

По определению, . Тогда существует единственное число , такое что . Получаем: . Окончательно, равенство:

(6)

определяет каноническое уравнение эллипса.

Ввиду того, что переменные входят в уравнение во второй степени, эта линия симметрична относительно осей ко- ординат. Следовательно, достаточно построить график в первой
четверти () и симметрично отобразить его в другие координатные плоскости. Очевидно, что , . Построим линию:










Величины и называются большой и малой полуосями эллипса, при этом расстояние от начала координат до фокусов равно . Величина называется эксцентриситетом и характеризует вытянутость эллипса. Для эллипса . В случае , эллипс превращается в окружность.

Может оказаться, что , и тогда большая полуось - это ^ . В этом случа, , эксцентриситет и, так как фокусы всегда находятся на больших полуосях, то они имеют следующие координаты: . Получаем следующий рисунок.









х



Оптическое свойство эллипса. Если источник света помещён в один из фокусов эллипса, то отражённый луч попадает в другой фокус.
Рассмотрим пример. привести уравнение линии к каноническому виду и построить эту линию: .

Сгруппируем переменные и выделим полные квадраты:



^ Получили каноническое уравнение эллипса в смещённой системе координат , начало отсчёта которой имеет координаты: : . Полуоси этого эллипса: .

Тогда её эксцентриситет . Построим линию.


3
O 2 x
-6 6
-3

3. Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых модуль разности расстояний до двух точек, называемых фокусами, величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.






По определению, . Тогда





Возведём это равенство в квадрат:



Раскроем скобки и изолируем корень:



Возведём в квадрат полученное равенство и раскроем скобки:



. Но, по определению гиперболы, и получается:

. Разделив это равенство на правую часть, получаем каноническое уравнение гиперболы:

. (7)

Ввиду того, что переменные входят в уравнение во второй степени, эта линия симметрична относительно осей ко- ординат и относительно начала координат. Следовательно, достаточно построить график в первой чет- верти () и симметрично отобразить его в другие координатные плоскости. Из данного уравнения видим, что оно имеет смысл только в случае, если . возрастает по мере увеличения и причём график линии по мере увеличения приближается к прямой , не пересекая эту прямую. Эта прямая является асимптотой данной линии.
Ввиду симметрии, гипербола имеет две асимптоты: . Построим гиперболу:

Построим гиперболу:











Асимптоты гиперболы - это прямые, проходящие через диагонали основного прямоугольника со сторонами, равными и , соответственно.

В уравнении (7), называется действительной полуосью гиперболы, - мнимой полуосью. В результате преобразований уравнения второго порядка мы можем получить также уравнение следующего вида:

(8)

Оно задаёт уравнение сопряжённой гиперболы, которая выглядит следующим образом:















Для сопряжённой гиперболы - мнимая полуось, - действительная полуось. Сопряжённая гипербола имеет те же асимптоты . Как для случая гиперболы, так и для случая сопряжённой гиперболы, полуфокусное расстояние равно :

. Для случая гиперболы, фокусы имеют координаты: , для случая сопряжённой гиперболы:

, т.е. всегда находятся на действительной оси. Эксцентриситет гиперболы равен , а сопряжённой гиперболы - , но в обоих случаях .

Эксцентриситет гиперболы (сопряжённой гиперболы определяет форму основного прямоугольника.
Рассмотрим пример. Привести уравнение к каноническому виду и построить линию:



Сгруппируем переменные и выделим полные квадраты:



Разделим полученное равенство на 36:



Получили уравнение гиперболы с центром симметрии, смещённым в точку . Для данной гиперболы , . Эксцентриситет гиперболы равен . Её асимптоты имеют уравнения

Построим эту линию










-1



-2

-2


Для эллипса и гиперболы, заданных соответствующими каноническими уравнениями:



можно задать уравнения прямых, которые называются директрисами, с помощью уравнений (для случая эллипса с большей полуосью и для случая сопряжённой гиперболы уравнения директрис имеют вид: ).

В случае эллипса:








Для гиперболы:










Основное свойство директрис : если - расстояние до ближайшего фокуса, а - расстояние до соответствующей директрисы , то .
Таким образом, с помощью основного свойства директрис, эллипс и гиперболу можно определить, как множества точек, для которых отношение расстояний до фокуса и до соответствующей директрисы - величина постоянная, равная эксцентриситету , причём для эллипса , а для гиперболы . В случае получаем ещё одну линию - параболу.
4. Парабола. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой фокусом и данной прямой, называемой директрисой.

Введём на плоскости систему координат: ось проходит через фокус перпендикулярно директрисе. Ось перпендикулярна оси и проходит на одинаковом расстоянии между от фокуса и директрисы. Пусть расстояние от фокуса до директрисы равно







По определению параболы, расстояние от фокуса до точки равно длине отрезка . Тогда . Возведём в квадрат это равенство: . Таким образом, полу- чаем каноническое уравнение параболы:

(9)

Построим эту линию. Она симметрична относительно оси (так как входит в уравнение в чётной степени).











Точка является вершиной параболы, ось - ось её сим- метрии. Кроме параболы , можем рассмотреть ещё параболы и , которые вы – глядят, соответственно, следующим образом:






Рассмотрим пример. Привести к каноническому виду уравнение следующей линии и построить её:



Преобразуем это уравнение:



Вершина параболы находится в точке . . Построим эту линию.




.







Оптическое свойство параболы: Если источник света рас -положен в фокусе параболы, то отражённый луч распространяется по прямой




  1   2   3

Похожие:

§ линии второго порядка на плоскости iconВопросы к экзамену по «Высшей математике» для студентов специальности
Определители второго и третьего порядка, вычисление определителей второго и третьего порядка
§ линии второго порядка на плоскости iconЛабораторная работа №5 исследование переходных процессов в rlc-цепях
С, то такая цепь описывается дифференцированным уравнением второго порядка. Простейшим примером такой цепи является последовательный...
§ линии второго порядка на плоскости iconТак как, где. Таким образом, получаем следующую формулу для нахождения...
Тогда на множестве определена также функция (), которая тоже может быть дифференцируемой на множестве, т е., и на множестве можно...
§ линии второго порядка на плоскости iconОкружность радиуса с центром в начале координат
Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости в декартовой системе координат называется уравнение, где функция двух переменных...
§ линии второго порядка на плоскости icon1. Изобразите графически зависимость концентрации участников реакции от времени: 2
Примите, что кон­центрация Cl мала и постоянна б При концентрации реакция становится реакцией второго порядка по. Измените приведен­ный...
§ линии второго порядка на плоскости iconОпределитель второго порядка равен
Если какуюлибо строку определителя -го порядка умножить на число, то значение определителя
§ линии второго порядка на плоскости iconОпределитель второго порядка равен
Если какуюлибо строку определителя -го порядка умножить на число, то значение определителя
§ линии второго порядка на плоскости icon4. 5 Продолжаем мучения
Расположите на плоскости 6 точек и соедините их непересекающимися линиями так, чтобы из каждой точки выходили 4 линии
§ линии второго порядка на плоскости iconЛабораторная работа №1
Экспериментальное исследование входного сопротивления и резонансных явлений в цепях второго порядка на основе последовательного колебательного...
§ линии второго порядка на плоскости iconФгбоу впо брянский государственный технический университет
Численные методы безусловной оптимизации второго порядка, варианты алгоритмов метода Ньютона 32
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
userdocs.ru
Главная страница