Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки


Скачать 74.67 Kb.
НазваниеПусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки
Дата публикации28.06.2013
Размер74.67 Kb.
ТипДокументы
userdocs.ru > Математика > Документы
§ 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ.


    1. Основные определения.


Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки .

О п р е д е л е н и е 1. Функция называется непрерывной в точке , если предел функции и её значение в этой точке совпадают, т .е. . (1)

Так как , то соотношение (1) можно записать в виде , т.е. для непрерывной функции можно переставлять знак функции и знак предела.

О п р е д е л е н и е 2. Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности значений аргумента , сходящейся к точке , соответствующая последовательность значений функции в этих точках сходится к .

О п р е д е л е н и е 3. Функция называется непрерывной в точке , если для любого существует , такое что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

ЗАМЕЧАНИЕ. Если , то функцию называют непрерывной в точке справа ( слева). Если функция непрерывна в точке справа и слева, то она непрерывна в этой точке.

Так как условия и равносильны, то неравенство (1) можем переписать в виде

. (2)

Разность называется приращением аргумента в точке , а разность называется приращением функции в точке . Тогда равенство (2) в новых обозначениях принимает вид

, (3)

Соотношение (3) является ещё одним определением непрерывности функции:

О п р е д е л е н и е 4. Функция называется непрерывной в точке , если её приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при , другими словами бесконечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое приращение функции.

Арифметические действия с непрерывными функциями.

Если функции и непрерывны в точке , то функции также непрерывны в точке .

О п р е д е л е н и е 5. Функция непрерывна на отрезке , если она непрерывная в каждой точке этого отрезка.

ЗАМЕЧАНИЕ. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения.


    1. Классификация точек разрыва.


О п р е д е л е н и е 1. Точка называется точкой разрыва функции если в этой точке нарушается её непрерывность.

В соответствии с определениями предыдущего пункта, функция будет непрерывной в точке если в этой точке выполняются все равенства

(4)

В зависимости от того, какое из этих равенств не выполняется, получаем различные типы точек разрыва.


  1. Устранимый разрыв.

Если . Этот разрыв можно устранить, доопределив функцию, положив . Например, имеет разрыв в точке , которая не входит в область определения. Но если преобразуем это выражение, то получим

,

т.е. график этой функции - это прямая; точке отвечает выколотая точка на графике. Разрыв можно устранить, поло - жив .

2. Разрыв 1-го рода.

Если , но оба эти предела конечны, то говорят, что в точке функция имеет разрыв

1-го рода (или «конечный скачок»). Рассмотрим на примерах:

1)

. Они не совпадают, но оба конечны. Следовательно, в точке функция имеет разрыв 1-го рода. На графике это выглядит таким образом:

y

1
-1 х
3. Разрыв 2-го рода.
Если хотя бы один из пределов равен бесконечности, то говорят, что в точке функция имеет разрыв 2-го рода. Например, . Точка не входит в область определения (точка возможного разрыва). Найдём в этой точке односторонние пределы:



И ещё оценим поведение функции на бесконечности:



Построим схематический рисунок

У

2
1

х


О п р е д е л е н и е 2. Функция называется кусочно – непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех внутренних точках отрезка , за исключением, может быть конечного числа точек разрыва 1-го рода и кроме того имеет односторонние пределы на концах отрезка. Функция называется кусочно-непрерывной на числовой прямой, если она кусочно-непрерывна на любом отрезке.

Например, рассмотрим функцию



Она задана с помощью трёх функций, каждая из которых непрерывна на своём участке числовой прямой. Разрывы возможны только в точках, где функция меняет своё выражение, т.е. в точках и Найдём односторонние пределы в этих точках



Пределы не совпадают, следовательно, в точке функция имеет разрыв 1-го рода.



Односторонние пределы совпадают. Это означает, что - точка непрерывности функции. Согласно определению, эта функция кусочно-непрерывна на числовой прямой
2

У

1
0 1 3 х

Другим примером кусочно-непрерывной на всей числовой прямой функции может служить функция (целая часть х), график которой приведён на рис. 4


Основные свойство непрерывных функций.
Сформулируем их в виде теорем, доказывать которые не будем.

^ 1 ТЕОРЕМА 1 (об устойчивости знака непрерывной функции) Пусть функция непрерывна в точке , причём . Тогда существует - окрестность этой точки такая, что для всех функция имеет тот же знак, что и .

Посмотрим, как это выглядит на рисунке
Y



x



  1. Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение.

ТЕОРЕМА 2 (1-я теорема Больцано – Коши). Пусть функция

непрерывна на отрезке и на концах

отрезка принимает значения разных знаков. Тогда

существует хотя бы одна точка , в которой

y

f(b)

a b x

0

f(a)

Теорема имеет простой геометрический смысл: непрерывная кривая при переходе из одной полуплоскости, границей которой является ось , в другую пересекает эту ось.

ТЕОРЕМА 3 (2-я теорема Больцано – Коши) Пусть функция

непрерывна на отрезке , причём

. Пусть далее, - любое

число между и . Тогда существует точка ,

такая что

Другими словами, непрерывная функция при переходе от одного значения к другому принимает и все промежуточные значения.

СЛЕДСТВИЕ. Если функция определена на некотором промежутке , то множество её значений представляет аналогичный промежуток (т.е. интервал переходит в интервал, отрезок в отрезок и т.п.)

3.. Ограниченность непрерывной функции на отрезке.

Напомним, что функция называется ограниченной на отрезке , если существует число такое, что для всех выполняется неравенство или , т.е. график функции не выходит из полосы, ограниченной прямыми и

ТЕОРЕМА 4. (1-я теорема Вейерштрасса) Если функция

определена и непрерывна на отрезке

, то она ограничена этом отрезке.
В §1 были введены понятия точной верхней грани и точной нижней грани () множества . В соответствии с этим, точной верхней гранью функции называется точная верхняя грань множества её значений и обозначается . Аналогично определяется точная нижняя грань функции - . В том случае, если точные грани функции являются значениями функции, то говорят, что функция достигает своих точных граней.

ТЕОРЕМА 5 (2-я теорема Вейерштрасса). Если функция

непрерывна на отрезке , то она

достигает на этом отрезке своих точных

верхней и нижней граней, т. е. существуют

точки , такие что

.

Замечание 1 Так как непрерывная функция достигает на отрезке своих точных верхней - и нижней -

Граней, то можно назвать точную верхнюю грань - максимальным значением, а точную нижнюю грань - минимальным значением функции . Поэтому теорему 5 можно переформулировать следующим образом : непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке максимальное и минимальное значение.

Разность между максимальным и минимальным значением непрерывной функции на отрезке называется колебанием непрерывной функции на этом отрезке и обозначается , где .





Похожие:

Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки icon5 Пусть функция f(Х) определена и непрерывна на отрезке
Теорема Пусть функция f(Х) определена и непрерывна на отрезке [a, b] и в каждой точке [a, b] существует f '(Х). Тогда, для того,...
Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки iconОсновные свойство непрерывных функций
Теорема 1 (об устойчивости знака непрерывной функции) Пусть функция непрерывна в точке, причём. Тогда существует окрестность этой...
Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки icon1 Необходимое и достаточное условие экстремума
...
Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки icon15. Дайте определение предела функции в точке. Найдите, исходя из определения,   Определение
Определение: Пусть ф-я определена в некоторой проколотой окрестности точки . Пределом ф-и y = f(X) в точке  (или при ) называют...
Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки iconПрименение дифференциального исчисления к исследованию функций
Теорема 1 (теорема Ферма). Пусть функция определена на интервале и в некоторой точке этого интервала имеет наибольшее или наименьшее...
Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки icon1. Строение и функции кожи
К основным функциям кожи относятся: защитная функция термо-регулирующая функция, обменная функция, рецеп-торная функция, участие...
Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки icon1) Пусть при ( некоторый промежуток) выполнены два условия: 1)
Следовательно, на определена сложная функция, непрерывная на. Так определённая функция, заданная системой (1) называется параметрически...
Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки iconОчевидно, какова бы ни была окрестность точки, всегда существует...
Очевидно, какова бы ни была окрестность точки, всегда существует -окрестность
Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки iconСистема Птолемея
О и не из центра Земли Т, а с некоторой «выравнивающей точки» Е, названной позже эквантом(рис )
Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки icon? Функция философии, заключающаяся в оценке вещей, явлений окружающего...
Функция философии, заключающаяся в оценке вещей, явлений окружающего мира, с точки зрения различных ценностей – морально-нравственных,...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
userdocs.ru
Главная страница