Вопрос №5. 1: Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Вычисление производных основных элементарных функций. Уравнения касательной и нормали к графику функции. Производной функции y = f (Х)


Скачать 105.37 Kb.
НазваниеВопрос №5. 1: Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Вычисление производных основных элементарных функций. Уравнения касательной и нормали к графику функции. Производной функции y = f (Х)
Дата публикации17.03.2013
Размер105.37 Kb.
ТипДокументы
userdocs.ru > Математика > Документы
Вопрос №5.1: Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Вычисление производных основных элементарных функций. Уравнения касательной и нормали к графику функции.
Производной функции y = f (х) в точке x0 называется предел отношения приращения функции Δy = f (x0 + Δx) – f (x0) к приращению аргумента Δx при произвольном стремлении Δx к нулю, если такой предел существует.

Геометрический
Касательная к функции в точке....
Условие возрастания функции: f ' (x) > 0. 
Условие убывания функции: f ' (x) < 0. 
Точка перегиба (необходимое условие): f '' (x0) = 0. Выпуклость вверх: f '' (x) <0 
Выпуклость вниз: f '' (x) >0

Уравнение нормали: у=f(x0)-(1/f `(x0))(x-x0)
Механический
скорость это производная по расстоянию, ускорение производная по скорости и вторая производна по расстоянию...
Уравнение касательной к графику функции f в точке x0
y=f(x0)+f `(x0)(x-x0)

Уравнение касательной 

записывается в виде: y−f(x0)=f/(x0)(x−x0) , или
y=f/(x0)·x+f(x0)−f/(x0)·x0. 


Вопрос № 5.2: Производная обратной и сложной функции. Производные обратных тригонометрических функций. Производная суммы, произведения и частного двух функций. Односторонние и бесконечные производные

^ Производная сложной функции: Пусть , функция дифференцируема в точке t0, функция дифференцируема в точке х0, причем . Тогда - функция независимого переменного t, дифференцируема в точке и ее производная в этой точке вычисляется по формуле .

f – внешняя функция, х – внутренняя. При вычислении производной сложной функции сначала дифференцируют внешнюю функцию, а затем умножают на производную внутренней.

^ Производная обратной функции: Пусть функция дифференцируема и монотонна на (a,b). Пусть также в точке производная . Тогда в точке определена дифференцируемая функция , которую называют обратной к , а ее производная вычисляется по формуле

c:\users\михаил\desktop\a8db7d2e9166ee30f635237d65362a0b.pngc:\users\михаил\desktop\3fafa0556bfdbc2c9192885e3b3d0f24.pngc:\users\михаил\desktop\9cab73bc91dd7c54e6dd38e39446d2a5.png
c:\users\михаил\desktop\09924a78f9b1863b277c09719ba3b336.png

Формула производной произведения читается следующим образом: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой функции на производную другой функции:

u'(x)·v'(x)=u'(x)·v(x)+u(x)·v'(x)

Формула производная частного, формула производной отношения двух функций записывается следующим образом:



Формула производной суммы: производная суммы функций равна сумме их производных

(u(x)+v(x))

1.Правосторонней пр. f(x) в т. x0 называется limx->x0+0(f(x)-f(x0))\(x-x0)=f+’(x0)

2.Левосторонней пр. f(x) в т. x0 называется limx->x0-0(f(x)-f(x0))\(x-x0)=f-’(x0). 3.Если f ’(x0) или f+’(x0) или f-’(x0) равны +∞ или -∞, то производная f(x) в т. x0 называется бесконечной производной.

^ Вопрос №5.3: Дифференцируемость функции. Дифференциал функции, его геометрический смысл и правила нахождения. Применение дифференциала для приближенных вычислений.

^ Дифференцируемость функций. Определение: Если функция y = f(x) имеет производную в точке x = x0, то функция дифференцируема в этой точке.

Дифференциалом функции c:\users\михаил\desktop\img1.png (обозначается через c:\users\михаил\desktop\img2.png) называется следующее выражение: c:\users\михаил\desktop\img3.png

3. Первый дифференциал от функции определяется одной и той же формулой не зависимо от того, является ли ее аргумент зависимым или нет. Это свойство называют свойством инвариантности дифференциала.

4. Выясним, каков геометрический смысл дифференциала. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M(x,y) (рис 21.).

^ Продолжение дифференциала 1

Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке M, которая образует угол  с положительным направлением оси OX, то есть f'(x) = tg . Из прямоугольного треугольника MKN:

KN = MNtg xtg  = f'(x) x,

то есть dy = KN.Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда x получает приращение  x.

c:\users\михаил\desktop\ris21.gif

^ Продолжение дифференциала 2

Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0'= f '(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.Как мы уже выяснили приращение функции Δy можно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую.

Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dy или Δy»f'(x0)·Δx.

Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)f'(x0)·Δx.

Откуда

f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·Δx

Вопрос №5.4 Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть функции x = (t) и y = ψ(t) определены на некотором отрезке [αβ]. Переменную t будем называть параметром.

Если x = (t) взаимно однозначна на отрезке [αβ], то она имеет обратную функцию t(x) =  − 1 (x). Подставляя ее в равенство y = ψ(t), видим, что переменная y является сложной функцией переменной x:

y   =   ψ( − 1 (x) )   ≡   f(x) .

  В этом случае говорят, что функция y = f(xзадана параметрически уравнениями



 где t  [α, β].

Производная первого порядка функции, заданной параметрически

Теорема 1. Пусть функция y = f(x) задана параметрически уравнениями (1), причем функции (t) и ψ(t) дифференцируемы в некоторой точке t0  (αβ), и  '(t0) ≠ 0.

Тогда функция y = f(x) дифференцируема в точке x0 = (t0), причем

  t(x)=(t)/ ψ(t) t=t0

Доказательство.

В условиях теоремы функция (t) имеет дифференцируемую обратную функцию t(x) =  − 1 (x), производная которой в точке x0 = (t0) определяется формулой: t’(x)= ’ (t(x))

Дифференцируя f(x) = ψ(t(x)) в точке x0 = (t0) как сложную функцию x, при t = t0 

функции, заданной параметрически

Если функции (t) и ψ(t) дважды дифференцируемы в некоторой точке t0  (αβ) и  '(t0) ≠ 0, то

 f ''(x0)= ψ ''(t) ·  '(t) − ψ '(t) ·  ''(t)/ [ '(t)]3 t = t0
Вопрос №5.5 Производные и дифференциалы высших порядков Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производнойфункции f и обозначается f". Таким образом,f"(x) = (f'(x))'.Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f(n). Итак,

f(n)(x) = (f(n-1)(x))',   n ϵ N,   f(0)(x) = f(x).

Похожие:

Вопрос №5. 1: Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Вычисление производных основных элементарных функций. Уравнения касательной и нормали к графику функции. Производной функции y = f (Х) iconПрямая параллельна касательной к графику функции
На рисунке изображен график функции, определенной на интервале. Определите количество целых точек, в которых производная функции...
Вопрос №5. 1: Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Вычисление производных основных элементарных функций. Уравнения касательной и нормали к графику функции. Производной функции y = f (Х) iconПервая и вторая теоремы Больцано-Коши
Определение производной. Ее механический и геометрический смысл Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
Вопрос №5. 1: Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Вычисление производных основных элементарных функций. Уравнения касательной и нормали к графику функции. Производной функции y = f (Х) iconПроизводная
Прямая параллельна касательной к графику функции. Найдите абсциссу точки касания
Вопрос №5. 1: Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Вычисление производных основных элементарных функций. Уравнения касательной и нормали к графику функции. Производной функции y = f (Х) iconВопросы к экзамену по курсу «Математический анализ» Предел функции....
Понятие производной, ее геометрический и экономический смысл. Правила дифференцирования. Таблица производных
Вопрос №5. 1: Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Вычисление производных основных элементарных функций. Уравнения касательной и нормали к графику функции. Производной функции y = f (Х) iconТема Тип урока и форма проведения
Знать опр-ие функции, область определения, область значения. Четные и нечетные функции, графики функций. Уметь находить E(f); D(f)...
Вопрос №5. 1: Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Вычисление производных основных элементарных функций. Уравнения касательной и нормали к графику функции. Производной функции y = f (Х) iconФормулы Маклорена для основных элементарных функций
Если функции и имеют производные порядка, то функции (-постоянные) и также имеют производные порядка, причем
Вопрос №5. 1: Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Вычисление производных основных элементарных функций. Уравнения касательной и нормали к графику функции. Производной функции y = f (Х) iconНа рисунке изображен график функции, определенной на интервале. Определите...

Вопрос №5. 1: Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Вычисление производных основных элементарных функций. Уравнения касательной и нормали к графику функции. Производной функции y = f (Х) iconВопросы к зачетУ по медицинской и биологической физике для студентов...
Производная функции. Её физический и геометри­ческий смысл. Описание скорости протекания биологических процессов с помощью производной....
Вопрос №5. 1: Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Вычисление производных основных элементарных функций. Уравнения касательной и нормали к графику функции. Производной функции y = f (Х) iconИсследование уравнения регрессии: неадекватность модели и «чистая»
Функции n-переменных; разложение в ряд Тейлора. Виды экстремумов: локальный и глобальный экстремумы, критические и седловые точки....
Вопрос №5. 1: Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Вычисление производных основных элементарных функций. Уравнения касательной и нормали к графику функции. Производной функции y = f (Х) iconВопросы к экзамену по математическому анализу для студентов 1 курса...
Задачи, приводящие к понятию производной. Касательная к кривой. Касательная к графику функции
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
userdocs.ru
Главная страница