Методические указания и контрольные задания для самостоятельной работы студентов экономических специальностей всех форм обучения


НазваниеМетодические указания и контрольные задания для самостоятельной работы студентов экономических специальностей всех форм обучения
страница5/15
Дата публикации22.03.2013
Размер1.76 Mb.
ТипМетодические указания
userdocs.ru > Математика > Методические указания
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15
^

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ



Геометрическое определение вероятности появилось благодаря попытке отказаться от конечности m и n.

Пусть на плоскости имеется некоторая область G и в ней содержится другая область g. Требуется найти вероятность того, что точка, взятая наудачу в области G, попадет в область g.

При этом выражению «точка, взятая наудачу в области ^ G», придается следующий смысл: эта точка может попасть в любую точку области G.

Вероятность попадания точки в какую-либо область G пропорциональна мере (mes) этой части (длине, площади, объему и т.д.) и не зависит от ее расположения и формы:

;

(геометрическое определение вероятности).
Пример. Круглый диск радиуса R разбит на два сектора. Длина дуги одного из них (заштрихованного) равна радиусу R. По быстро вращающемуся диску произведен выстрел. Найти вероятность попадания в этот сектор.

Решение.

Событие А – попадание в сектор.

В данном случае, в качестве меры выступает площадь;

, где – площадь круга; – площадь сектора.

;

площадь кругового сектора, соответствующего центральному углу в радиан: ;

длина дуги, соответствующей центральному углу в радиан: ;

По условию: рад.

, откуда

.
Пример. (задача о встрече). Два студента А и В условились встретиться в определенном месте во время перерыва, между 13 ч. и 13 ч. 50 мин. Пришедший первым ждет другого в течение 10 мин., после чего уходит. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанных 50 мин. может произойти наудачу и моменты прихода неизвестны.

Решение. Обозначим момент прихода студента А через x, а студента В через y.

Для того чтобы они встретились, необходимо и достаточно, чтобы .

Изобразим x и y как декартовы координаты на плоскости, а в качестве масштаба выберем 1 минуту.

Всевозможные исходы изобразятся точками квадрата со стороной 50:

;

Исходы, благоприятствующие встрече, – точками заштрихованной области.

;

Откуда

.

  1. ^

    ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ



Формулы комбинаторики составляют теоретическую базу при использовании классического определения вероятности, которое в прикладных задачах играет большую роль.

В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций:

  • Перестановки;

  • Размещения;

  • Сочетания;


I. Перестановки

Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называют перестановками.

Обозначаются символом ;

;

, ( – эн факториал), при этом .

Из можно выделить , если .

Например,

Пример. В соревновании участвовало 4 команды, сколько существует вариантов распределить места между ними.

Решение. Количество вариантов распределения четырех команд по местам – равно числу перестановок из четырех элементов: .


  • Пример. В ящике пять одинаковых пронумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики из ящика. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

Решение. Обозначим событие, состоящее в том, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

Благоприятствует событию только один исход, (из всех возможных комбинаций номеров только одна с порядком возрастания номеров).

Общее число возможных исходов – количество комбинаций из номеров, .

Искомая вероятность: .
^ II. Размещения

Комбинации из n элементов по k элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами, или порядком элементов, называют размещениями.

Обозначаются символом

– количество всех имеющихся элементов;

– количество элементов в каждой комбинации, ;

.


  • Пример. Сколько существует вариантов размещения призовых мест, если в розыгрыше участвуют 7 команд?

Решение. Необходимо просчитать число возможных комбинаций, извлеченных из 7 элементов и включающих по 3 элемента (причем {I–«Таврия», II–«Динамо», III–«Спартак»} и {I–«Динамо», II–«Таврия», III–«Спартак»} – различные комбинации). Используем число размещений из 7 элементов по 3:

.
Пример. Из пяти карточек с буквами О, П, Р, С, Т наугад одну за другой выбирают три и располагают в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово «ТОР»?

Решение. Обозначим событие, состоящее в том, что получится слово «ТОР».

Благоприятствует событию только один исход, (комбинация букв «ТОР»).

Общее число возможных исходов – равно числу способов, которыми можно отобрать 3 карточки из имеющихся 5, получая при этом комбинации букв, отличающиеся либо самими буквами (СОР – ТОР), либо их порядком (РОТ – ОРТ). Оно определяется числом размещений из 5 элементов по 3:

.

Искомая вероятность:

.
^ III. Сочетания

Сочетаниями называют все возможные комбинации из n элементов по k элементов, которые отличаются друг от друга, по крайней мере, хотя бы одним элементом.

Обозначаются символом

– количество всех имеющихся элементов;

– количество элементов в каждой комбинации, ;

.

Свойства сочетаний

  1. ;

  2. ;

  3. .




  • Пример. Сколькими способами можно выбрать 3 студентов из группы численностью 30 человек.

Решение. Необходимо просчитать число возможных комбинаций, извлеченных из 30 элементов и включающих по 3 элемента (причем комбинации: {Пархоменко, Мурейко, Божок} и {Мурейко, Божок, Пархоменко} – одинаковые комбинации). Используем число размещений из 30 элементов по 3:

.
Пример. В урне 5 белых и 4 красных шара. Из урны наудачу извлекают 3 шара. Найти вероятность того, что извлеченные шары – белые.

Решение. Обозначим событие, состоящее в том, что все 3 шара будут белыми.

Всего в урне шаров.

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 3 шара из 9:

.

Число исходов, благоприятствующих событию , равно числу способов, которыми можно отобрать 3 белых шара из имеющихся 5 белых:

.

Искомая вероятность равна:

.
Пример. В ящике имеется 11 одинаковых шаров. Причем 4 из них окрашены в синий цвет, а остальные белые. Наудачу извлекают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них 2 синих.

Решение. Обозначим событие, состоящее в том, что среди извлеченных 5 шаров 2 синих.

Обще число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 5 шаров из 11, т.е.

.

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих событию : 2 синих шара можно взять из 4 имеющихся синих шаров способами; при этом остальные шара должны быть белыми, взять же 3 белых шара из имеющихся 7 можно способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно:

.

Искомая вероятность:

.
Рассмотрим типовую задачу: В партии из деталей имеется стандартных. Наудачу отобраны деталей. Вероятность того, что среди отобранных деталей ровно будет стандартных можно находить по формуле:

.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15

Похожие:

Методические указания и контрольные задания для самостоятельной работы студентов экономических специальностей всех форм обучения iconМетодические указания для самостоятельной работы по курсу экономической...
Экономическая теория. Методические указания для самостоятельной работы по курсу экономической теории для студентов экономических...
Методические указания и контрольные задания для самостоятельной работы студентов экономических специальностей всех форм обучения iconМетодические указания по отечественной истории (Для студентов всех...
Методические указания по Отечественной истории (Для студентов всех специальностей всех форм обучения)./ Составитель: к и н., доцент...
Методические указания и контрольные задания для самостоятельной работы студентов экономических специальностей всех форм обучения iconМетодические указания и задания к лабораторной работе для студентов...
Методические указания предназначены для самостоятельной подготовки и выполнения лабораторной работы с топографической картой студентами...
Методические указания и контрольные задания для самостоятельной работы студентов экономических специальностей всех форм обучения iconМетодические рекомендации по изучению курса для студентов всех форм обучения Тверь 2006
«Мировой экономики» предназначены для студентов экономических специальностей всех форм обучения. Методические рекомендации содержат:...
Методические указания и контрольные задания для самостоятельной работы студентов экономических специальностей всех форм обучения iconМетодические указания по выполнению контрольной работы 33 Общие указания 33
Производственные технологии : программа, методические указания и контрольные задания для студентов специальностей 1-25 01 07 – Экономика...
Методические указания и контрольные задания для самостоятельной работы студентов экономических специальностей всех форм обучения iconМетодические указания к дипломному проектированию по специальности...
Методические указания предназначены для студентов всех форм обучения социально-экономического и заочного факультетов
Методические указания и контрольные задания для самостоятельной работы студентов экономических специальностей всех форм обучения iconМетодические указания и контрольные задания для студентов экономических специальностей бнту
Системой линейных алгебраических уравнений называется совокупность формальных равенств вида
Методические указания и контрольные задания для самостоятельной работы студентов экономических специальностей всех форм обучения iconМетодические указания к индивидуальному домашнему заданию по курсу...
Методические указания предназначены для студентов всех форм обучения специальностей: 14050265 «Котло-и реакторостроение», 14010165...
Методические указания и контрольные задания для самостоятельной работы студентов экономических специальностей всех форм обучения iconМетодические указания по курсовому проектированию для студентов всех...
Методические указания предназначены для выполнения курсовой работы студентами всех форм обучения специальности 032401 «Реклама»
Методические указания и контрольные задания для самостоятельной работы студентов экономических специальностей всех форм обучения iconМетодические указания к выполнению курсовой работы для студентов...
Макроэкономика: методические указания к выполнению курсовых работ для студентов экономических специальностей
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
userdocs.ru
Главная страница