Теоретические вопросы на доказательство : Неравенство Коши-Буняковского


Скачать 70.77 Kb.
НазваниеТеоретические вопросы на доказательство : Неравенство Коши-Буняковского
Дата публикации10.03.2013
Размер70.77 Kb.
ТипДокументы
userdocs.ru > Астрономия > Документы
Теоретические вопросы на доказательство:
1. Неравенство Коши-Буняковского.

Скалярным произведением векторов х,у принадлеж. Rn: x=(x1,…,xn), y=(y1,…yn) называется число (х,у)=

Для любых двух векторов а и b в евклидовом пространстве справедливо неравенство



Доказательство:

Возьмем произвольное число t и составим вектор

Тогда

Легко заметить квадратный трехчлен, если =α, =β, а =γ, т.е.



Квадратный трехчлен при любом значении t неотрицателен, поскольку ≥0, следовательно, дискриминант данного трехчлена неположителен.

D= β2- α γ≤0, подставим обратно выражения в неравенство:

- ≤0, или , чтд.
Т.о., нер-во Коши-Буняковского равносильно неравенству
^ 2. Неравенство треугольника.

Для любых двух векторов а и b в евклидовом пространстве справедливо соотношение, называемое неравенством треугольника:


Доказательство:



В силу неравенства Коши-Буняковского, согласно которому ,

2+2+2=(+)2

Извлечем корень из обеих частей этого неравенства без потери знака, т.к. обе части заведомо положительны.

Получим:
^ 3. Линейная независимость лестничной системы векторов.

Предложение: любая лестничная система векторов линейно независима.

Доказательство:

Предположим противное. Тогда один из данных векторов должен линейно выражаться через остальные. Пусть, например, а линейно выражается через b, c,… , то есть



Но такое равенство невозможно, поскольку первая координата вектора а отлична от нуля, а первая координата вектора равна нулю (из определения лестничной системы векторов первая координата всех последующих векторов равна нулю).

Полученное противоречие доказывает, что линейная система векторов линейно независима.


^ 4. Однозначность разложения вектора по базису.

Предложение: Координаты вектора в данном базисе определены однозначно.
Доказательство:

Допустим ,что существуют два способа разложения вектора а по базису

Тогда

И

Если вычесть эти два равенства, получим, что



Так как векторы базиса линейно независимы, то они не равны нулю.

Значит, =0, =0, … ,=0

То есть k=l, и существует лишь один способ разложения вектора по базису.
^ 5. Формула умножения комплексных чисел в тригонометрической форме.

Возьмем два комплексных числа в тригонометрической форме.




Используя формулу умножения комплексных чисел вида

,

получим для наших двух комплексных чисел формулу:

= /используя тригонометрические формулы косинуса и синуса суммы/

=
Т.о., для умножения z1 на z2 модули этих чисел следует перемножить, а аргументы сложить.
^ 6. Формула деления комплексных чисел в тригонометрической форме

Возьмем два комплексных числа в тригонометрической форме.



, где z2≠0.

Используя формулу деления комплексных чисел вида

,

получим для наших двух комплексных чисел формулу:

=

/учитывая основное тригонометрическое тождество, согласно которому =1/

= ()+ ()i=

/используя тригонометрические свойства косинуса и синуса суммы и разности/

=
Таким образом, для нахождения частного z1/z2 следует модуль числа z1 разделить на модуль числа z2, а из аргумента числа z1 вычесть аргумент числа z2

^ 7. Существование бесконечного числа решений у системы линейных однородных уравнений, в которой число неизвестных больше числа уравнений.
Однородная система, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.

Запишем общий вид однородной системы m уравнений с n неизвестными:

а11х1+ а12х2+…+ а1nхn=0

а21х1+ а22х2+…+ а2nхn=0



аm1х1+ аm2х2+…+ аmnхn=0, где n>m

Применим к системе метод Гаусса.

В процессе преобразований не могут получиться противоречивые уравнения

, где b≠0,

т.к. все свободные члены уравнений – нули.

Значит, после некоторого числа шагов мы получаем систему, где каждому уравнению будет соответствовать свое базисное неизвестное. Но поскольку число уравнений меньше числа неизвестных, то и число базисных неизвестных должно быть меньше числа неизвестных. Следовательно, обязательно имеются свободные неизвестные, а система имеет бесчисленное множество решений.
^ 8. Теорема о пространстве решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.
Совокупность P всех решений однородной системы уравнений является линейным пространством, которое представляет собой подпространство линейного пространства всех вектор-столбцов высоты n.




1).

2).
^ 9. Теорема о связи общих решений неоднородной и однородной систем линейных алгебраических уравнений.

Общее решение неоднородной системы линейных уравнений имеет вид




, где Х0 – некоторое (частное) решение неоднородной системы уравнений



- общее решение однородной системы

AX=B

A(X0+C1X1+C2X2+…+ CnXn)=AX0+C1AX1+…+CnAXn=AX0=B
Множество решений неоднородной системы линейных уравнений не образует линейного пространства.

^ 10. Формулы Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя переменными.


(Правило Крамера для системы nxn) – Пусть дана система АХ=В из 2 линейных уравнений с 2 неизвестными. То есть у нас получается системы 2х2.

Если |А|≠0, то системы имеет единственное решение:

, где А1 означает матрицу, полученную из А заменой 1 столбца столбцом В, а А2 получена из А заменой второго столбца столбцом В.



^ 11. Линейная независимость векторов, составляющих ортонормированную систему.

Начнем с определения, что такое ортонормированная система.



Здесь доказывается линейная независимость 3х3



^ 12. Формулы для вычисления координат вектора в ортогональном базисе.

- ортогональный базис



^ 13. Невырожденность ортогональной матрицы.


14. Изменение матрицы линейного преобразования при замене базиса.

А’=T-1AT

Пусть А – матрица линейного преобразования f в базисе .

Предположим, что мы переходим к новому базису, в котором преобразованию отвечает новая матрица А’, а Т есть матрица перехода от исходного базиса к новому базису.

Х=ТХ, где Х – столбец из старых координат разложенного по базису вектора, а Х’ – столбец из новых координат. Аналогично Y=TY’

Учитывая, что Y=AX, Х=ТХи Y=TY’, установим связь между Х’ и Y’.

Y’=T-1Y=T-1AX=T-1ATX’

Отсюдаследует, что матрицей отображения А в новом базисе будет матрица A’=T-1ATX, чтд.
^ 15. Равенство характеристических многочленов подобных матриц.

А

В: Р-1АР


16. Ортогональность собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям самосопряженного линейного преобразования.



Будем вести индукцию по n. В случае n=1 любое преобразование имеет вид

Поэтому любой ненулевой вектор х является собственным, и доказывать нечего.

Предположим, что утверждение теоремы верно для симметрических преобразований в евклидовом пространстве размерности n-1, и в этом предположении докажем его для евклидова пространства размерности n.

Прежде всего возьмем какое-либо собственное значение λ1 симметрического преобразования f. По теореме о действительности корней уравнения симметрической матрицы λ1 – действительно число. Пусть а1 – соответствующий собственный вектор.



Обозначим через S – множество всех векторов , ортогональных к а1

Так как подпространство S есть ортогональное дополнение к линейной оболочке L(а1), то его размерность равна n-1. Покажем, что это подпространство выдерживает действие f. Это означает, что если , то . Действительно,



Из сказанного следует, что действие f на всем пространстве V можно при желании сузить до действия f на подпространстве S. Применяя предположение индукции, получим, что в S существует ортогональный базис , состоящий из собственных векторов преобразования, т.е.


Вместе с равенством это доказывает нашу теорему.
^ 17. Изменение матрицы квадратичной формы при замене базиса.

, где х – вектор-столбец.

Х=РY



|P|≠0, B=PTAP

 =YTBT

^ 18. Вывод уравнения прямой на плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

M0X,



Раскрыв скобки и сгруппировав почленно, получим:

AX+BY+CZ+D=0
19. Вывод уравнения плоскости в , проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору



20. Выпуклость пересечения выпуклых множеств
Лемма: Пересечение нескольких выпуклых множеств есть выпуклое множество.

Доказательство. Пусть М = LÇN, где L, N выпуклы.

Пусть АÎM и BÎМ => AÎL и BÎL.

L выпуклое => [А,В] Ì L.

Пусть АÎM и BÎМ => AÎN и BÎN.

N выпуклое => [А,В] Ì N.

=> [А,В] Ì М => М - выпуклое.

Похожие:

Теоретические вопросы на доказательство : Неравенство Коши-Буняковского iconТеоретические вопросы на доказательство : Неравенство Коши-Буняковского
Скалярным произведением векторов Х,у принадлеж. Rn: x=(x1,…,xn), y=(y1,…yn) называется число (Х,у)=
Теоретические вопросы на доказательство : Неравенство Коши-Буняковского iconТеоретические вопросы на доказательство : Неравенство Коши-Буняковского
Скалярным произведением векторов Х,у принадлеж. Rn: x=(x1,…,xn), y=(y1,…yn) называется число (Х,у)=
Теоретические вопросы на доказательство : Неравенство Коши-Буняковского iconИ экономическое неравенство?
Либеральное крыло на этот счет придерживается мнения, что неравенство в обществе, конечно, существует, но регулировать его не нужно....
Теоретические вопросы на доказательство : Неравенство Коши-Буняковского iconВопросы для экзамена
Социологические вопросы: фактологические, сравнительные, вопросы развития и теоретические вопросы
Теоретические вопросы на доказательство : Неравенство Коши-Буняковского iconВопросы Основные понятия стереометрии
Признак параллельности прямых в стереометрии (формулировка, рисунки, доказательство)
Теоретические вопросы на доказательство : Неравенство Коши-Буняковского iconАвтотранспортные средства вопросы к экзамену теоретические вопросы
Общее устройство, технические характеристики автомобилей изучаемых марок. (Ваз, КамАЗ)
Теоретические вопросы на доказательство : Неравенство Коши-Буняковского iconЭкзаменационные вопросы
Основные положения современной клеточной теории. Доказательство единства живой природы, родства организмов на основе положений клеточной...
Теоретические вопросы на доказательство : Неравенство Коши-Буняковского iconПервая и вторая теоремы Больцано-Коши

Теоретические вопросы на доказательство : Неравенство Коши-Буняковского iconКонтрольная работа состоит из 1 теоретического и 1 практического задания. Теоретические вопросы

Теоретические вопросы на доказательство : Неравенство Коши-Буняковского iconПрактическое занятие № Механизм репликации ДНК доказательство полуконсервативного...
Доказательство полуконсервативного способа репликации ДНК. Эксперимент Месельсона и Сталя. Репликативная вилка. Одно- и двунаправленная...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница