2: Элементы векторной алгебры


Скачать 211.69 Kb.
Название2: Элементы векторной алгебры
страница1/3
Дата публикации28.06.2013
Размер211.69 Kb.
ТипДокументы
userdocs.ru > Астрономия > Документы
  1   2   3
Тема 2: Элементы векторной алгебры
§ 1. ВЕКТОР. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ.

Различают понятия величин, которые характеризуются од -ним числом - скалярные величины (например: масса, объём, длина, площадь и т.д.) и величин, для которых имеет значение не только их численное значение, но и направление их действия - векторных величин (например: сила, скорость, ускорение и т.д.).

Вектором называется направленный отрезок , где - начало вектора, - конец вектора.

В физике важное значение имеет точка приложения вектора, т.е. начальная точка . Векторы в математике чаще всего не связывают с точкой приложения, поэтому часто геометрический вектор обозначается . Чтобы объяснить это, введём сначала несколько понятий. Длина вектора обозначается или . Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым. Его длина равна нулю. Считается, что его направление совпадает с направлением любого вектора, и он обозначается .

Векторы, лежащие на одной прямой, или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Векторы, лежащие в одной плоскости, или в параллельных плоскостях, называются компланарными.

Векторы называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаково направлены.

Из этого определения следует, что векторы равны, если их можно совместить с помощью параллельного переноса. Равенство векторов не зависит от их начальных точек (точек приложения); таким образом, начальную точку любого вектора с помощью параллельного переноса можно совместить с любой точкой плоскости или пространства. В этом смысле геометрические векторы называются свободными.
^ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

1. Сложение векторов. Суммой двух векторов и называется вектор , идущий из начала вектора в конец вектора .






Это определение называется правилом треугольника сложения векторов. Другое определение суммы векторов называется правилом параллелограмма: вектор суммы векторов направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах и , т.е





2. Умножение вектора на число. При умножении вектора на число получаем вектор , коллинеарный данному вектору, длина которого изменяется в раз, причём на- правление вектора сохраняется, если и меняется на противоположное, если .

Из сказанного выше следует ещё одно определение кол – линеарности векторов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Вектора называются коллинеарными, если существует некоторое действительное число , такое, что .

Операции сложения и умножения вектора на число обладают следующими свойствами:

1. (коммутативность сложения);

2. (ассоциативность сложения);

3.

4.

5.

6. .

7. .

Вычитание векторов на картинке выглядит следующим образом:







Вектор разности направлен в сторону вектора, из которого вычитается второй вектор.

Дальнейшее изучение векторов связано с понятием системы координат
§ 2 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ НА ПРЯМОЙ, НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ.
1. Координата на прямой вводится следующим образом: на прямой стрелкой указывается направление положительного изменения, определяется начало отсчёта - точка О и определяется масштабная единица
1


Координатой произвольной точки называют длину отрезка , вычисленную в масштабных единицах (в данном случае, координата точки равна ), причём, если точка находится правее точки , то знак координаты положительный, а если левее, то отрицательный. Если даны две точки на прямой , то расстояние между ними ищется по формуле: . (1)

  1. Декартова (прямоугольная) система координат на плоскости задаётся двумя взаимно перпендикулярными осями. Точка их пересечения - это начало координат, на каждой оси вводится масштабная единица.






1
О 1
Ось называется осью абсцисс, ось - осью ординат.

Координатами произвольной точки в данной системе координат называются числа , вычисленные в масштабных единицах, причём эти координаты будут положительными, если точка расположена правее (выше) соответствующей координатной оси. В данной системе координат: .

Расстояние между двумя точками и на плоскости вычисляется по формуле: . (2)

3. В пространстве декартова (прямоугольная) система координат определяется осями, которые лежат в пересечениях трёх взаимно перпендикулярных плоскостей, пересекающихся в одной точке. Сами эти плоскости называются координатными плоскостями , соответственно. На каждой оси вводится масштабная единица





1

1

1





Ось называется осью аппликат. Точка в пространстве имеет три координаты . Расстояние между двумя точками и в пространстве определяется по формуле, которая аналогична соответствующей формуле для плоскости:

(3)

4. Чтобы установить связь между векторами и системой ко-

ординат, требуется ввести понятие проекции вектора на ось.

Пусть дана произвольная ось и некоторый вектор :






Величина направленного отрезка с соответствующим знаком оси называется проекцией вектора на ось и обозначается . Из рисунка видно, что: .

Если угол острый, то проекция положительна, если тупой, то проекция отрицательна. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны.

Проекции векторов имеют два основных свойства:

  1. Проекция суммы векторов равна сумме их проекций.








Из рисунка видим, что .

  1. При умножении вектора на число его проекция умножается на то же число:

.

Рассмотрим произвольный вектор и его проекции на оси координат. Вектор однозначно определяется своими проекциями на оси координат. (Равные векторы можно совместить параллельным переносом и они имеют одинаковые проекции, и наоборот, векторы с одинаковыми проекциями равны.)

Считаем, что вектор имеет проекции на оси координат равные, соответственно, . Причём, если вектор , где , то координаты вектора равны, соответственно,

Таким образом, чтобы найти координаты вектора (т.е. его проекции на оси координат) необходимо из координат - конечной точки вектора вычесть соответствующие координаты точки - начальной точки вектора.













Вектор называется радиус – вектором точки . Из треугольника :

.

Тогда из треугольника имеем:



В частности, для вектора получаем: , т.е. длина вектора равна расстоянию между точками A и В.

Если - угол между вектором и осью , - угол между вектором и осью и - угол между вектором и осью , то , , , то получаем понятия, так называемых направляющих косинусов вектора :

; ;

.

Основное свойство направляющих косинусов, которое легко проверяется непосредственно:

(!)

Рассмотрим пример: найти вектор , длина которого , который образует равные острые углы с осями координат.

По условию: , поэтому, по свойству (!),

. (знак «+», так как углы острые), тогда .

Таким образом, вектор имеет координаты:

Рассмотрим задачу о делении отрезка в данном отношении. Пусть даны две точки . Требуется найти координаты точки , которая делит отрезок в отношении , т.е отношение длин отрезков


Рассмотрим случай проекций на ось . ( Для остальных осей формулы получаются аналогичным образом).












Так как параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки, то



Тогда Таким образом,

, аналогично, ; .

В частности, если , т.е. отрезок делится пополам, получаем координаты середины отрезка:

; ; . (+) Таким образом, координаты середины отрезка равны полусумме координат концов отрезка.

Пример. Найти координаты центра масс треугольника с вершинами:






О




Центр масс треугольника всегда находится в точке пересечения медиан, а медиана треугольника делит сторону пополам, тогда, по формулам (+), точка имеет координаты

, или .

Другое свойство медиан треугольника: медианы в точке пере- сечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника, поэтому точка - центр масс (точка пере -сечения медиан) делит отрезок в отношении:

.

Тогда

Таким образом .

Вернёмся снова к линейным операциям над векторами.

Пусть даны два вектора . Тогда, учитывая свойства проекции вектора на ось, получаем следующие правила:

1)

2)

3)

Из последней формулы, учитывая определение коллинеарности векторов, получаем следующее условие коллинеарности:

.

Рассмотрим пример: пусть даны два вектора

.

Проверить коллинеарность векторов .

Найдём координаты векторов:

Проверим выполнение условия коллинеарности:



Координаты векторов пропорциональны, следовательно, векторы коллинеарны, т.е. .

В заключение, придадим другой смысл проекциям вектора на координатные оси. С этой целью в заданной системе координат определим тройку векторов следующим образом:

1) векторы лежат на осях , соответственно, т.е. взаимно перпендикулярны. Их направления совпадают с положительными направлениями соответствующих координатных осей;

2)

Единичные взаимно перпендикулярные векторы по другому называются ортами. В системе координат эти векторы имеют следующие координаты:



Тогда любой вектор можно записать следующим образом: , т.е. любой вектор пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов . Таким образом, векторы представляет собой естественный базис прямоугольной системы координат в пространстве.

ЗАМЕЧАНИЕ. Любые три некомпланарных вектора пространства образуют его базис, т.е. любой другой вектор пространства можно представить в виде линейной комбинации этих векторов.
  1   2   3

Похожие:

2: Элементы векторной алгебры iconПрограмма для 10 класса «Оператор пк»
Построение таблиц истинности для логических функций. Законы алгебры логики. Логические элементы и основные логические устройства...
2: Элементы векторной алгебры iconРасписание зимней экзаменационной сессии 2012- 2013 учебного года...
Высшая математика (элементы линейной алгебры аналитической геометрии) доц. Русакова В. Н
2: Элементы векторной алгебры iconЛабораторная работа № Тема: Алгебры. Вещественная алгебра кватернионов
Определить размерность соответствующей алгебры, выяснить, является ли данная алгебра коммутативной, существует ли в ней единица,...
2: Элементы векторной алгебры icon1. 2 Элементы актерского мастерства, их последовательность и взаимосвязь
Профессиональное сценическое действие возможно лишь при условии виртуозного владения всем спектром своих психофизических данных....
2: Элементы векторной алгебры iconОтличительные черты катализаторов
Химические источники тока. Первичные гальванические элементы, аккумуляторы, топливные элементы
2: Элементы векторной алгебры iconРешение: >> A=[1 2 3 4; 2 3 4 1; 3 4 1 2; 4 1 2 3]; B=[11 12 13 14]'
Цель работы: Приобретение навыков решения задач линейной алгебры с использование системы matlab
2: Элементы векторной алгебры iconТемы к экзаменам
Общая симптомология дерматозов. Первичные морфологические элементы. Вторичные морфологические элементы
2: Элементы векторной алгебры iconПедагогическая практика
Чуйкова Н. В. кандидат педагогических наук, доцент кафедры алгебры, геометрии и методики их преподавания мгпу
2: Элементы векторной алгебры iconПервичные элементы сыпи (эффлоресценции)
Все бесполостные первичные морфо­логические элементы сыпи представляют собой инфильтративные образования кожи. Исключением является...
2: Элементы векторной алгебры iconФизический вакуум книга 1
Приводится окончательное решение «задачи многих тел» с удалением из анализа распределения Максвелла, как не отвечающего природным...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница