2. Решение задач Задача 1


Скачать 75.85 Kb.
Название2. Решение задач Задача 1
Дата публикации01.07.2013
Размер75.85 Kb.
ТипРешение
userdocs.ru > Астрономия > Решение
1. Геометрические характеристики поперечных сечений стержней.

Основные определения и формулы.
Основными геометрическими характеристиками поперечных сечений стержней, (рис.1.1) используемыми при расчете стержней на прочность, являются следующие.

П

лощадь сечения F.

Статические моменты сечения относительно осей Оx и Oy

, . (1.1)

Осевые моменты инерции

, . (1.2)

Центробежный момент инерции


Рис.1.1
. ( 1.3)

Полярный момент инерции

. (1.4)

Статические моменты имеют размерность длины в третьей степени (см3), а моменты инерции – единицы длины в четвертой степени (см4).

Координаты центра тяжести сечения определяются по формулам

, . (1.5)

Оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются центральными осями. Статический момент сечения относительно любой центральной оси равен нулю.

П

ри определении моментов инерции сечений используются зависимости между моментами инерции при параллельном переносе осей координат (рис.1.2):

(1.6)

где а и b – координаты центра тяжести О в системе координат О1х1y1.


Рис.1.2

Две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции. Осевые моменты инерции относительно главных осей имеют экстремальные значения Jmax = J1 и Jmin = J2 . Они называются главными моментами инерции.

Если главные оси проходят через центр тяжести сечения, то они называются главными центральными осями сечения.

Величины главных моментов инерции J1 и J2 и углы наклона главных осей 1 и 2 к оси Ох определяются по формулам

(1.7)

Ось симметрии сечения и любая ось, ей перпендикулярная, составляют пару главных осей. Для сечений, имеющих более двух осей симметрии, все центральные оси являются главными.

Ниже приведены справочные данные о геометрических характеристиках простых сечений.




Рис.1.3 Рис.1.4

Прямоугольник (рис.1.3)

, , , . (1.8)

Равнобедренный треугольник (рис.1.4)

, . (1.9)



Рис.1.5 Рис.1.6

Круг (рис.1.5)

, . (1.10)

Полукруг (рис.1.6)

, , . (1.11)

Геометрические характеристики сечений прокатных стержней (двутавра, швеллера, уголка) приведены в сортаменте.

2. Решение задач
Задача 1.1.

Определим моменты инерции относительно главных центральных осей сечения в виде прямоугольника с круглыми отверстиями (рис.1.7).

Размеры сечений на рисунках 1.7  1.12 даны в сантиметрах.

О

си симметрии Ох, Оу являются главными центральными осями всего сечения.

Моменты инерции и площади прямоугольника и круговых вырезов относительно их собственных центральных осей определяются по формулам (1.8) и (1.10).


Рис.1.7

,

;

.

Моменты инерции сечения относительно главных центральных осей определяются по формулам (1.6).

;

.

Задача 1.2.

Определим моменты инерции относительно главных центральных осей поперечного сечения, показанного на рис.1.8.

Р

азобьем сечение на три простые фигуры: прямоугольник с размерами 128 см и два равнобедренных треугольника с размерами 126 см. Моменты инерции и площади прямоугольника и треугольников относительно их собственных центральных осей определяются по формулам (1.8) и (1.9).

, ,

;


Рис.1.8

, ,

.

Площадь всего сечения равна

.

Моменты инерции сечения относительно главных центральных осей Ох, Оу определяются по формулам (1.6).

;

.

Задача 1.3.

Определим моменты инерции относительно главных центральных осей поперечного сечения стального стержня, составленного из четырех равнобоких уголков L10010010 и листа сечением 30010 мм (рис.1.9).

Выпишем из сортамента площадь и моменты инерции сечения уголка относительно собственных центральных осей О1х1 и О1у1:

, F1 = 19,2 см2 .

Моменты инерции относительно осей Ох и Оу и площадь сечения листа равны

, , F2 = 30 см2.

П

лощадь всего сечения равна

F = 419,2 + 30 = 106,8 см2.

Моменты инерции сечения относительно главных центральных осей Ох и Оу определяются по формулам (1.6).




Рис.1.9


Задача 1.4.

Определим положение центра тяжести и моменты инерции относительно главных центральных осей поперечного сечения чугунной балки (рис.1.10).

Д

анное сечение можно рассматривать как прямоугольник с размерами 2418 см и прямоугольный вырез с размерами 1212 см.

Площадь сечения равна

F = 2418 – 1212 = 288 см2.

Д
Рис.1.10
ля определения положения центра тяжести сечения, который находится на оси симметрии ^ Оу, в качестве вспомогательной оси выберем ось О1х1, проходящую через нижнее основание.
Статический момент сечения относительно этой оси найдем как разность статических моментов двух прямоугольников

.

Определим по формуле (1.5) координату центра тяжести



Оси Ох и Оу являются главными центральными осями сечения.

По третьей из формул (1.8) определим момент инерции сечения относительно оси О1х1:



Моменты инерции сечения относительно главных центральных осей определяются по формулам (1.6).





Задача 1.5.

Определим положение центра тяжести и моменты инерции относительно главных центральных осей поперечного сечения стальной балки, составленной из двух двутавров I27 и стального листа сечением 40012 мм (рис.1.11).

М

оменты инерции и площади сечений двутавра и листа относительно собственных центральных осей соответственно равны:



F1 = 40,2 см2 ;

,

,


Рис.1.11

F2 = 401,2 = 48 см2 .
Площадь всего сечения равна

F = 240,2 + 48 = 128,4 см2.

Для определения положения центра тяжести всего сечения найдем статический момент сечения относительно оси О1х1, проходящей через центры тяжести двутавров:



По второй из формул (1.5) получим



Оси Ох и Оу являются главными центральными осями. Моменты инерции сечения относительно этих осей равны

;

.

Задача 1.6.

Для стержня несимметричного сечения, составленного из двутавра I50 и неравнобокого уголка L20012516 (рис.1.12,а), определим положение центра тяжести сечения, моменты инерции относительно главных центральных осей и положение этих осей.








Рис.1.12

моменты инерции и площади сечений двутавра и уголка относительно их собственных центральных осей соответственно равны:

F1 = 100 см2 ;

F2 = 49,8 см2 .

Площадь всего сечения равна

F = 100 + 49,8 = 149,8 см2 .

Для определения положения центра тяжести выберем в качестве вспомогательных осей оси двутавра О1х1 и О1у1. По формулам (1.5) получим





Эти величины и координаты центров тяжести двутавра и уголка в системе координат Оху показаны на рис.2.6,а и соответственно равны:



Определим по формулам (1.5) моменты инерции сечения относительно центральных осей Ох и Оу.







По формулам (1.7) найдем величины главных моментов инерции и углы наклона главных осей 1 и 2 к оси Ох.



J1 = 61889 см4 , J2 = 13415 см4 ;

, ;

, .

На рис.1.12,б приведено графическое определение величин главных моментов инерции и положения главных осей.
Контрольные вопросы


  1. Перечислите основные геометрические характеристики поперечных сечений стержней и напишите их выражения в интегральной форме.

  2. Относительно каких осей статические моменты сечения равны нулю?

  3. Относительно каких осей сечения центробежный момент инерции равен нулю?

  4. Какой зависимостью связаны между собой осевые и полярный моменты инерции?

  5. Напишите формулы для координат центра тяжести сечения.

  6. Напишите зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей и объясните их смысл на простых примерах.

  7. Какие оси называются главными осями инерции? Напишите формулы для определения главных моментов инерции и углов наклона главных осей.

  8. Как определяется положение главных осей инерции для симметричных сечений?

  9. Напишите формулы для моментов инерции прямоугольника и круга.

  10. Как изменяется центробежный момент инерции прокатного уголка при изменении направлений его центральных осей, параллельных полкам?

Библиографический список





  1. Г.С. Варданян, В.И. Андреев, Н. М. Атаров, А.А. Горшков. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. М., АСВ, 1995.

  2. Г.С. Варданян, Н.М. Атаров, А.А. Горшков, В.В. Павлов. Сопротивление материалов с основами строительной механики.Ч.1, М., МГСУ, 1998.

  3. Н.М. Атаров, Ю.Д. Насонкин. Примеры решения задач по сопротивлению материалов. Ч.1, М., МИСИ, 1990.





Похожие:

2. Решение задач Задача 1 iconПолный перечень наших услуг: Решение задач по физике
Физические основы механики (решение задач по кинематике, динамика, вращательное движение)
2. Решение задач Задача 1 iconВ последнее время произошли серьезные изменения в системе образования,...
Основная задача доу подготовка детей к обучению в школе, решение задач их разностороннего развития
2. Решение задач Задача 1 icon”Maple”
Основная часть команд для решение задач линейной алгебры содержится в библиотеке linalg. Поэтому перед решением задач с матрицами...
2. Решение задач Задача 1 icon1. Этапы решения задачи на ЭВМ программирование (programming) теоретическая...
Программирование (programming) теоретическая и практическая деятельность, связанная с созданием программ. Решение задач на компьютере...
2. Решение задач Задача 1 iconУважаемые студенты!
Пленума Верховного Суда. Решения задач должны быть развёрнутыми, аргументированными, изложены в письменной форме (Times New Roman...
2. Решение задач Задача 1 icon«Письмо об Олеге Мендельсоне»
Зиновий Яковлевич учил нас, причём собой, как на практике соединяются талант, знания и воля одного человека режиссёра с коллективным...
2. Решение задач Задача 1 iconЦарь Алексей Михайлович вел активную внешнюю политику, направленную...
Царь Алексей Михайлович вел активную внешнюю политику, направленную прежде всего на решение задач, унаследованных от предыдущего...
2. Решение задач Задача 1 iconРешение При решении задач по данной теме необходимо руко­водствоваться...
Ситуация При решении задач применялись ставки и положения по ис­числению акцизов по состоянию на 1 января 2010 г
2. Решение задач Задача 1 iconЛабораторная работа №1
Решение практических задач вычисления абсолютной и относительной погрешностей арифметических выражений
2. Решение задач Задача 1 iconРешение задач
Воздействие на организм, которое характеризует степень нагрузки при физической тяжести труда
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница