Облигация Платеж, д е. Срок, годы


Скачать 170.67 Kb.
НазваниеОблигация Платеж, д е. Срок, годы
Дата публикации12.07.2013
Размер170.67 Kb.
ТипДокументы
userdocs.ru > Банк > Документы
1.13. Инвестиции в портфель облигаций.

Дюрация и показатель выпуклости портфеля.

Рассмотрим портфель из облигаций, не имеющих кредитного риска. Риск неплатежа от портфеля отсутствует. Однако в условиях рынка остается процентный риск. Изменение процентных ставок на рынке вызывает изменение рыночных цен облигаций, входящих в портфель, а следовательно, изменение стоимости всего портфеля.

Предположим, на рынке имеются облигации без кредитного риска m видов, цены которых в момент t = 0 равны соответственно P1, P2,…, Pm. Предположим также, что на рынке можно купить любое количество облигаций, в том числе нецелое. Пусть Ωj – сумма, затраченная инвестором на приобретение облигаций j – го вида, j = 1, 2,…, m. Тогда в момент t = 0 сформирован портфель облигаций П(Ω1, Ω2,…, Ωm), стоимость которого равна Ω = . kj = и – соответственно количество и доля облигаций j – го вида в портфеле, j = 1, 2,…, m. Следовательно, . Пусть через t1, t2,…, tn лет от момента t = 0 производится платеж хотя бы по одному виду облигаций, входящих в портфель. Обозначим через платеж по облигации j – го вида в момент ti, где i = 1, 2, …, n. Тогда R1, R2, …, Rn в моменты t1, t2,…, tn – ожидаемый поток платежей от портфеля, где

, i = 1, 2, …, n. (13.1)

Таким образом, портфель П(Ω1, Ω2,…, Ωm) в момент t = 0 можно рассматривать как одну облигацию без кредитного риска стоимостью Ω с потоком платежей R1, R2, …, Rn в моменты времени t1, t2,…, tn. По своим инвестиционным качествам портфель эквивалентен такой облигации.

Пример 13.1. Сформирован портфель П(2000, 3000, 2000) из облигаций трех видов, потоки платежей по которым указаны в таблице. Определить поток платежей от этого портфеля.

Облигация


Платеж, д.е.
Срок, годы

0

0,5

1

1,5

2

В1

- 850










1035

В2

- 290

10

10

330




В3

- 990




90




1100



Согласно условию, P1 = 850, P2 = 290, P3 = 990; Ω1 = 2000, Ω2 = 3000, Ω3 = 2000. Члены потока платежей от портфеля рассчитаем по (13.1):

^

R1 = 10 = 103,448 в момент t1 = 0,5.

R2 = 10 + 90 = 285,266 в момент t2 = 1.

^

R3 = 330 = 3413,793 в момент t3 = 1,5.

R4 = 1035 + 1100 = 4657,516 в момент t4 = 2.

^

Таким образом, поток платежей от портфеля П(2000, 3000, 2000) имеет вид, показанный в таблице:

Срок, годы

0

0,5

1

1,5

2

Платеж, д.е.

- 7000

103,448

285,266

3413,793

4657,516



Меры доходности портфеля.
^

Для вычисления доходности портфеля П(Ω1, Ω2,…, Ωm) приняты две характеристики:


1) средневзвешенная доходность портфеля rср.; 2) внутренняя ставка доходности rP .
^

Средневзвешенная доходность портфеля определяется путем усреднения доходностей по всем облигациям в портфеле:

rср. = . (13.2)

Здесь – доля облигаций j – го вида в портфеле, rj – их внутренняя доходность. Недостатком этой характеристики является то, что она несет мало информации о потенциальной доходности портфеля.

Внутренняя ставка доходности rP – это процентная ставка, по которой приведенная стоимость потока платежей по портфелю R1, R2, …, Rn в моменты t1 , t2,…, tn равна его рыночной цене Ω в момент t = 0:


. (13.3)

Внутренняя ставка доходности портфеля, хотя и лучше, чем средневзвешенная доходность портфеля, но имеет те же недостатки, что и внутренняя доходность облигации. Она предполагает, что платежи по портфелю реинвестируются по ставке, равной rP, а сам портфель держится до погашения. Например, если одна из облигаций в порфеле погашается через 30 лет, то предполагается, что портфель держится 30 лет и все промежуточные платежи (купонные выплаты и погашаемые номиналы) реинвестируются.

Пример 13.2. Для портфеля облигаций П(2000, 3000, 2000) из примера 13.1 рассчитать rср. и rP.

Внутренние доходности облигаций В1, В2, В3 равны соответственно: r1 = 0,10347; r2 = 0,13798; r2 = 0,10053. Тогда согласно (13.2):

rср. = r1 + r2 + r3 = 0,11742.

Внутреннюю ставку доходности rP найдем из уравнения:

.

Методом линейной интерполяции с точностью до пятого знака после запятой получаем rP = 0,11497.
Дюрация и показатель выпуклости портфеля облигаций.

Определение. Дюрацией DP и показателем выпуклости СP портфеля облигаций П(Ω12,…,Ωm) называется дюрация и показатель выпуклости облигации, эквивалентной портфелю.

Тогда

, (13.4)

, (13.5)

где r – значения годовых безрисковых процентных ставок в момент t = 0, одинаковые для всех сроков.
Свойства дюрации и показателя выпуклости портфеля облигаций.

1. Для дюрации и показателя выпуклости портфеля облигаций П(Ω1, Ω2,…, Ωm) справедливы равенства:

, (13.6)

, (13.7)

где доля облигаций j – го вида в портфеле, Dj и Сj – дюрация и показатель выпуклости облигаций j – го вида.

Доказательство. Согласно определению,

= =

= = ,

где использовано выражение (13.1) для членов потока платежей от портфеля.

Аналогично для показателя выпуклости:

= =

= = .

2. Если DP и СP – дюрация и показатель выпуклости портфеля П(Ω1, Ω2,…, Ωm), то

,

.

Действительно, , так как . Одновременно . Второе неравенство устанавливается точно также.

3. Если число D таково, что , то всегда можно сформировать портфель, дюрация которого равна D (портфель с заранее заданным значением дюрации).

Доказательство. Составим систему:

(13.8)

ωj 0, j = 1, 2,…, m.

Покажем, что эта система разрешима. Если D = Dk, где , то решением системы является следующий набор значений:

ω1 = 0, …, ωk = 1,…, ωm = 0.

Если же Dk < D < Dk + 1, где , то решением системы является набор значений:

ω1 = 0, …, ωk = , ωk + 1 = , ..., ωm = 0.

4. Пусть в момент формирования портфеля t = 0 безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Если сразу после формирования портфеля процентные ставки для всех сроков мгновенно изменились на одну и ту же величину Δr, то относительное изменение цены портфеля приблизительно равно:

(13.9)

или

+ . (13.10)

Возможность оценить изменение цены портфеля по формулам (13.9) и (13.10) следует из того, что портфель можно рассматривать как одну облигацию, дюрация которой равна DP, а показатель выпуклости СP (см. формулы (11.8), (11.9) для облигации).

Из равенств (13.9) и (13.10) следует, что дюрацию портфеля облигаций DP можно рассматривать как меру процентного риска портфеля, а показатель выпуклости СP показывает, насколько точно дюрация оценивает этот риск. Чем меньше СP, тем лучше DP оценивает чувствительность цены портфеля к изменению рыночных процентных ставок. В связи с этим можно сформулировать следующую задачу: сформировать портфель облигаций с заданным значением дюрации D и наименьшим показателем выпуклости. Эта задача сводится к следующей задаче линейного программирования:

(13.11)

ωj 0, j = 1, 2,…, m.

(min)
5. Если заданное значение дюрации портфеля D удовлетворяет условию

, то задача линейного программирования (13.11) разрешима.

Действительно, для разрешимости задачи линейного программирования необходимо и достаточно, чтобы множество допустимых решений задачи было не пусто, а целевая функция ограничена снизу на множестве допустимых решений задачи. Согласно свойству 3, если число D удовлетворяет указанному двойному неравенству, то множество допустимых решений задачи (13.11) не пусто. Так как 0, то целевая функция ограничена снизу на множестве допустимых решений задачи. Свойство доказано.

Пусть ^ T лет – срок, на который сформирован портфель облигаций (инвестиционный горизонт). Для оценки портфеля через t лет после покупки, где t [0, ^ T], используем понятие стоимости инвестиции в портфель в момент t.

Если в момент формирования портфеля t = 0 безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r и после покупки портфеля временная структура процентных ставок остается неизменной до окончания срока T, то Ω(r, t) – планируемая стоимость инвестиции в портфель в момент t[0, T]. Если сразу после формирования портфеля процентные ставки для всех сроков изменились на одну и ту же величину и остались на новом уровне в течение всего инвестиционного периода, то Ω(, t) – фактическая стоимость инвестиции в портфель в момент t[0, ^ T]. Стоимости Ω(r, t) и Ω(, t) рассчитываются, исходя из тех же принципов, что и в случае облигации. Тогда

, (13.12)

, (13.13)

где R1, R2, …, Rn в моменты t1 , t2,…, tn – ожидаемый поток платежей от портфеля.

Таким образом,

Ω(r, t) = Rt(r) + Pt(r),

Ω(, t) = Rt() + Pt(),

где Rt(r) и Rt() – результат реинвестирования к моменту t доходов от портфеля под ставку r или соответственно; Pt(r) и Pt() – планируемая и фактическая рыночная стоимость портфеля в момент t.

Ω(r, t) и Ω(, t) обладают теми же свойствами, что и планируемая и фактическая стоимости инвестиции в облигацию. Тогда

Ω(r, t) = , (13.14)

Ω(, t) = . (13.15)

где Ω(r) = Ω – цена покупки портфеля, Ω() – оценка портфеля на момент t = 0, соответствующая новой временной структуре процентных ставок сразу после t = 0.
^ 6. Иммунизирующее свойство дюрации портфеля.

Пусть DP = DP(r) – дюрация портфеля облигаций в момент t = 0, когда безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Тогда в момент времени, равный дюрации портфеля, t = DP, фактическая стоимость инвестиции в портфель не меньше планируемой, т.е.

Ω (, DP) Ω (r, DP) (13.16)

для любых значений .

Действительно, если портфель П(Ω1, Ω2,…, Ωm) эквивалентен одной облигации без кредитного риска, то иммунизирующее свойство дюрации облигации (теорема 12.1) переходит в иммунизирующее свойство дюрации портфеля.

На этом свойстве дюрации портфеля облигаций основан принцип формирования иммунизированного портфеля. В 1952 году Ф. Реддингтон, один из основателей стратегии иммунизации, впервые ввел понятие иммунизации портфеля облигаций и сформулировал условие иммунизации: для защиты стоимости портфеля от изменений рыночной процентной ставки необходимо, чтобы дюрация портфеля совпадала с его инвестиционным горизонтом. Таким образом, чтобы сформировать иммунизированный портфель с инвестиционным горизонтом T лет, необходимо решить систему:

(13.17)

ωj 0, j = 1, 2,…, m.

Если срок портфеля T удовлетворяет неравенству , то по свойству 3 дюрации портфеля система (13.17) разрешима. Тогда дюрация портфеля, сформированного в соответствии с решением системы (13.17), совпадает с его инвестиционным горизонтом, DP = T, и по свойству 6

Ω (,T) Ω (r, T). (13.18).

Пример 13.3. Портфель формируется из купонных облигаций двух видов, характеристики которых на момент покупки портфеля (t = 0) приведены в таблице:


Облигация

А, д.е.

f

m

T, годы

А1

100

5%

2

2

А2

100

8%

1

2


В облигации первого вида инвестировано 4000 д.е., в облигации второго вида – 6000 д.е. В момент покупки портфеля безрисковые процентные ставки для инвестиций на все сроки одинаковы и равны 9% годовых. Сразу после формирования портфеля процентные ставки снизились до 8% годовых, и затем уже не изменялись. Определить:

1) поток платежей от портфеля, его дюрацию и показатель выпуклости;

2) относительное изменение цены портфеля при изменении процентных ставок на рынке с 9 до 8% годовых;

3) планируемую и фактическую стоимости инвестиции в портфель в момент времени t = 2 года (момент погашения всех облигаций из портфеля);

4) планируемую и фактическую стоимости инвестиции в портфель в момент времени, равный дюрации портфеля (t = DP).

Решение.

1) Рассчитаем характеристики облигаций, из которых формируется портфель. В момент формирования портфеля процентные ставки для всех сроков r = 0,09 годовых.

Расчет цен облигаций, их дюраций и показателей выпуклости в момент t = 0 приведен в таблицах:

Облигация А1.

Номер платежа

Срок платежа ti

Сумма платежа Ci

Ci(0)



ti

ti (ti +1)

1

0,5

2,5

2,3946

0,02570

0,01285

0,01928

2

1

2,5

2,2936

0,02462

0,02462

0,04924

3

1,5

2,5

2,1968

0,02358

0,03537

0,08843

4

2

102,5

86,2722

0,92609

1,85219

5,55656






Сумма


93,15719

1,00000

1,925032

5,71351



Облигация А2.

Номер платежа

Срок платежа ti

Сумма платежа Ci

Ci(0)



ti

ti (ti +1)

1

1

8

7,3394

0,07471

0,07471

0,14942

2

2

108

90,9014

0,92529

1,85058

5,55175






Сумма


98,24089

1,00000

1,925291

5,70117


Таким образом, в момент t = 0 цены облигаций А1 и А2 равны соответственно P1 = 93,157 д.е. и P2 = 98,241 д.е., их дюрации D1 = 1,925032 лет и D2 = 1,925291 лет, показатели выпуклости C1 = 5,71351 лет2 и C2 = 5,70117 лет2 .

Из облигаций вида А1 и А2 сформирован портфель П(4000, 6000), стоимость которого равна Ω = 10000 д.е. Инвестиции в облигации каждого вида Ω1 = 4000 д.е., Ω2 = 6000 д.е.

Члены потока платежей от портфеля П(4000, 6000) рассчитываются по формуле (13.1). Поток платежей от портфеля показан в таблице:

ti , годы

0,5

1

1,5

2

Платежи, д.е.

107,345

595,940

107,345

10997,195

В следующей таблице показан расчет дюрации и показателя выпуклости этого портфеля по определению (формулы (13.4), (13.5)):

Номер платежа

Срок платежа ti

Сумма платежа Ri

Ri(0)



ti

ti (ti +1)

1

0,5

107,345

102,82

0,01028

0,00514

0,00771

2

1

595,940

546,73

0,05467

0,05467

0,10935

3

1,5

107,345

94,33

0,00943

0,01415

0,03537

4

2

10997,195

9256,12

0,92561

1,85122

5,55367






Сумма

10000,00

1,00000

1,925187

5,70610


Таким образом, дюрация портфеля в момент его покупки DP = 1,925187 лет, показатель выпуклости CP = 5,70610 лет2 .

Рассчитаем дюрацию и показатель выпуклости портфеля П(4000, 6000) по формулам (13.6) и (13.7). Определим доли облигаций в портфеле: , j = 1, 2. Согласно условию задачи, Ω1 = 4000 д.е., Ω2 = 6000 д.е., Ω = 10000 д.е. Тогда

= 0,4·D1 + 0,6·D2 = 0,4·1,925032 + 0,6·1,925291 = 1,925187,

= 0,4·C1 + 0,6·C2 = 0,4·5,71351 + 0,6·5,70117 = 5,70610.

2) Рассчитаем относительное изменение цены портфеля при изменении процентных ставок на рынке сразу после формирования портфеля с 9 до 8% годовых. Так как r = 9%, Δ r = – 0,01, DP = 1,925187, CP = 5,70610, то согласно (13.10)

+ = 0,017902,

где ΔΩ = Ω(0,08) – Ω(0,09), Ω = Ω(0,09) = 10000 (д.е.).

В результате снижения процентной ставки цена портфеля увеличилась и приблизительно стала равной

Ω(0,08) = Ω(0,09) + Ω(0,09)· 0,017902 = 10179,02.

3) Рассчитаем планируемую и фактическую стоимости инвестиции в портфель П(4000, 6000) в момент времени t = 2 (момент погашения всех облигаций из портфеля). В момент формирования портфеля безрисковые процентные ставки для всех сроков составляли r = 9% годовых. Сразу после формирования портфеля процентные ставки снизились до = 8% годовых.

Цена покупки портфеля согласно условию задачи Ω = Ω(0,09) = 10000 д.е. Планируемая стоимость инвестиции в портфель на момент t = 2 согласно (13.14) составляет

Ω(0,09;2) = = 11881,00 .

Фактическую стоимость Ω(0,08;2) рассчитаем по формуле (13.13), используя поток платежей от портфеля П(4000, 6000):

Ω(0,08;2) = = 11872,85.

Расчеты показывают, что Ω(0,08;2) < Ω(0,09;2), т.е. на момент погашения всех облигаций из портфеля t = 2 фактическая стоимость инвестиции в портфель меньше планируемой. Следовательно, на момент t = 2 портфель не иммунизирован против изменения процентных ставок на рынке.

4) Рассчитаем планируемую Ω(0,09; DP) и фактическую Ω(0,08; DP) стоимости инвестиции в портфель в момент времени, равный дюрации портфеля, t = DP = 1,925187. По формулам (13.14) и (13.13) находим

Ω(0,09; DP) = = 11804,647,

Ω(0,08; DP) = = 11804,683.

Так как Ω(0,08; DP) > Ω(0,09; DP), то в момент времени, равный дюрации портфеля, t = DP, портфель иммунизирован против изменения процентных ставок на рынке.



Похожие:

Облигация Платеж, д е. Срок, годы icon1 Купонная облигация. Зависимость цены облигации от внутренней доходности,...
Облигация называется купонной, если по этой облигации производятся регулярные выплаты фиксированного процента от номинала, называемые...
Облигация Платеж, д е. Срок, годы iconДополнительный материал: Облигации организации: экономическая сущность,...
Облигация долговое обязательство эмитента, выпустившего ценную бумагу, уплатить владельцу облигации в оговоренный срок номинальную...
Облигация Платеж, д е. Срок, годы icon92. Облигация. Определение, функции, свойства, разновидности
Облигация может также предусматривать право ее владельца на получение фиксированного в ней процента от номинальной стоимости облигации...
Облигация Платеж, д е. Срок, годы iconКакова величина дисконта за 3-й и 8-й годы в сроке долга?
Срок погашения долга – 10 лет. При выдаче кредита была использована сложная учетная ставка 4 годовых. Величина дисконта за 6-й год...
Облигация Платеж, д е. Срок, годы iconСтатья 230. Склонение к потреблению наркотических средств или психотропных веществ
Наказывается ограничением свободы на срок до трех лет, либо арестом на срок до шести месяцев, либо лишением свободы на срок до пяти...
Облигация Платеж, д е. Срок, годы iconВопрос 228. Порядок рассмотрения судами общей юрисдикции дел о присуждении...
Е производство по уголовному делу, или право на исполнение судебного постановления в разумный срок, вправе обратиться в суд с заявлением...
Облигация Платеж, д е. Срок, годы iconВопрос 260. Особенности рассмотрения арбитражными судами дел о присуждении...
Право на обращение в арбитражный суд с заявлением о присуждении компенсации за нарушение права на судопроизводство в разумный срок...
Облигация Платеж, д е. Срок, годы iconЖестокое обращение с животными
Ом в размере до восьмидесяти тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до шести месяцев,...
Облигация Платеж, д е. Срок, годы iconНазвание: «Придумайте конкурс – получите приз!» Срок проведения
Срок проведения: 2 недели с момента публикации первых 5 идей. После – голосование, продлить ли конкурс еще на 1 неделю
Облигация Платеж, д е. Срок, годы iconНалоговое право
Налог – это обязательный платеж, поступающий в бюджет государства в определенных законом размерах и в установленные сроки
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница