Ключевые понятия 54 Контрольные вопросы 55


НазваниеКлючевые понятия 54 Контрольные вопросы 55
страница1/17
Дата публикации16.03.2013
Размер1.78 Mb.
ТипКонтрольные вопросы
userdocs.ru > Экономика > Контрольные вопросы
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17



Павел Владимирович Конюховский

Математические методы исследования операций в экономике

Серия «Краткий курс»
Главный редактор В. Усманов

Заведующий редакцией Л. Волкова

Художественный редактор В. Земских

Верстка Е. Маслова

Корректоры Н. Викторова, Н. Солнцева
ББК 22.183я7+65.529 УДК 519.8(075)+658.012.122(075)
Конюховский П. В.
К65 Математические методы исследования операций в экономикеЎЄСПб: Питер, 2000. ЎЄ 208 с.: ил. ЎЄ (Серия «Краткий курс»).
ISBN 5-8046-0190-3

В настоящем учебном пособии представлены основные разделы исследования операций. Упор делается на изложении теоретических и практических аспектов алгоритмов решения экстремальных задач, которые формулируются на базе изве­стных экономико-математических моделей. Отдельное внимание уделяется вопро­сам содержательной экономической интерпретации формальных математических понятий.

Серия книг «Краткий курс» предназначена для студентов экономических и управленческих специальностей всех форм обучения, а также для всех интересую­щихся соответствующей темой.


© Конюховский П. В., 2000

© Серия, оформление, Издательский дом «Питер», 2000

Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.

ISBN 5-8046-0190-3

ЗАО «Издательство "Питер"». 196105, Санкт-Петербург, ул.-Благодатная, 67.

Лицензия ЛР № 066333 от 23.02.99.

Налоговая льгота ЎЄ общероссийский классификатор продукции ОК 005-93, том 2,95 3000 ЎЄ книги и брошюры.

Подписано в печать 04.08.2000. Формат 60x90/16. Усл. п. л. 13.

Доп. тираж 5000. Заказ № 881.

Отпечатано с готовых диапозитивов в АООТ «Типография „Правда"». 191119, С.-Петербург, Социалистическая ул., 14.


СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие 6

Введение 8
Глава 1. Линейное программирование 14

1.1. Постановка задачи линейного программирования 14

1.2. Основные свойства ЗЛП и ее первая геометрическая интерпретация 17

1.3. Базисные решения и вторая геометрическая интерпретация ЗЛП 21

1.4. Симплекс-метод 24

1.5. Модифицированный симплекс-метод 35

1.6. Теория двойственности в линейном программировании 39

1.7. Двойственный симплекс-метод 47

Ключевые понятия 54

Контрольные вопросы 55
^ Глава 2. Нелинейное программирование 56

2.1. Методы решения задач нелинейного программирования 56

2.2. Двойственность в нелинейном программировании 69

Ключевые понятия 73

Контрольные вопросы 73
^ Глава 3. Транспортные и сетевые задачи 75

3.1. Транспортная задача и методы ее решения 75

3.2. Сетевые задачи 82

Ключевые понятия 90

Контрольные вопросы 90
^ Глава 4. Дискретное программирование 93

4.1. Типы задач дискретного программирования 93

4.2.Метод Гомори 97

4.3.Метод ветвей и границ 101

Ключевые понятия 106

Контрольные вопросы 107

^ Глава 5. Динамическое программирование 108

5.1. Общая схема методов динамического программирования 108

5.2. Примеры задач динамического программирования 115

Ключевые понятия 123

Контрольные вопросы 124
^ Глава 6. Краткий обзор других разделов исследования операций 125

6.1. Теория игр 125

6.2. Теория оптимального управления 132

Ключевые понятия 137

Контрольные вопросы 137

Список литературы 138

ПРЕДИСЛОВИЕ
Последние годы ознаменовались выходом большого количества книг, посвященных тем или иным разделам экономической науки. Среди них ведущее место, как по количеству наименований, так и по тиражу, зани­мают издания, посвященные финансам, банковскому делу, теоретичес­ким и практическим вопросам управления ценными бумагами. В значи­тельной степени сложившаяся ситуация объясняется острым дефицитом подобной литературы в предыдущие десятилетия. Однако обратной стороной этого несомненно позитивного процесса стало воз­никновение определенного дидактического вакуума вокруг других эко­номических тем. Стремление восполнить один из таких пробелов послу­жило стимулом для выпуска настоящей книги, посвященной основам исследования операций.

Формирование исследования операций как самостоятельной ветви прикладной математики относится к периоду 40-х и 50-х годов. Последу­ющие полтора десятилетия были отмечены широким применением полу­ченных фундаментальных теоретических результатов к разнообразным практическим задачам и связанным с этим переосмыслением потенци­альных возможностей теории. В результате исследование операций при­обрело черты классической научной дисциплины, без которой немыс­лимо базовое экономическое образование.

Обращаясь к задачам и проблемам, составляющим предмет исследо­вания операций, нельзя не вспомнить о вкладе, внесенном в их решение представителями отечественной научной школы, среди которых в пер­вую очередь должен быть назван Л. В. Канторович, ставший в 1975 г. лауреатом Нобелевской премии за свои работы по оптимальному ис­пользованию ресурсов в экономике.

Предлагаемая вашему вниманию книга задумана как учебное пособие для специалистов в области экономики и управления предприятиями, и призвано создать общее представление о типах задач, изучаемых в иссле­довании операций, методах их решения и принципиальных идеях, лежа­щих в основе этих методов. Математические аспекты предмета по отно­шению к поставленным перед настоящим изданием целям не являются первостепенными. Однако, по мнению автора, попытки излагать те или иные результаты в полном отрыве от математического аппарата, на основе которого они получены, являются несостоятельными и выхолащиваю­щими объективную количественную сторону изучаемых объектов. По­этому для понимания излагаемого здесь материала от читателя потребу­ется определенное владение базовыми знаниями из соответствующих разделов математического анализа и линейной алгебры. Необходимо признать, что любая книга экономико-математического направления мо­жет быть подвергнута критике либо за чрезмерную перегруженность ма­тематическими изысками и оторванность от реальной экономической проблематики, либо за отсутствие математической строгости и коррект­ности, и, естественно, каждый автор, исходя из своих вкусов, представ­лений и умения, ищет оптимальное сочетание того и другого. Ну а о том, насколько это удается, судит читатель...

Книга способствует расширению читательского кругозора и помога­ет ориентироваться среди разделов, задач и методов исследования опе­раций. В этой связи многие темы представлены в обзорном ключе.

Несколько замечаний по используемым в ходе изложения условным обозначениям:

базовые понятия предмета при их первом появлении в тексте выде­ляются курсивом, а наиболее важные их них (те, которые стоит не забывать и после прочтения!) ЎЄ жирным шрифтом;

перед фундаментальными определениями стоит символ; Д

количество приводимых в данной книге теорем минимизировано (это, однако, не должно создать у неподготовленного читателя пре­вратного впечатления об их действительном количестве); в тех мес­тах, где встречается теорема, ее формулировка выделяется слева двойной чертой;

доказательство теоремы завершается символом. ЃЈ
Автор выражает искреннюю благодарность и признательность сво­им коллегам по кафедре экономической кибернетики СПбГУ В. Ф. Ка­пустину и А. А. Канарейкину за ценные советы и замечания, способ­ствовавшие улучшению качества настоящего учебного пособия.

ВВЕДЕНИЕ
Начало развития исследования операций как науки традицион­но связывают с сороковыми годами двадцатого столетия. Среди первых исследований в данном направлении может быть назва­на работа Л. В. Канторовича «Математические методы органи­зации и планирования производства», вышедшая в 1939 г. В за­рубежной литературе отправной точкой обычно считается вышедшая в 1947 г. работа Дж. Данцига, посвященная реше­нию линейных экстремальных задач.

Следует отметить, что не существует жесткого, устоявше­гося и общепринятого определения предмета исследования опе­раций. Часто при ответе на данный вопрос говорится, что «ис­следование операций представляет собой комплекс научных методов для решения задач эффективного управления органи­зационными системами» [14].

Природа систем, фигурирующих в приведенном определении под именем «организационных», может быть самой различной, а их общие математические модели находят применение не толь­ко при решении производственных и экономических задач, но и в биологии, социологических исследованиях и других практи­ческих сферах. Кстати, само название дисциплины связано с применением математических методов для управления военны­ми операциями.

Несмотря на многообразие задач организационного управ­ления, при их решении можно выделить некоторую общую по­следовательность этапов, через которые проходит любое опе­рационное исследование. Как правило, это:

Постановка задачи.

Построение содержательной (вербальной) модели рас­сматриваемого объекта (процесса). На данном этапе происходит формализация цели управления объектом, выделение возмож­ных управляющих воздействий, влияющих на достижение сфор­мулированной цели, а также описание системы ограничений на управляющие воздействия. \

Построение математической модели, т. е. перевод сконст­руированной вербальной модели в ту форму, в которой для ее изучения может быть использован математический аппарат.

Решение задач, сформулированных на базе постро­енной математической модели.

Проверка полученных результатов на их адекватность природе изучаемой системы, включая исследование влияния так называемых внемодельных факторов, и возможная коррек­тировка первоначальной модели.

Реализация полученного решения на практике.

Центральное место в данной книге отведено вопросам, отно­сящимся к четвертому пункту приведенной выше схемы. Это делается не потому, что он является самым важным, сложным или интересным, а потому, что остальные пункты существенно зависят от конкретной природы изучаемой системы, в силу чего для действий, которые должны производиться в их рамках, не могут быть сформулированы универсальные и содержательные рекомендации. По этому поводу, например, X. Таха заметил, что исследование операций одновременно является как наукой, так и искусством [27].

Математическое моделирование в исследовании операций является, с одной стороны, очень важным и сложным, а с дру­гой ЎЄ практически не поддающимся научной формализации процессом. Заметим, что неоднократно предпринимавшиеся по­пытки выделить общие принципы создания математических мо­делей приводили либо к декларированию рекомендаций самого общего характера, трудноприложимых для решения конкрет­ных проблем, либо, наоборот, к появлению рецептов, примени­мых в действительности только к узкому кругу задач. Поэтому более полезным представляется знакомство с техникой мате­матического моделирования на конкретных примерах.

В качестве таких примеров приведем несколько классиче­ских экономико-математических моделей и задач, которые мо­гут быть сформулированы на их основе.

Управление портфелем активов. Рассмотрим проблему принятия инвестором решения о вложении имеющегося у него капитала. Набор характеристик потенциальных объектов для инвестирования, имеющих условные имена от А до F, задается следующей таблицей.
НазваниеДоходность (в %)Срок выкупа (год)Надежность (в баллах)А5,520015В6,020054С8,020102D7,520023Е5,520005F7,020034

Предположим, что при принятии решения о приобретении активов должны быть соблюдены условия:

суммарный объем капитала, который должен быть вложен, составляет $ 100 000;

доля средств, вложенная в один объект, не может превы­шать четверти от всего объема;

более половины всех средств должны быть вложены в дол­госрочные активы (допустим, на рассматриваемый момент к тако­вым относятся активы со сроком погашения после 2004 г.);

доля активов, имеющих надежность менее чем 4 балла, не может превышать трети от суммарного объема.

Приступим к составлению экономико-математической моде­ли для данной ситуации. Целесообразно начать процесс с опре­деления структуры управляемых переменных. В рассматривае­мом примере в качестве таких переменных выступают объемы средств, вложенные в активы той или иной фирмы. Обозначим их как хА, хВ, хС, хD, хE, хF. Тогда суммарная прибыль от раз­мещенных активов, которую получит инвестор, может быть представлена в виде
µ § (1)
На следующем этапе моделирования мы должны формально описать перечисленные выше ограничения a-d на структуру портфеля.

a) Ограничение на суммарный объем активов:
xA + xB + xС + xD + xE + xF „T 100 000 . (2)
b) Ограничение на размер доли каждого актива:

хА „T 25 000, хВ „T 25 000, хС „T 25 000,

xd „T 25 000, хе „T 25 000, xf „T 25 000. (3)

c) Ограничение, связанное с необходимостью вкладывать по­ловину средств в долгосрочные активы:

хВ + хС „d 50 000 (4)
d) Ограничение на долю ненадежных активов:

xC + xD „T 30 000. (5)
Наконец, система ограничений в соответствии с экономиче­ским смыслом задачи должна быть дополнена условиями неот­рицательности для искомых переменных:
хА „d 0, хB „d 0, хC „d 0, xD „d 0, хЕ „d 0, xF „d 0. (6)
Выражения (1)-(6) образуют математическую модель поведения инвестора. В рамках этой модели может быть по­ставлена задача поиска таких значений переменных ха, хB, хC, xd, xe, хF, при которых достигается наибольшее значение при­были (т. е. функции (1)) и одновременно выполняются ограни­чения на структуру портфеля активов (2)-(6).

Перейдем теперь к рассмотрению более общих моделей и задач.

Простейшая задача производственного планирования. Пусть имеется некоторый экономический объект (предприятие, цех, артель и т. п.), который может производить некоторую продукцию п видов. В процессе производства допустимо исполь­зование т видов ресурсов (сырья). Применяемые технологии ха­рактеризуются нормами затрат единицы сырья на единицу произ­водимого продукта. Обозначим через ai,j количество i-го ресурса (i„Ў 1: m), которое тратится на производство единицы j-го продук­та (j„Ў1:n). Весь набор технологических затрат в производстве j-го продукта можно представить в виде вектора-столбца
µ §

а технологию рассматриваемого предприятия (объекта) в виде прямоугольной матрицы размерности т на п:
µ §

Если j-й продукт производится в количестве xj, то в рамках описанных выше технологий мы должны потратить a1,j xj перво­го ресурса, a2,j xj ЎЄ второго, и так далее, amj xj ЎЄ т-го. Свод­ный план производства по всем продуктам может быть пред­ставлен в виде n-мерного вектора-строки x = (x1, x2,...,xj,...,xn) . Тогда общие затраты по i-му ресурсу на производство всех про­дуктов можно выразить в виде суммы
µ §

представляющей собой скалярное произведение векторов аj и х. Очевидно, что всякая реальная производственная система име­ет ограничения на ресурсы, которые она тратит в процессе производства. В рамках излагаемой модели эти ограничения по­рождаются m-мерным вектором b = (b1, b2,...,bm), где bi ЎЄ макси­мальное количество i-го ресурса, которое можно потратить в производственном процессе. В математической форме данные ог­раничения представляются в виде системы т неравенств:
a1,1 xl+al,2x2+...+al,n xn „T bl,

o2,l xl+a2,2 x2+...+a2,n xn „T b2,

am,l xl+am,2 x2+...+am,n xn „T bn. (7)
Применяя правила матричной алгебры, систему (7) можно записать в краткой форме, представив левую часть как произве­дение матрицы А на вектор х, а правую ЎЄ как вектор b:
Ах „T b. (8)
К системе (8) также должны быть добавлены естественные ограничения на неотрицательность компонентов плана произ­водства: x1, „d 0,..., xj „d 0, ..., хп „d 0, или, что то же самое,
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17

Похожие:

Ключевые понятия 54 Контрольные вопросы 55 iconВопросы к зачету по дисциплине исэиПП
Методологические основы исследования социально-экономических и политических процессов: ключевые понятия
Ключевые понятия 54 Контрольные вопросы 55 iconРезюме Ключевые понятия Вопросы и задания
Аннотация: Определяется место интернет-журналистики в системе массовых коммуникаций. Рассматриваются особенности сетевого издания,...
Ключевые понятия 54 Контрольные вопросы 55 iconКрафт Т. М., Аптон П. М. К 78 Ключевые вопросы по анестезиологии: Пер с англ
Предлагаются ключевые вопросы, ответы на которые даны в конце книги. Для более детального обоснования ответов читатель отсылается...
Ключевые понятия 54 Контрольные вопросы 55 icon2. Контрольные вопросы в чем состоит основная идея стеганографии?
Изучить порядок работы с программой StegoMagic Ответить на контрольные вопросы
Ключевые понятия 54 Контрольные вопросы 55 iconТема 1 Социальная политика: ключевые вопросы теории и практики. План
Основные понятия, сопряженные с социальной политикой: экономика труда, социальная рыночная экономика, социальное государство
Ключевые понятия 54 Контрольные вопросы 55 iconКонтрольные вопросы по курсу «Общая психология»
Предмет изучения психологии. Основные понятия и термины, с помощью которых описываются явления, изучаемые в психологии
Ключевые понятия 54 Контрольные вопросы 55 iconМетодические рекомендации по изучению курса для студентов всех форм обучения Тверь 2006
«Мировой экономики» предназначены для студентов экономических специальностей всех форм обучения. Методические рекомендации содержат:...
Ключевые понятия 54 Контрольные вопросы 55 iconКонтрольные вопросы Какие существуют точки зрения на природу языка?...
Политические партии России: происхождение, идейные ориентации. Электоральный цикл 2011-2012 гг и его особенности
Ключевые понятия 54 Контрольные вопросы 55 iconМинистерство здравоохранения республики беларусь гродненский государственный...
Планы и контрольные вопросы к практическим занятиям по пропедевтике внутренних болезней для студентов 3 курса лечебного и медико-психологического...
Ключевые понятия 54 Контрольные вопросы 55 iconКонтрольные вопросы к итоговым занятиям для студентов лечебного,...
История изучения белков. Теория строения белков Мульдера. Пеп­тидная теория строения белков
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница