Портфели платежных обязательств и расчет цен опционов американского типа


Скачать 58.55 Kb.
НазваниеПортфели платежных обязательств и расчет цен опционов американского типа
Дата публикации12.07.2013
Размер58.55 Kb.
ТипДокументы
userdocs.ru > Финансы > Документы
    1. Портфели платежных обязательств и расчет цен опционов американского типа.



Рассмотрим теперь на биномиальном -рынке с временным горизонтом набор (последовательность, портфель) платежных обязательств , исполняемых в моменты 1. Управление таким портфелем не вызывает больших трудностей ввиду развитой выше теории.

Действительно, для каждого обязательства надо вычислить его цену

,

а затем для получения цены всего портфеля надо просуммировать по числу платежных обязательств в портфеле:



Заметим, что в финансовой арифметике детерминированные платежи называют рентой. Пользуясь такой традиционной терминологией, можно охарактеризовать приведенную только что формулу как стоимость стохастической ренты.

Свойство линейности сравнительно легко привело к нахождению цены портфеля платежных обязательств. Однако, его структура далеко не всегда допускает такую аддитивность.

Пусть – некоторая неотрицательная стохастическая последовательность, согласованная с информационным потоком . Рассмотрим случайные величины , принимающие значения "не забегая" в будущее , т.е. . Их принято называть марковскими моментами, или моментами остановки (м.о.).

С помощью последовательности и заданного м.о. построим новое платежное обязательство



Структура показывает, что это обязательство определяется всей историей торгов до момента , но исполняется в случайный момент , называемый моментом исполнения.

Согласно изложенной ранее методологии управления риском, связанным с заданным обязательством, его цена находится вновь с помощью усреднения по риск-нейтральной вероятности для биномиального -рынка:



Обозначая множество всех м.о. приходим к портфелю таких обязательств , занумерованных элементами 2.

Поскольку – это "риск-нейтральный" прогноз будущих выплат , то абсолютно ясно, что в качестве адаптированной к риску, связанному с таким портфелем, цены должен быть взят максимальный из этих прогнозов:



Далее, набор конечен, поэтому обязательно найдется м.о. такой, что



который и следует взять в качестве момента исполнения для всего портфеля платежных обязательств .

С математической точки зрения нахождение пары решает задачу оптимальной остановки стохастической последовательности , а с точки зрения финансовой экономики – задачу расчета производной ценной бумаги – опциона американского типа, дающего право его предъявления в любой момент времени до истечения даты . Такие опционы составляют более 90% объема опционной торговли.

Примеры опционов американского типа

а) Опционы покупателя и продавца, соответственно, задаются с помощью следующих последовательностей платежных обязательств:

и ,

б) Русский опцион задается с помощью максимума из текущей последовательности цен акций:



Соответствующая методология расчета состоит в следующем.

Здесь полностью сохраняется понятие стратегии (портфеля)

и капитала . Самофинансируемая стратегия называется хеджем, если для любого . При этом для любого м.о. . Хедж – минимальный, если для всех и любого другого хеджа .

Рассмотрим стохастическую последовательность "максимальных прогнозов"



Очевидны граничные значения этой последовательности:



Выясним структуру последовательности , переписывая ее терминальное значение через единственный м.о. :



При имеем


если

в противоположном случае,


что эквивалентно формуле



Определяя м.о.


если

в противоположном случае,


находим, что равен либо , либо .

Для произвольного имеем, что



Следуя указанной схеме, находим, что



Для построения хеджирующей стратегии рассмотрим последовательность максимальных прогнозов и заметим, что

для всех

Следовательно, является супермартингалом, для которого запишем разложение Дуба



где – мартингал, – предсказуемая неубывающая

последовательность.

Для можно записать мартингальное представление в виде



где – некоторая предсказуемая последовательность.

Начиная с , построим с помощью самофинансируемую стратегию с капиталом так, что .

Далее, построенная стратегия является хеджем, поскольку



для всех .

По построению находим соответствующую цену



Для иллюстрации представленной выше методологии расчета рассмотрим следующий пример опциона американского типа на двухшаговом (B,S)-рынке с выплатами



где руб., ,


с вероятностью

с вероятностью


Процентную ставку положим равной 0.2.

Ясно, что риск-нейтральная вероятность определяется бернуллиевской .

Исследуем структуру максимальных прогнозов :



Величина


на

на


и в соответствии с этим


на

на


Учитывая равенство , приходим к и "оптимальному" моменту исполнения



Приведем также один общий факт, когда "останавливаться" при торговле с американскими опционами надо в самый последний момент .

Пусть , где – некоторая неотрицательная выпуклая функция. Предположим, для простоты, что .

Согласно развитой теории имеем



Согласно неравенству Йенсена3 является субмартингалом относительно мартингальной вероятности . Поэтому для любого



и мы приходим к оптимальности .


1 Поскольку некоторые из могут быть положены равными нулю, то рассматриваемая ситуация включает в себя и случай меньшего числа платежных обязательств

2 – множество м.о. со значениями .

3 для выпуклой функции и сл. вел. .


Похожие:

Портфели платежных обязательств и расчет цен опционов американского типа iconФундаментальные теоремы арбитража и полноты. Схемы расчетов платежных...
Пусть – стохастический (дискретный) базис. Определим на этом базисе -рынок как две последовательности цен
Портфели платежных обязательств и расчет цен опционов американского типа iconСтруктура цен опционов на неполных рынках и рынках с ограничениями....
Как можно было убедиться в предыдущем параграфе, если в модели -рынка доходности (соответственно, цены ) принимают более двух значений,...
Портфели платежных обязательств и расчет цен опционов американского типа iconРасчет стоимости настильной системы
Цена "теплого пола" колеблется в зависимости от типа системы, предъявляемых требований заказчика и применяемой автоматики. Вместе...
Портфели платежных обязательств и расчет цен опционов американского типа iconХеджирование платежных обязательств на биномиальном финансовом рынке....
Рассмотрим в рамках введенной в предыдущем параграфе биномиальной модели -рынка некоторый финансовый контракт
Портфели платежных обязательств и расчет цен опционов американского типа icon1. Финансовый рынок и вероятностные основы моделирования финансового...
Емкими примерами таких активов являются акции и облигации (банковский счет). Они образуют основу финансового рынка как пространства,...
Портфели платежных обязательств и расчет цен опционов американского типа iconПензенский Государственный Университет Кафедра: Правовых дисциплин...
Основания возникновения обязательств. Принцип надлежащего исполнения обязательств
Портфели платежных обязательств и расчет цен опционов американского типа iconВопросы к зачету по дисциплине «Ценообразование во вт»
Франкирование цен. Дифференциация цен в зависимости от транспортных расходов на внутреннем рынке
Портфели платежных обязательств и расчет цен опционов американского типа iconТема цены и ценообразование на продукцию предприятия система цен...
Система цен – это взаимосвязь и соотношение различных видов цен. Она состоит из различных элементов, среди которых можно выделить...
Портфели платежных обязательств и расчет цен опционов американского типа iconБилет 27 сау может быть неустойчивой по двум причинам: неподходящий...
Рассмотрим стратегии ценообразования в зависимости от уровня цен, от разных рынков, их сегментов и покупателей, в зависимости от...
Портфели платежных обязательств и расчет цен опционов американского типа iconПриказ от 13 июня 1995 г. №49 Об утверждении методических указаний...
Утвердить Методические указания по инвентаризации имущества и финансовых обязательств согласно Приложению
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница