Фундаментальные теоремы арбитража и полноты. Схемы расчетов платежных обязательств на полных и неполных рынках


Скачать 100.63 Kb.
НазваниеФундаментальные теоремы арбитража и полноты. Схемы расчетов платежных обязательств на полных и неполных рынках
Дата публикации12.07.2013
Размер100.63 Kb.
ТипДокументы
userdocs.ru > Финансы > Документы
    1. Фундаментальные теоремы арбитража и полноты. Схемы расчетов платежных обязательств на полных и неполных рынках.



Пусть – стохастический (дискретный) базис, . Определим на этом базисе -рынок как две последовательности цен:

безрисковый актив как детерминированную (или даже предсказуемую) последовательность .

рисковый актив как стохастическую последовательность , согласованную с фильтрацией (это значит, при каждом случайная величина полностью определяется событиями из .

Образуем теперь отношение и назовем вероятность мартингальной, если становится мартингалом относительно . Множество таких вероятностей обозначим .

В этой общей постановке сохраняются все понятия, ранее введенные для биномиального рынка: самофинансируемая стратегия, портфель, капитал портфеля и т. д.

Напомним, что арбитраж на этом рынке означает существование такой, что (п.н.), (п.н.) и .

Первая фундаментальная теорема финансовой математики состоит в следующем:

Данный -рынок не допускает арбитража.

Доказательство в целях упрощения изложения осуществляется при . В случае импликации возьмем некоторую и заметим, что для произвольной самофинансируемой стратегии ее (дисконтированный) капитал



является мартингалом относительно . Этот факт в "биномиальном" случае именовался мартингальной, или дуальной, характеризацией класса .

Значит, если – арбитражная стратегия, то с одной стороны, по ее определению, , а с другой, с учетом мартингального свойства последовательности :

.

Одновременно это не может выполняться, и мы приходим к противоречию с существованием арбитражной стратегии . Доказательство обратной импликации технически много сложнее и может быть найдено в более специальных источниках и книгах по финансовой математике1.

Рассматриваемый -рынок называется полным, если произвольное платежное обязательство может быть реплицировано капиталом некоторой самофинансируемой стратегии: существует и такие, что (п.н.)

и

Данный рынок содержит базисную стохастическую последовательность дисконтированных цен , которая является мартингалом относительно любой вероятности . Оказывается, любой другой мартингал (относительно может быть представлен (ср. с представлением мартингалов для биномиального рынка) в виде дискретного стохастического интеграла, построенного по . Это свойство рынка будем именовать его репрезентативностью. Следующие рассмотрения показывают, что репрезентативность эквивалентна полноте рынка.

Пусть -рынок полный ( для простоты). Возьмем произвольный мартингал и определим по нему следующее платежное обязательство . Ввиду полноты рынка существуют и такие, что (п.н.)

и

Последнее равенство, как следствие самофинансируемости стратегии , показывает, что – мартингал относительно любой вероятности . Значит, получено два мартингала с одним и тем же терминальным значением . Поэтому для



что и приводит к представлению мартингала через базовый мартингал .

Обратно, если – данное платежное обязательство на рынке со свойством репрезентативности, то рассмотрим стохастическую последовательность для любой фиксированной вероятности . Его можно представить в виде



где – предсказуемая последовательность.

Далее, положим



и с учетом вышеприведенного представления заметим, что



полностью определяется по информации, доставляемой , т. е. – предсказуемая последовательность. Это означает, что пара является самофинансируемой стратегией со свойством (п.н.)



В частности, и мы получаем свойство реплицируемости обязательства , а вместе с этим и полноту рынка.

Основная характеризация полных рынков дается

^ Второй фундаментальной теоремой финансовой математики:

Данный -рынок является полным множество состоит только из одной вероятности .

Доказательство. Импликация доказывается с помощью следующих соображений. Возьмем произвольное событие и положим в качестве платежного обязательства. Это платежное обязательство можно реплицировать: существует и такие, что

,

при этом

Если теперь и , то относительно обеих вероятностей – мартингалы и, следовательно,



Отсюда мы можем заключить, что .

Обратная импликация технически существенно сложнее. Приведем схему доказательства. Пусть – единственная мартингальная вероятность. Установим по индукции, что . Для этого предположим, что . Возьмем и сконструируем случайную величину



для которой и . По определим новую вероятность и заметим, что



Это означает мартингальность вероятности , и в силу единственности мартингальной вероятности заключаем, что: (п.н.). В результате получаем, что и потому .

Следующий шаг состоит в рассмотрении условных распределений доходностей:

где

Оказывается, эти распределения имеют такую структуру: существуют две предсказуемые последовательности: неположительная и неотрицательная , удовлетворяющие равенству



Приведенное равенство является следствием уже общего вероятностного факта о структуре функций распределений на числовой прямой со свойствами

и

Множество распределений состоит из единственного распределения существуют и .

Имея ввиду сказанное о структуре распределений доходностей , положим



Заметим, что

, или



Следовательно,



Далее, если – мартингал относительно , то существуют функции такие, что



Повторяя те же самые аргументы, которые использовались в случае биномиального рынка, приходим к следующему мартингальному представлению



где – предсказуемая последовательность.

Принимая во внимание эквивалентность полноты и репрезентативности, мы приходим к завершению доказательства.

Приведем теперь общие схемы расчета платежных обязательств на полных и неполных рынках.

Сначала рассмотрим полный -рынок с единственной мартингальной вероятностью . Пусть – платежное обязательство на этом рынке2. Определим мартингал, естественно определяемый этим обязательством:



с "граничными" условиями:



В соответствии со второй фундаментальной теоремой запишем мартингальное представление для :



где – предсказуемая последовательность.

Определим стратегию , где и, пользуясь, вышеприведенным представлением, найдем, что последовательность



является предсказуемой.

Следовательно, построенная стратегия и для ее капитала имеют место соотношения: (п.н.)



и, в частности, (п.н.).

Как результат, получаем следующую теорему.

Теорема (Схема расчетов платежных обязательств на полном рынке).

Предположим, что заданный выше -рынок является полным и – платежное обязательство. Тогда существует самофинансируемая стратегия , которая является минимальным хеджем с капиталом



и компонентами , определяемыми из разложений



В частности, цена платежного обязательства равна



Заметим, что минимальность вытекает из следующего соотношения: если и является хеджем для , то (п.н.)



для .

Рассмотрим теперь схему соответствующих расчетов для неполного рынка.

Вначала напишем чисто формально преобразование капитала стратегии , не являющейся, вообще говоря, самофинансируемой. Нам это нужно, поскольку с помощью класса мы здесь уже не можем реплицировать ввиду неполноты рынка.

Мы имеем, что



где



Назовем класс стратегий с неубывающей стохастической последовательностью стратегиями с потреблением, которые и будем рассматривать ниже.

В соответствии со сказанным имеем, что



где – уже не является предсказуемой, поскольку "потребление" определяется по всей информации , а не только по .

Эволюция дисконтированного капитала стратегии с потреблением удовлетворяет соотношению



Идея расчета платежного обязательства состоит в следующем: постараться найти стратегию с потреблением , которая реплицирует . Если это удастся сделать, то капитал такой стратегии будет вполне естественным кандидатом для цены обязательства .

Определим для реализации заявленной идеи следующую последовательность прогнозов для 3:


(п.н.).


Оказывается, стохастическая последовательность является положительным супермартингалом относительно любой . Следовательно, для каждой фиксированной можно написать соответствующее разложение Дуба:

,

где – мартингал относительно , а – предсказуемая неубывающая последовательность.

Приведенное разложение зависит от вероятности , а хотелось бы иметь что-то подобное, но инвариантное для класса мартингальных вероятностей . Эту роль выполняет опциональное разложение, называемое также равномерным разложением Дуба, согласно которому



где – мартингал для любой вероятности из , – неубывающая (но не предсказуемая, вообще говоря) стохастическая последовательность.

Более того, допускает дальнейшее структурирование



где – предсказуемая последовательность.

Определим в соответствии с изложенным такую стратегию с потреблением:



По ее построению находим, что



Следовательно, (п.н.)



что означает реплицируемость с помощью построенной стратегии с потреблением .

Сформулируем соответствующую теорему.

Теорема (Схема расчетов платежных обязательств на неполном рынке)

Пусть – заданное платежное обязательство на неполном -рынке. Тогда существует стратегия с потреблением с минимальным капиталом



и компонентами , определяемыми из опционального разложения положительного супермартингала :



В частности, в качестве начальной (верхней) цены для может быть взята



Для завершения доказательства этой теоремы остается убедиться только в минимальности предложенного хеджа .

Для этого возьмем произвольную стратегию с потреблением , являющуюся хеджем для . Тогда имеем для любой , что для любого



Следовательно, для всех (п.н.)



откуда вытекает требуемая минимальность .



1 См., например, А. Н. Ширяев, Основы стохастической финансовой математики, М. Фазис, 1998

2 Если не является конечным, то надо потребовать интегрируемость обязательства относительно :



3 Отметим, что в случае недискретных рынков, надо потребовать техническое условие .


Похожие:

Фундаментальные теоремы арбитража и полноты. Схемы расчетов платежных обязательств на полных и неполных рынках iconПортфели платежных обязательств и расчет цен опционов американского типа
Рассмотрим теперь на биномиальном -рынке с временным горизонтом набор (последовательность, портфель) платежных обязательств, исполняемых...
Фундаментальные теоремы арбитража и полноты. Схемы расчетов платежных обязательств на полных и неполных рынках iconМетодические указания Выбор схемы транспортировки нефтепродуктов...
Цель занятия – приобретение навыков проведения анализа полной стоимости при принятии различных решений в логистике
Фундаментальные теоремы арбитража и полноты. Схемы расчетов платежных обязательств на полных и неполных рынках iconСтатья Основные понятия, используемые в настоящем Федеральном законе
О применении контрольно-кассовой техники при осуществлении наличных денежных расчетов и (или) расчетов с использованием платежных...
Фундаментальные теоремы арбитража и полноты. Схемы расчетов платежных обязательств на полных и неполных рынках iconСтруктура цен опционов на неполных рынках и рынках с ограничениями....
Как можно было убедиться в предыдущем параграфе, если в модели -рынка доходности (соответственно, цены ) принимают более двух значений,...
Фундаментальные теоремы арбитража и полноты. Схемы расчетов платежных обязательств на полных и неполных рынках iconХеджирование платежных обязательств на биномиальном финансовом рынке....
Рассмотрим в рамках введенной в предыдущем параграфе биномиальной модели -рынка некоторый финансовый контракт
Фундаментальные теоремы арбитража и полноты. Схемы расчетов платежных обязательств на полных и неполных рынках icon1. Финансовый рынок и вероятностные основы моделирования финансового...
Емкими примерами таких активов являются акции и облигации (банковский счет). Они образуют основу финансового рынка как пространства,...
Фундаментальные теоремы арбитража и полноты. Схемы расчетов платежных обязательств на полных и неполных рынках iconМакаров : мальчик, девочка в подьезде, серьальчики, конечно химию некогда учить
Вдовиченко: бегу и тапки теряю; 90% мужчин любят полных женщин, и только 10% любят очень полных
Фундаментальные теоремы арбитража и полноты. Схемы расчетов платежных обязательств на полных и неполных рынках iconМакаров : мальчик, девочка в подьезде, серьальчики, конечно химию некогда учить
Вдовиченко: бегу и тапки теряю; 90% мужчин любят полных женщин, и только 10% любят очень полных
Фундаментальные теоремы арбитража и полноты. Схемы расчетов платежных обязательств на полных и неполных рынках iconЛабораторная работа №1
Цель работы: Изучение порядка и методики выбора двигателя в процессе проектирования на стадии технического предложения при разработке...
Фундаментальные теоремы арбитража и полноты. Схемы расчетов платежных обязательств на полных и неполных рынках iconРешение которой доставляется с помощью уравнения
Рассмотрим -рынок, вообще говоря, неполный и будем изучать платежные обязательства на временном интервале. Из общей схемы расчетов...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница