Задача настоящего курса на основе современных достижений науки и практики дать ответ на три главных вопроса


НазваниеЗадача настоящего курса на основе современных достижений науки и практики дать ответ на три главных вопроса
страница2/5
Дата публикации07.03.2013
Размер0.65 Mb.
ТипЗадача
userdocs.ru > Физика > Задача
1   2   3   4   5


Контрольные вопросы


  1. Понятие отказа в теории надежности.

  2. По каким признакам классифицируются отказы?

  3. Приведите примеры отказов различных типов.

  4. Повреждения и неисправности объектов.

  5. Характеристика жизни объекта.

  6. Потоки отказов элементов.

  7. Какими свойствами обладают потоки отказов элементов?

  8. Какие потоки называются простейшими?
^

ЛЕКЦИИ 3 - 4

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В РАСЧЕТАХ НАДЕЖНОСТИ


1. Основные понятия теории вероятностей

 

1. 1. Основы теории множеств.

 

Теория вероятностей -  математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Одним из основных понятий является понятие случайного события (в дальнейшем просто событие). Отказ – событие случайное.

Событием называется всякий факт (исход), который в результате опыта (испытания, эксперимента) может произойти или не произойти. Каждому из таких событий можно поставить в соответствие определенное число, называемое его вероятностью и являющееся мерой возможного совершения этого события.

Современное построение теории вероятностей основывается на аксиоматическом подходе и опирается на элементарные понятия теории множеств.

Множество – это любая совокупность объектов произвольной природы, каждый из которых называется элементом множества. Множества обозначаются по-разному: или одной большой буквой или перечислением его элементов, данным в фигурных скобках, или указанием (в тех же фигурных скобках) правила, по которому элемент относится к множеству. Например, конечное множество М натуральных чисел от 1 до 100 может быть записано в виде

 

М = {1, 2, …,100} = {i - целое; 1 i 100}.

 

Предположим, что производится некоторый опыт (эксперимент, испытание), результат которого заранее неизвестен, случаен. Тогда множество всех возможных исходов опыта представляет пространство элементарных событий, а каждый его элемент (один отдельный исход опыта) является элементарным событием. Любой набор элементарных событий (любое их сочетание) считается подмножеством (частью) множества   и является случайным событием, т. е. любое событие ^ А – это подмножество множества : А .

В общем случае, если множество содержит n элементов, то в нем можно выделить 2n подмножеств (событий).

Рассматривая событие (ведь каждое множество есть свое собственное подмножество), можно отметить, что оно является достоверным событием, т. е. осуществляется при любом опыте. Пустое множество как событие является невозможным, т. е. при любом опыте заведомо не может произойти.

Совместные (несовместные) события – такие события, появление одного из которых не исключает (исключает) возможности появления другого.

Зависимые (независимые) события – такие события, появление одного из которых влияет (не влияет) на появление другого события.

Противоположное событие относительно некоторого выбранного события А – событие, состоящее в не появлении этого выбранного события (обозначается ).

Полная группа событий – такая совокупность событий, при которой в результате опыта должно произойти хотя бы одно из событий этой совокупности. Очевидно, что события А и составляют полную группу событий.

Одна из причин применения теории множеств в теории вероятностей заключается в том, что для множеств определены важные преобразования, которые имеют простое геометрическое представление и облегчающее понимание смысла этих преобразований. Оно носит название диаграммы Эйлера-Венна, и на ней пространство изображается в виде прямоугольника, а различные множества – в виде плоских фигур, ограниченных замкнутыми линиями. Пример диаграммы, иллюстрирующей включение множеств C B А, приведен на рис. 3.1.



 

Рис. 3.1

 

Видно, что B является подмножеством А, а C – подмножеством B (и одновременно подмножеством А).

 
1. 2. Алгебра событий.

 

В прикладных задачах основными являются не прямые, а косвенные методы вычисления вероятностей интересующих нас событий через вероятности других, с ними связанных. Для этого нужно уметь выражать интересующие нас события через другие, т. е. использовать алгебру событий.

Отметим, что все вводимые ниже понятия справедливы тогда, когда события о которых идет речь, представляют собой подмножества одного и того же пространства элементарных событий .

Сумма или объединение событий  А1, А2, …, Аn – такое событие А, появление которого в опыте эквивалентно появлению в том же опыте хотя бы одного из событий А1, А2, …, Аn. Сумма обозначается:

 



(3.1)

 

где - знак логического сложения событий, - знак логической суммы событий.

Произведение или пересечение событий А1, А2, …, Аn – такое событие А, появление которого в опыте эквивалентно появлению в том же опыте всех событий А1, А2, …, Аn одновременно. Произведение  обозначается

 



(3.2)

 

где - знак логического умножения событий, - знак логического произведения событий.

Операции сложения и умножения событий обладают рядом свойств, присущих обычным сложению и умножению, а именно: переместительным, сочетательным и распределительным свойствами, которые очевидны и не нуждаются в пояснении.

Диаграммы Эйлера-Венна для суммы (а) и произведения (б) двух событий А1 и  А2 приведены на рис. 3.2.

 

 



 



 

 

а)

 

б)

 

Рис. 3.2

 

Суммой (объединением) событий А1 и  А2 является событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий (заштрихованная область на рис. 3.2, а). Произведение  событий А1 и  А2 это событие, состоящее в совместном выполнении обоих событий (заштрихованное пересечение событий А1 и  А2 – рис. 3.2, б).

Из определения суммы и произведения событий следует, что

 

А = АА; А = А ; = А ;
А = АА; = А ; А = А .

 

Если события Аi (i=1, … , n) или { Аi }n i=1  составляют полную группу событий, то их сумма есть достоверное событие

 

=

(3.3)

 

Изображение противоположного события приведено на рис. 3.3. Область дополняет ^ А до полного пространства . Из определения противоположного события следует, что

 



(3.4)

 

Другие свойства противоположных событий отражены в законах де Моргана:

 



(3.5)

 

поясняемых рис. 3.4.

 

 



 



 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.3

 

Рис. 3.4

 

 

   
2. 3. Аксиомы теории вероятностей

 

Сопоставим каждому событию А число, называемое, как и прежде, его вероятностью и обозначаемое P(A) или P{A}. Вероятность выбирают так, чтобы она удовлетворяла следующим условиям или аксиомам:


  P() = 1; P() = 0.

(3.6)

 

P() P(A) P().

(3.7)


Если Ai и Aj несовместные события, т. е. Ai Aj = , то

 

P(Ai Aj) = P(Ai) + P(Aj).

(3.8)

 

Приведенные аксиомы постулируются, и попытка доказать их лишена смысла. Единственным критерием справедливости является степень, с которой теория, построенная на их основе, отражает реальный мир.

Аксиому  (3.8) можно обобщить на любое конечное число несовместных событий { Аi }n i=1:

 



(3.9)

 

С помощью аксиом можно вычислить вероятности любых событий (подмножеств пространства ) с помощью вероятностей элементарных событий. Вопрос о том, как определить вероятности элементарных событий, является риторическим. На практике они определяются либо из соображений, связанных с возможными исходами опыта (например, в случае бросания монеты естественно считать вероятности выпадения орла или решки одинаковыми), или на основе опытных данных (частот).

Последний подход широко распространен в прикладных инженерных задачах, поскольку позволяет косвенно соотнести результаты анализа с физической реальностью.

Предположим, что в опыте пространство можно представить в виде полной группы несовместных и равновозможных событий А1, А2, …, Аn. Согласно (3.3) их сумма представляет достоверное событие:

 

= .,

 

так как события А1, А2, …, Аn несовместны, то согласно аксиомам (3.6) и (3.9):

 

= P() = 1.

(3.10)

 

Поскольку события А1, А2, …, Аn равновозможны, то вероятность каждого из них одинакова и равна

 



 

Отсюда непосредственно получается частотное определение вероятности любого события A:

 



(3.11)

 

как отношение числа случаев (mA), благоприятных появлению события А, к общему числу случаев (возможному числу исходов опыта) n.

Совершенно очевидно, что частотная оценка вероятности есть не что иное как следствие аксиомы сложения вероятностей. Представив, что  число n неограниченно возрастает, можно наблюдать явление, называемое статистическим упорядочением, когда частота события А все меньше изменяется и приближается к какому-то постоянному значению, которое и представляет вероятность события А.
 

2. 4. Основные законы и правила теории вероятностей

 

Вероятности сложных событий можно вычислять с помощью вероятностей более простых, пользуясь основными правилами (теоремами): сложения и умножения вероятностей.

II.2.4.1. Теорема сложения вероятностей.

Если А1, А2, …, Аn - несовместные события и А – сумма этих событий, то вероятность события А равна сумме вероятностей событий А1, А2, …, Аn:

 



(3.12)

 

Эта теорема непосредственно следует из аксиомы сложения вероятностей (3.8).

В частности, поскольку два противоположных события А и несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей

 

P(A) + P( ) = 1

(3.13)

 

Чтобы сформулировать в общем случае теорему умножения вероятностей, введем понятие условной вероятности.

Условная вероятность события А1 при наступлении события А2 – вероятность события А1, вычисленная в предположении, что событие А2 произошло:

 

P(А1 А2) = P(А1 А2)/P(А2).

(3.14)

 

II.2.4.2. Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения (совместного появления) двух событий А1 и А2 равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого, в предположении, что первое событие произошло:

 



(3.15)

 

Для любого конечного числа событий теорема умножения имеет вид

 



(3.16)

 

В случае, если события А1 и А2  независимы, то соответствующие условные вероятности

 



 

поэтому теорема умножения вероятностей принимает вид

 



(3.17)

 

а для конечного числа n независимых событий

 



(3.18)

 

Следствием правил сложения и умножения вероятностей является теорема о повторении опытов (схема Бернулли): опыты считаются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из них не зависит от того, какие исходы имели другие опыты.

Пусть в некотором опыте вероятность события ^ А равна P(А) = p, а вероятность того, что оно не произойдет P( ) = q, причем, согласно (3.13)
 P(A) + P( ) = p + q = 1

 

Если проводится n независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью p, то вероятность того, что в данной серии опытов событие А появляется ровно m раз, определяется по выражению

 



(3.19)

 

где - биномиальный коэффициент.

 

Например, вероятность однократной ошибки при чтении 32-разрядного слова в формате ЭВМ, представляющего комбинацию 0 и 1, при вероятности ошибки чтения двоичного числа p = 10-3, составляет по (3.19)

 



 

где q = 1- p = 0,999; n = 32; m = 1.
Вероятность отсутствия ошибки чтения при m = 0, C032 = 1

 



 

Часто возникают задачи определения вероятностей того, что некоторое событие^ А произойдет по меньшей мере m раз или не более m раз. Подобные вероятности определяются сложением вероятностей всех исходов, которые составляют рассматриваемое событие.
Расчетные выражения для такого типа ситуаций имеют вид:

 



 

где Pn(i) определяется по (3.19).
При больших m вычисление биномиальных коэффициентов Cnm и возведение в большие степени p и q связано со значительными трудностями, поэтому целесообразно применять упрощенные способы расчетов. Приближение, называемое теоремой Муавра-Лапласа, используется, если npq>>1, а |m-np|<(npq)0,5, в таком случае выражение (3.19) записывается:

 



(3.20)


 2. 5. Формула полной вероятности и формула Байеса (формула вероятностей гипотез)

 

В практике решения большого числа задач формула полной вероятности (ФПВ) и формула Байеса, являющиеся следствием основных теорем, находят широкое применение.

II.2.5.1.Формула полной вероятности.

Если по результатам опыта можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез) H1, H2, … Hn, представляющих полную группу несовместных событий (для которой  ), то вероятность события А, которое может появиться только с одной из этих гипотез, определяется:

 

P(A) = P(Hi ) P(A Hi ),

(3.21)

 

где P(Hi) – вероятность гипотезы Hi;

P(А| Hi) – условная вероятность события А при гипотезе Hi.
Поскольку событие А может появиться с одной из гипотез H1, H2, … Hn, то А = АH1 H2 АHn  , но H1, H2, … Hn несовместны, поэтому

 

 

В виду зависимости события А от появления события (гипотезы) Hi

P(AHi) = P(Hi)· P(А| Hi), откуда и следует выражение (3.21).

 

2.5.2. Формула Байеса (формула вероятностей гипотез).
Если до опыта вероятности гипотез H1, H2, … Hn были равны P(H1), P(H2), …, P(Hn), а в результате опыта произошло событие А, то новые (условные) вероятности гипотез вычисляются:

 



(3.22)

 

Доопытные (первоначальные) вероятности гипотез P(H1), P(H2), …, P(Hn) называются априорными, а послеопытные - P(H1| А), … P(Hn| А)апостериорными.

Формула Байеса позволяет «пересмотреть» возможности гипотез с учетом полученного результата опыта.

Доказательство формулы Байеса следует из предшествующего материала. Поскольку P(Hi А) = P(Hi) P(А| Hi) = P(Hi) P(Hi| А):

 



 

откуда, с учетом (3.21), получается выражение (3.22).
Если после опыта, давшего событие А, проводится еще один опыт, в результате которого может произойти или нет событие А1, то условная вероятность этого последнего события вычисляется по (3.21), в которую входят не прежние вероятности гипотез P(Hi), а новые - P(Hi| А):

 



(3.23)

 

Выражение (3.23) называют формулой для вероятностей будущих событий.
3.1. Случайные величины и их характеристики.
1   2   3   4   5

Похожие:

Задача настоящего курса на основе современных достижений науки и практики дать ответ на три главных вопроса iconСемиотика
Механизм развития патологических признаков представлен на высоком теоретическом уровне с использованием современных достижений науки....
Задача настоящего курса на основе современных достижений науки и практики дать ответ на три главных вопроса iconМетодические указания для самостоятельной работы студентов 6 курса по специальности «Педиатрия»
Несмотря на успехи современной медицинской науки и практики патология органов дыхания у новорожденных детей, а, особенно, недоношенных...
Задача настоящего курса на основе современных достижений науки и практики дать ответ на три главных вопроса iconЗадача настоящего труда найти идею, которая могла бы дать план будущего...
Текст книги найден и восстановлен усилиями членов Народно-Трудового Союза российских солидаристов
Задача настоящего курса на основе современных достижений науки и практики дать ответ на три главных вопроса iconФедеральным законом Российской Федерации от 4 мая 2011 г. №99-фз...
В связи с планируемым проведением клинического исследования лекарственного препарата для медицинского применения возникает вопрос...
Задача настоящего курса на основе современных достижений науки и практики дать ответ на три главных вопроса iconМ фото ежвузовский центр современных банковских технологий анкета - заявка
Направление(я) банковской деятельности, наиболее интересные для изучения в рамках специализированного курса и прохождения практики...
Задача настоящего курса на основе современных достижений науки и практики дать ответ на три главных вопроса iconЮ. В. Ивлев логика для юристов
Учебник соответствует программе курса логики для высших юридических учебных заведений. Основные вопросы излагаются с учетом достижений...
Задача настоящего курса на основе современных достижений науки и практики дать ответ на три главных вопроса iconЖизни, которые касаются жизни народов и государств, деятельности...
Таким образом, задача курса истории это формирование исторического сознания, которое позволяет получать соответствующие знания, приобретать...
Задача настоящего курса на основе современных достижений науки и практики дать ответ на три главных вопроса iconЗадача синтеза информационной системы заключается в разработке ее...
При этом можно говорить о двух основных задачах синтеза: создание новой системы на основе последних достижений науки и техники;...
Задача настоящего курса на основе современных достижений науки и практики дать ответ на три главных вопроса iconРеферата; в 1-ом полугодии на тему «Теория относительности»
При собеседовании студент должен ответить на три вопроса преподавателя подряд по пройденным в полугодии темам. При отсутствии ответов...
Задача настоящего курса на основе современных достижений науки и практики дать ответ на три главных вопроса iconЗадача этой работы обобщение изучаемого студентами материала в целостную...
Хореография в спорте – один из современных методов подготовки юных спортсменов и спортсменов международного класса на основе методики,...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница