Курс лекций утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Воронеж 2011


НазваниеКурс лекций утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Воронеж 2011
страница4/16
Дата публикации29.03.2013
Размер1.71 Mb.
ТипУчебное пособие
userdocs.ru > Физика > Учебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16

^ 4. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
4.1. Волновые свойства вещества. Гипотеза де Бройля

Размышляя над свойствами света и микрочастиц, французский физик Луи де Бройль пришел к выводу, что «Корпускулярно-волновой дуализм Эйнштейна носит всеобщий характер и распространяется на все физические объекты». В 1924 г. де Бройль опубликовал парадоксальную гипотезу, которая в конечном итоге позволила построить логичную теорию, объясняющую явления, происходящие на субатомном уровне:

Если электромагнитное излучение с длиной волны λ = 2πc/ω должно проявлять свойства частицы-фотона с энергией E = ħω = 2πс/λ и импульсом p = E/c = 2πħ/λ, то и материальные частицы с энергией E и импульсом p должны обладать свойствами волны с частотой:

(4.1)

и длиной волны (4.2)

Такая волна называется волной де Бройля. Волна, которая сопоставляется частице, может иметь устойчивое состояние в замкнутом пространстве (т.е. в пределах атома) только в одном случае – если вдоль орбиты частицы укладывается целое число длин волн, то есть, если, двигаясь вдоль орбиты, волна де Бройля совершает целое число полных колебаний. Картина аналогична той, которую мы наблюдаем при появлении стоячей волны в натянутой струне: (4.3)

где rn – радиус n-ой орбиты, n = 1, 2, 3, ...

Уже в 1927 г. гипотеза де Бройля была подтверждена экспериментально в лаборатории Bell Telephone в ходе опытов К. Дэвиссона и его ассистента Л. Джермера. Узкий пучок электронов с кинетической энергией E ∼ 100 эВ (по этой энергии можно посчитать импульс электрона) падал нормально на монокристалл никеля и рассеивался на атомах поверхностного слоя под разными углами θ (рис. 4.1). Длина волны де Бройля таких электронов, рассчитанная по формуле (4.2), была сравнима с межатомным расстоянием d ∼ 10–10 м.



Рис. 4.1. Схема опыта Дэвисона и Джермера

Детектор (гальванометр) улавливал отраженные электроны и измерил четкие максимумы и минимумы тока под углами θn. Углы, под которыми наблюдались максимумы тока, удовлетворяли условию интерференционного максимума: n = 1, 2, 3, ... (4.4)

То есть, наблюдалось явление интерференции микроскопических частиц – электронов. Расчеты показали, что выраженная из формулы (4.4) длина интерферирующих волн и длина волны, полученная по формуле (4.2), совпадают с высокой точностью.

Несколько нагляднее этот эффект можно было бы продемонстрировать, если направлять электроны на преграду, имеющую два отверстия диаметром d ∼ 10–10 м.

В этом случае мы будем наблюдать несколько максимумов (сильное почернение на фотопластинке), как при интерференции света на двух щелях (пластинка №3). Если одно из отверстий закрыть, получим результат как на пластинках 1 или 2 – в зависимости от того, какая щель остается открытой. Видно, что картина от двух открытых щелей не является суммой картин 1 и 2. То есть каждый электрон, преодолевая преграду со щелями, «чувствует» оба отверстия, он «знает», открыты ли оба отверстия или одно из них закрыто. Это не значит, что он как волна разделяется на две составляющие. Электрон неделим! Но природа его такова, что ведет он себя как волна, следовательно бессмысленно говорить, что электрон прошел через одно из двух отверстий.



Рис. 4.2. Дифракция электронов на щели

В том же 1927 г. Дж. Томсон и независимо от него П.Тартаковский наблюдали дифракцию электронов при прохождении через тонкую металлическую фольгу (рис. 4.3). Дифракционной решеткой в этом случае служила кристаллическая решетка металла. Электроны, проходя через нее, согласно предположению де Бройля действительно могли дать дифракционную картинку. Такая картинка регистрировалась на фотопластинке (электрон, ударяясь о фотослой на пластинке, вызывает такой же эффект, как фотон – оставляет засвеченное пятно). Оставался открытым вопрос: действительно ли дифракция наблюдается для электронов или электроны, ударяясь о фольгу, вызывают вторичные рентгеновские волны, которые и дают дифракционную картинку?



Рис. 4.3. Схема опыта по дифракции электронов

Для ответа на этот вопрос в схему эксперимента были введены два магнита, которые должны отклонять двигающиеся электроны и в тоже время никак не должны влиять на рентгеновские лучи (ведь это фотоны, электрический заряд которых равен нулю). Поскольку наблюдалось отклонение дифракционных колец от первоначального положения, был сделан вывод, что наблюдаемое явление – дифракция электронов.

Как показали более поздние опыты, дифракция возможна не только для пучка электронов, но и для каждого электрона в отдельности. Советские физики Л. Биберман, Н. Сушкин и В. Фабрикант в 1949 г. провели эксперимент, в котором источник электронов имел настолько малую интенсивность, что электроны из него вылетали буквально по одному. Опыт занял довольно большое время, но результат оказался точно такой же, как при интенсивном источнике электронов: на фотопластинке наблюдались четкие дифракционные кольца.

Таким образом, электроны обладают волновыми свойствами. Как показали многочисленные опыты, то же самое можно сказать обо всех микрочастицах. Была получена дифракция атомов и молекул, электронов и нейтронов, и других микрочастиц. В частности, дифракция нейтронов широко используется для исследования кристаллической структуры материалов. Дифракция электронов на белковых молекулах является стандартным методом исследования белков.

Гипотеза де Бройля была подтверждена безоговорочно. Более того, она стала основой для создания «новой квантовой физики». Существенно расширенная, эта теория по сей день принимается верной для процессов, протекающих на микроуровне. А Луи де Бройлю в 1929 г. была присуждена Нобелевская премия по физике.

Фундамент, на котором строилась вся квантовая теория, можно сформулировать следующим образом:

Фотоны и любые микротела не имеют принципиального различия. И тем и другим сопоставляются как волновые, так и корпускулярные свойства. И те, и другие подчиняются единым принципам.
^ 4.2. Принцип неопределенности Гейзенберга

И свет, и микрочастицы в любой момент одновременно являются и частицей и волной. Только в некоторых случаях одно из свойств выражено меньше. Например, для электромагнитной волны частотой меньше 1012 с–1 (это радиоволны) корпускулярные свойства практически невозможно обнаружить, а гамма-излучение (частота больше 1020 с–1) ведет себя как частица и не проявляет волновых свойств. Рентгеновское и видимое излучение занимают промежуточное положение (1015 ≤ ω ≤ 1019 с–1), и для этих видов мы можем наблюдать как корпускулярные свойства (фотоэффект, эффект Комптона), так и волновые свойства (дифракция, интерференция). Если же говорить о волновых свойствах частиц, то тут правила еще проще: чем мельче частица, тем заметнее для нее волновые свойства, если же частицу заставить расти, то волновые свойства быстро теряются и остаются только корпускулярные. Можно даже сказать, что каждый из нас обладает волновыми свойствами, однако этот эффект настолько мал, что ни зарегистрировать его каким либо прибором, ни использовать для получения, например, дифракции не возможно. И этот факт наглядно отражен в одном из основных принципов квантовой физики – это принцип неопределенности Гейзенберга.

Для понимания ниже сказанного уточним, что понятие неопределенность здесь имеет смысл некоторого интервала x, в который укладывается значение величины x. То есть, если x = 0, то это значит, что мы имеем точное (или определенное) значение величины x. Итак, одна из возможных формулировок принципа неопределенности гласит:

^ Произведение неопределенностей координаты ∆x частицы и проекции ее импульса ∆px на ту же ось не может по порядку величины быть меньше постоянной планка ħ: (4.5)

Если сказать другими словами, то чем точнее мы можем измерить одну из указанных величин, тем больший разброс будет иметь вторая.

Рассмотрим движение частицы вдоль оси Y, на пути которой установлено препятствие с небольшим отверстием (рис. 4.4). До прохождения через отверстие частица имеет вполне определенное значение проекции импульса на ось х, так как по условию задачи известно, что перемещение частицы происходит в заданном направлении.



Рис. 4.4. Прохождение частицы через отверстие малой ширины

Однако при этом мы совершенно не знаем, в какой точке находится частица в каждый момент времени. Знаем, куда движется, не знаем, где находится, и наоборот! То есть для частицы квантовой природы утрачивает смысл понятие траектория.

В тот момент, когда частица проходит через отверстие, мы можем указать для нее довольно точное местоположение – ее координата попадет в интервал x, равный ширине отверстия. В тот же самый момент происходит изменение импульса частицы. Его значение становится неопределенным ровно на столько, на сколько определенным стало значение координаты частицы.

То есть мы получаем некоторый разброс в направлении движения частицы после прохождения преграды, что и отражается в виде появления ненулевого px. Как показывают эксперименты, вследствие дифракции, частица может вылететь в любом направлении в пределах угла (рассматриваем центральный дифракционный максимум, так как при дифракции на одной щели интенсивность остальных максимумов пренебрежимо мала). Вероятность движения под некоторым углом φ можно измерить, определив степень почернения в точке А на фотопластинке. Как видно из рисунка частица, прошедшая под таким углом имеет неопределенность импульса px:

(4.6)

Для первого дифракционного максимума выполняется соотношение:



Учтем, что длина волны де Бройля может быть записана через импульс:



Подставляем в формулу (4.6):

(4.7)

Отсюда получаем: (4.8)

Если учесть, что наблюдаются также еще и максимумы второго и бóльших порядков, то математически это означает, что x будет больше, чем мы учли в формуле (4.8). Следовательно, произведение будет больше: (4.9)

Таким образом, мы пришли к соотношению неопределенности Гейзенберга.

Соотношение, аналогичное (4.5), можно записать для другой пары физических величин – энергии и времени:

(4.10)

Выполнение этого условия определяет естественную ширину спектральных линий. На схемах спектры атомов рисуют в виде тонких линий. У реальных линий есть определенная ширина – интервал энергий ∆Е, который соответствует данному энергетическому состоянию. Используя формулу (4.10), можно оценить ∆Е. Время жизни в возбужденном состоянии составляет t ≈ 10–8 с. Тогда неопределенность энергии составляет:



Ширину линии можно выразить через частоту:



Неопределенность частоты конечно мала по сравнению с абсолютным значением частоты света (ω ~ 1015 с–1), но она определяет «размытость» спектрального уровня и называется естественной шириной спектральной линии. Никакой высокоточный прибор, ни увеличение числа измерений не сможет позволить определить энергию спектральной линии с точностью бóльшей, чем ∆ω.

Гейзенберг и Бор показали, что ни один эксперимент не может дать результатов, противоречащих соотношениям неопределенности. Даже по отношению к массивным телам эти принципы выполняются, но ограничения, накладываемые на движение крупных тел, являются совсем ничтожными. Например, пусть маленькая капля воды диаметром 0.1 мм (m = 5·10–10 кг) движется со скоростью V = 10 м/с. Если точность измерения ее скорости составляет 10%, то p = mV = 5·10–10 кг·м/с. Тогда неопределенность в определении координаты равна:

,

что в 1020 раз меньше диаметра капли. То есть координата капли в каждый момент известна с точностью 10–24 м.
^ 4.3. Волновая функция

Итак, микрочастицы не подчиняются законам классической механики, их поведение нельзя описать принятыми в классической физике способами. Этот факт заставил ученых создать новую теорию. Новая механика, названная квантовой, основывалась на идеях Планка, Эйнштейна, Борна и де Бройля. Основоположниками стали австриец Эрвин Шредингер (1887 – 1961), немец Вернер Карл Гейзенберг (1901 – 1976) и англичанин Поль Адриен Морис Дирак (1902 – 1984).

Одной из основных при этом стала задача математического описания поведения микрочастиц, причем такое, чтоб характеризующая их функция отражала одновременно и волновые и корпускулярные свойства.

Рассмотрим картину, образующуюся при дифракции электронов на двух щелях. В каждой точке фотопластинки степень почернения, вызванного ударами дифрагированных электронов, определяется интенсивностью волн де Бройля в направлении данной точки (рис. 4.2). Напомним, что согласно волновой теории света, число фотонов в данной точке дифракционной картины задается квадратом амплитуды световой волны, то есть ее интенсивностью. С другой стороны, число электронов в каждой точке дифракционной картины определяется вероятностью их попадания в данную точку. Чтобы учесть волновые свойства микрочастиц, де Бройль предложил рассматривать некую функцию Ψ(x,y,z,t), меняющуюся по волновому закону, т.е. как волну де Бройля (см. выше):

(4.11)

где – вектор, определяющий положение частицы в пространстве. Ψ(x,y,z,t) была названа волновой функцией.

Идея использовать функцию вида (4.11) возникла в связи с тем, что поведение свободной микрочастицы имело выраженную аналогию с поведением световой волны, описываемой волновыми уравнения колебаний векторов электрической и магнитной напряженностей:

(4.12)

где для учета корпускулярных свойств волновые параметры и заменены с учетом формул (4.1, 4.2) энергией и импульсом рассматриваемой частицы:

(4.13)

Однако, не следует думать, что волновая функция получена простой подстановкой соответствующих параметров в выражения (4.12). Она лишь имеет аналогичную формулировку и отражает корпускулярно-волновые особенности как поведения микрочастиц, так и распространения света.

Правильную интерпретацию волновой функции дал М. Борн в 1926 г. Сама волновая функция имеет комплексное значение и не обладает физическим смыслом – то есть в природе не существует такого параметра, измерение которого дало бы значение, равное волновой функции.

Согласно Борну, физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции, который пропорционален вероятности обнаружить частицу в момент времени t в объеме dV (dx, dy, dz) вокруг точки (x, y, z):

(4.14)

(4.15)

где Ψ* – функция, комплексно сопряженная с Ψ.

Таким образом, в квантовой механике вводится так называемая волновая функция, которая полностью описывает состояние микрочастицы и при этом отражает как ее корпускулярные, так и волновые свойства.

Вероятность обнаружить частицу в элементе объема dV равна:

(4.16)

Вероятность же нахождения частицы в конечном объеме V, согласно теореме сложения вероятностей, равна:

(4.17)

где интегрирование проводится по координатам x, y, z. Очевидно, что сам факт существования частицы означает, что вероятность найти ее где-либо в бесконечном объеме равна 1:

(4.18)

Выражение (4.18) называется условием нормировки волновой функции.

Волновая функция Ψ (x, y, z, t) является комплексной, конечной (в противном случае вероятность обнаружения частицы может оказаться больше 1), однозначной и непрерывной. Забегая вперед, уточним, что непрерывными должны быть и частные производные , , , .

Кроме того, волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции: если система может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями Ψ1, Ψ2, ...,Ψn, ..., то она может находиться в состоянии Ψ, описываемом линейной комбинацией этих функций:

(4.19)

где Cn (n = 1, 2, ...) – произвольные комплексные числа.

С помощью волновой функции можно найти средние значения физических величин, таких как средние скорость, расстояние электрона от ядра и другие. В частности средняя скорость частицы будет равна:

(4.20)
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16

Похожие:

Курс лекций утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Воронеж 2011 iconКурс лекций утверждено Редакционно-издательским советом университета...
Рембеза Е. С. Квантовая, атомная и ядерная физика: курс лекций: учеб пособие / Е. С. Рембеза, В. С. Железный, Е. А. Косякова. Воронеж:...
Курс лекций утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Воронеж 2011 iconРоссийской федерации
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
Курс лекций утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Воронеж 2011 iconСтратегическое планирование учебное пособие москва 2011 фгб оу впо...
Рекомендовано редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
Курс лекций утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Воронеж 2011 iconВ. В. Жуков Основы менеджмента
Утверждено в качестве методического пособия редакционно-издательским советом мгудт
Курс лекций утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Воронеж 2011 iconМетодические указания к лабораторной работе №2 по дисциплине «Основы...
Утверждено редакционно-издательским советом Тюменского государственного нефтегазового университета
Курс лекций утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Воронеж 2011 iconУчебное пособие Под редакцией И. Б. Гриншпуна Рекомендовано Редакционно-издательским...
И. В. Дубровина Л. П. Кезина М. И. Кондаков В. Г. Костомаров О. Е. Кутафин Н. Н. Малофеев
Курс лекций утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Воронеж 2011 iconУчебно-методическое пособие /Т. П. Синютина, Л. Ю. Миколишина, Т....
Работа одобрена редакционно-издательским советом академии в качестве учебно-методического пособия
Курс лекций утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Воронеж 2011 iconКурс сравнительного правоведения
Рекомендовано Советом по правоведению Учебно-методического объединения университетов Российской Федерации в качестве учебного пособия...
Курс лекций утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Воронеж 2011 iconРадугин А. А. Р15 Философия: курс лекций. 2-е изд., перераб и дополн
...
Курс лекций утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Воронеж 2011 iconРадугин А. А. Р15 Философия: курс лекций. 2-е изд., перераб и дополн
...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница