Скачать 2.36 Mb.
|
^ Как известно, погрешность результата измерения определяется не только классом точности СИ. Источниками недостоверности результата могут быть и другие причины. Рассмотрим примеры, поясняющие появление методической составляющей общей погрешности результата. Представим эксперимент по косвенному измерению мощности на активной нагрузке R методом амперметра и вольтметра (рис. 5). В результате простого перемножения показаний вольтметра UV и амперметра IА мы получаем не совсем то значение, которое следовало бы, поскольку в этом эксперименте возникает погрешность, определяемая не классами точности приборов, а другими их характеристиками (например, внутренними сопротивлениями) и методом их использования (например, схемой включения). Вольтметр в этой схеме реагирует на сумму (UR + UA), т.е. на сумму падений напряжений на нагрузке R и на внутреннем сопротивлении амперметра RA. Показания вольтметра UV, вычисленное Р и действительное Рд значения мощности, соответственно, равны: UV =IA(RA +R); P = UVIA; РД = I2R. Таким образом, в данном случае причина ошибки в наличии конечного (хоть и малого, но не нулевого) внутреннего сопротивления амперметра RA. Значение методической погрешности результата измерения мощности в абсолютном Δ и относительном δ видах в данном случае можно оценить следующим образом: Δ = P – Pд=I 2A RA; δ = Δ/ Pд ·100. Зная значение сопротивления амперметра RA, можно, во-первых, оценить значение методической погрешности для данного случая, а во-вторых, можно скорректировать (исправить) результат вычисления мощности. Рассмотрим количественный пример. Пусть в схеме рис. 5, а использован амперметр с внутренним сопротивлением RA = 10 Ом. Получены показания вольтметра и амперметра: UV = 250 В, 1А = 2 А. Вычисленная по этим показаниям мощность Р = UV IA = 500 Вт. ![]() а б Рис. 5. Возникновение методической погрешности при различном подключении приборов: а – вольтметр – амперметр; б – амперметр – вольтметр Абсолютная методическая погрешность Δ = IA RA = 4 · 10 = 40 Вт, что составляет 8 % результата измерения. Правда, в данном случае, при точном знании сопротивления RA, знак и значение этой погрешности известны точно. Таким образом, эту составляющую в этом примере можно практически полностью скомпенсировать (простым уменьшением вычисленного результата Р на значение Δ = 40 Вт). Отметим, что изменение схемы включения приборов (перенос амперметра ближе к источнику ЭДС Е, рис. 5, б) не исключает методическую погрешность, а просто несколько меняет ее природу. В этом случае причиной погрешности будет конечное (не бесконечно большое) внутреннее сопротивление RV вольтметра и, как следствие, текущий через него ток IV и, поэтому, несколько завышенное показание амперметра IA = IR + IV. Чем меньше отношение значений сопротивления амперметра RA и нагрузки R в схеме рис. 5, а, тем лучше, т.е. тем меньше погрешность. Для второй схемы (см. рис. 5, б), чем выше сопротивление вольтметра RV по сравнению с сопротивлением нагрузки R, тем лучше. Можно было бы по отдельности измерять напряжение и ток, поочередно включая вольтметр и амперметр. Но при такой организации эксперимента необходимо иметь уверенность, что измеряемые величины не изменяются в процессе эксперимента. Иначе может появиться значительная динамическая погрешность. ^ Эта составляющая общей погрешности результата возникает из-за конечных сопротивлений источника сигнала и прибора. На рис. 6 показан вольтметр, входное сопротивление RV которого хоть и велико, но не бесконечно. При подключении вольтметра к источнику ЭДС в цепи потечет ток I, определяемый значением ЭДС Еx, а также значениями внутреннего сопротивления источника Rи и входного сопротивления прибора RV. Поэтому измеряемое вольтметром напряжение UV всегда будет несколько меньше значения ЭДС Еx, что и приводит к появлению погрешности взаимодействия Δвз. ![]() Рис. 6. Погрешность взаимодействия источника напряжения Погрешность взаимодействия Δвз взаимодействия вольтметра и источника напряжения определяется и источника напряжения следующим образом: U = Еx RV / (Rи + RV ), Δвз = U – Еx = – Еx Rи /( Rи + RV ), Δвз ≈ – U Rи / RV , δвз ≈ – Rи / RV 100. При измерениях тока амперметрами также возникает погрешность взаимодействия (рис. 7). ![]() Рис. 7. Влияние амперметра на ток в цепи Рис. 8. Погрешность взаимодействия прибора и источника напряжения Амперметр имеет малое, но не нулевое внутреннее сопротивление RA, и при включении его в цепь ток в ней несколько уменьшается. Если пренебречь малым значением внутреннего сопротивления Rи, источника Е, считая, что оно гораздо меньше сопротивления нагрузки Rн (Rи << Rн), то можно говорить о том, что ток в цепи с включенным амперметром определяется отношением значения ЭДС Е к сумме сопротивлений нагрузки Rн и амперметра RA. А действительное значение тока Iд в замкнутой цепи без амперметра определяется только сопротивлением нагрузки Rн: I = E/(Rн + RA); Iд = E/ Rн. Разница между значениями токов (I – Iд) и есть погрешность взаимодействия Δвз прибора и объекта исследования в данном случае. Абсолютное и относительное значения погрешности взаимодействия равны соответственно: Δвз = I – Iд ≈ – ERA/Rн2; δвз ≈ – RA/Rн100. При работе с переменными напряжениями и токами эта составляющая общей погрешности может быть заметно больше. Рассмотрим, например, взаимодействие прибора и источника периодического напряжения. Поскольку входное сопротивление вольтметра (или осциллографа) в общем случае есть комплексное сопротивление Zвх, состоящее из активной части Rвх и емкостной Свх (рис. 8), то общее входное сопротивление есть параллельное соединение активного и емкостного сопротивлений. Погрешность взаимодействия прибора и источника периодического напряжения определяется следующим образом: Δвз = U – UД; Δвз ≈ – Rи U / Zвх; δвз ≈ – Rи / Zвх100. Погрешность взаимодействия в этом случае тем больше, чем меньше комплексное входное сопротивление ^ вх, т.е. чем меньше активная составляющая Rвх и чем больше значение входной емкости Свх. С ростом частоты сигнала емкостная составляющая Zвх сильно уменьшается, что приводит к увеличению погрешности взаимодействия. Правда, на низких частотах сигналов (а в электрических цепях промышленной частоты они сравнительно низкие – верхняя граница спектра обычно не выше сотен герц – единиц килогерц) емкостная составляющая Свх (обычно это десятки – сотни пикофарад) практически не проявляется и можно говорить только об активной составляющей Rвх общего входного сопротивления Zвх прибора. ^ Динамическая погрешность – это погрешность СИ, возникающая при измерении изменяющейся в процессе измерений физической величины. Предположение о статической модели объекта (без имеющихся на то оснований) может привести к большим ошибкам. Инерционность прибора при быстроменяющихся входных сигналах рождает динамическую погрешность результата измерения, а иногда и просто приводит к невозможности определить результат. Например: магнитоэлектрический амперметр не в состоянии зафиксировать кратковременный (длительностью менее 1 с) импульс тока. На рис. 9 показано возникновение динамической погрешности Δд при протекании через магнитоэлектрический измерительный механизм быстро меняющегося тока. На рис. 9 изображены кривая изменения тока i(t), текущего через механизм, и кривая изменения показаний α(t). Механическая инерционность подвижной части прибора приводит к неизбежному отставанию ее реакции при быстрых изменениях тока. Возникающая при этом динамическая погрешность Δд тем больше, чем выше скорость изменения i(t) и чем больше масса подвижной части. ![]() ![]() Рис.9. Динамическая погрешность Рис.10. Косвенное измерение мощности одним прибором Меняющиеся, исследуемые сигналы могут приводить к значительным погрешностям результатов косвенных измерений вследствие неодновременности выполнения различных исходных прямых измерений. Фактически это тоже динамическая погрешность, но в данном случае она определяется не быстродействием отдельных приборов, а скоростью изменения исследуемых параметров и особенностями организации эксперимента. Несинхронность получения отдельных исходных результатов измерения как следствие выбранного метода (подхода) заставляет относить эту погрешность также и к методической, поскольку она не зависит от характеристик (в частности, классов точности) самих приборов. Проиллюстрируем природу возникновения этой погрешности на примере косвенного измерения активной мощности в однофазной электрической цепи одним прибором – цифровым мультиметром с токовыми клещами. Поочередно (с некоторой естественной временной задержкой Δt) измеряются текущие действующие значения напряжения U и тока I, а затем вычисляется значение активной мощности Р (рис. 10). Предположим, что в момент времени t1 измерено действующее значение напряжения U(t1) = 220 В. Затем, скажем через 1 мин, в момент времени t2 этим же прибором измерено действующее значение тока I(t2) = 3,0 А. Далее, по результатам этих исходных прямых измерений вычисляется значение активной мощности (нагрузку считаем чисто активной): Р = U(t1) I(t2) = 220 · 3,0 = 660 Вт. Между тем, реальные значения активной мощности РР в моменты времени t1 и t2 были равны, соответственно: Р(t1) = U(t1) I(t2) = 220 · 3,3 = 726 Вт, PP(t2) = U(t2) I(t2) = 240 · 3,0 = 720 Вт. Таким образом, разница между вычисленным (660 Вт) и реальными (726 и 720 Вт) значениями активной мощности в данном случае составляет около 10 %. Причем это без учета инструментальной погрешности прибора, погрешности взаимодействия и др. Если аналогичная методика используется для оценки мощности в трехфазной электрической цепи, то ошибка может быть значительнее за счет большего общего времени задержки Δ t. ^ Различают нормальное (штатное, объяснимое, предсказуемое) проявление субъективности отсчитывания при фиксации результата измерения (отсчета) и ненормальное (непредсказуемое). Появление субъективной погрешности естественно и типично при работе с аналоговыми стрелочными приборами в виде погрешности отсчитывания. Погрешность отсчитывания в общем случае складывается из двух составляющих: погрешности интерполяции и погрешности параллакса. Первая составляющая – погрешность интерполяции – неизбежно возникает при любой попытке определить положение указателя (стрелки) отсчетного устройства между двумя соседними делениями на шкале, т. е. оценить значение части деления. При статочном навыке оператора эта составляющая может иметь значение ± (0,2... 0,1) веса одного деления. У цифровых приборов есть похожая по природе составляющая – погрешность квантования, но там она несубъективна. ^ возникает при неперпендикулярном взгляде на шкалу в момент определения положения стрелки. Чем больше расстояние между шкалой прибора и стрелкой, тем больше возможная погрешность параллакса ±Δ. Эта составляющая при тщательно выполняемом эксперименте также может быть сведена до значения ±(0,2...0,1) веса одного деления. В конструкции сравнительно точных стрелочных приборов (класс точности 0,5 и больше) для устранения погрешности параллакса в плоскости шкалы устанавливают зеркало. Такая зеркальная шкала позволяет обеспечить строго перпендикулярный взгляд на шкалу. Отсчитывание при этом необходимо производить таким образом, чтобы стрелка закрывала свое отражение в зеркале. У цифровых приборов погрешности отсчитывания принципиально нет. К субъективным же относятся и непредсказуемые заранее погрешности, вызванные грубыми ошибками (промахами), как следствие низкой квалификации оператора и/или его плохого самочувствия. Типичным примером такой субъективной погрешности является ошибка в отсчете и/или записи результата при работе с многодиапазонными приборами, а также – при работе с приборами с нелинейными шкалами. ^ Одно значение измеряемой величины (отдельный результат прямого измерения), получаемое в процессе измерительного эксперимента, называется наблюдением. Окончательный результат измерения в общем случае находят, выполняя обработку нескольких наблюдений. Процедура обработки заключается в общем случае в выполнении нескольких операций: исключение из ряда полученных наблюдений явно ошибочных, определение числового значения (оценки) собственно результата измерения (для косвенных измерений – по функциональной зависимости искомой величины от исходных), проведение статистической обработки, нахождение показателей точности измерения (оценки погрешности), выбор формы представления окончательного результата. При однократных (одиночных) прямых измерениях результат измерения совпадает с наблюдением. Запись окончательного (обработанного) результата любого измерения должна содержать численное значение результата, оценку суммарной погрешности измерения и значение доверительной вероятности рдов, соответствующее этой погрешности. Например, корректная запись результата измерения сопротивления R может выглядеть так: R = 106,2 Ом; Δ = ±2,5 Ом; рдов = 1. Погрешность результата следует записывать одной или двумя значащими цифрами, причем вес младшего значащего разряда в числе результата измерения должен совпадать с весом младшего значащего разряда в числе погрешности. Скажем, неправильно записывать окончательный результат измерения напряжения таким образом: U = 224,6 В; Δ = ±5 В; рдов = 1. ^ Различают однократные (одиночные) и многократные (множественные) прямые измерения. Однократные измерения – это самые простые по выполнению и обработке – наиболее распространены в практике технических измерений – и означают получение окончательного результата по одному разовому наблюдению (отсчету). Рассмотрим вопрос определения оценок основной, дополнительной (вызванной одной ВВ – температурой окружающей среды) и суммарной инструментальных погрешностей. Предположим, цифровым мультиметром с диапазоном измерения переменных напряжений 0...400 В получен результат измерения действующего значения напряжения в электрической цепи: U = 220,0 В. Класс точности прибора (предельное значение основной абсолютной погрешности Δп) на этом диапазоне задан таким образом: Δп = ± (0,005 Хк + 0,005 Х), где Хк – верхнее значение диапазона измерения (ХК = 400 В); X – измеренное значение (220,0 В). В паспорте на прибор записано «... дополнительная погрешность на каждые 10 °С отличия от номинальной температуры +20 °С равна половине основной погрешности в пределах диапазона рабочих температур окружающей среды от 0 до +50 °С». Температура окружающей среды во время эксперимента была зафиксирована равной + 35 °С. Все остальные ВВ, допустим, находились в пределах своих нормальных значений. Для решения задачи воспользуемся наиболее простым (детерминированным) подходом – оценкой по наихудшему случаю, т.е. определим максимально возможные значения погрешностей при заданных условиях с доверительной вероятностью рдов = 1. Предельное значение основной абсолютной погрешности: Δо = ±(0,005 · 400 + 0,005 · 220) = ±(2,0+ 1,1) = ±3,1 В. Предельное значение дополнительной абсолютной погрешности Δд определяется так: Δд =(1/2) Δо (35–20)/10 = ±(1/2) · 3,1 · 15/10 ≈ ±2,3 В. Суммарные инструментальные абсолютная Δ и относительная δ погрешности результата измерения: Δ = Δо + Δд ≈ ±(3,1+ 2,3) = ±5,4 В; δ ≈ ±5,4 /220 100 ≈ ±2,5 %. Напомним, что реальные погрешности могут иметь любые конкретные значения, не превышающие этих рассчитанных предельных значений. Правильная запись окончательного результата этого измерения выглядит так: Х = 220В, Δ =±5,4 В, рдов =1, где X – результат измерения; Δ – предельное значение суммарной инструментальной абсолютной погрешности; рдов – доверительная вероятность того, что реальное значение погрешности не превзойдет рассчитанного значения Δ (реальная инструментальная погрешность в данном эксперименте ни при каких обстоятельствах не может превысить по модулю значения 5,4 В). Отметим, что расчет суммарной погрешности результата измерения в общем случае предполагает нахождение максимально возможного числа составляющих (основной и дополнительной инструментальных, методической, взаимодействия, субъективной). ^ В многократных (множественных) прямых измерениях получают ряд наблюдений (в общем случае различных) одной и той же физической величины. При этом возможны две постановки задачи. Первая постановка задачи: измеряемая величина неизменна, а множество различных наблюдений (отдельных результатов измерения) вызваны, скажем, наличием у инструмента заметных случайных погрешностей. И тогда решаются вопросы, что принять за измеренное значение (за окончательный результат измерения) и как оценить суммарную погрешность результата. Вторая постановка задачи: сама измеряемая величина случайна и тогда решается вопрос определения оценки математического ожидания этой случайной величины и оценки ее среднего квадратического отклонения. Математический аппарат решения обеих задач фактически общий, однако существо постановки принципиально разное. Рассмотрим только первый случай как более распространенный в практике технических измерений. Допустим, имеем ряд наблюдений х1 х2, ..., хn, полученных одним прибором при измерении одной и той же неизменной величины X. Прибор имеет только случайную погрешность (его систематической погрешностью можно пренебречь Δс = 0). Тогда оценкой X* истинного значения измеряемой величины, т.е. результатом измерения, следует считать среднее арифметическое всех исходных наблюдений хi : ![]() Если же систематической погрешностью ![]() ![]() Если значение систематической погрешности Δс неизвестно, задача не имеет корректного решения. Мерой достоверности найденной оценки ![]() ![]() ![]() ![]() ^ Косвенные измерения в практике электрических измерений встречаются довольно часто. Вопрос оценки погрешности результата измерения – один из важнейших в таких экспериментах. Имея подробную исходную информацию о применяемых средствах измерения, измеряемых величинах и условиях проведения эксперимента, можно достаточно строго решить задачу оценки суммарной погрешности результата измерения. Правда, требуется четко оговаривать все допущения. Возможны два подхода к решению этой задачи: детерминированный и вероятностный, рассмотрим первый подход. ^ (иногда называемый методом наихудшего случая) более характерен для обычных технических измерений и экспресс-измерений с их обычно упрощенными моделями процессов и подходами. Перед рассмотрением этого подхода оговорим необходимые допущения: а) инструменты исправны, имеют реальные погрешности, соответствующие своим классам точности. Причем их погрешности – только систематические, т.е. не меняющиеся в течение данного эксперимента. Случайных погрешностей нет; б) исходные измеряемые величины характеризуются неизменными (в течение данного эксперимента) значениями основных параметров; в) условия работы СИ – нормальные или рабочие; г) функциональная зависимость искомой величины Y от исходных величин Хi, известна достаточно точно; д) оператор имеет достаточную квалификацию. Если интересующая нас величина Y связана с исходными величинами Хi, известной функциональной зависимостью F: Y =F(X1, X2,…, Xn ) и предельные значения абсолютных погрешностей Δi – определения каждой исходной величины Хi известны, то предельное значение абсолютной погрешности ΔY результата измерения искомой величины Y в общем случае можно определить по так называемой формуле накопления частных погрешностей: ΔY = ![]() где dF/dXi – частные производные функционала F по каждой исходной величине в точках, соответствующих найденным значениям величин Xi; Δi – предельные значения абсолютных погрешностей определения исходных величин Хi. Рассмотрим два частных, но довольно распространенных, случая функциональной зависимости F. ^ – функционал F имеет вид суммы. Если функциональная зависимость имеет вид Y= ![]() где ai – коэффициенты функциональной зависимости, то предельное значение абсолютной погрешности ΔY определяется по формуле ΔY = ![]() Относительная погрешность δY, %, при этом может быть найдена обычным образом: δY = ΔY /Y 100 . Например, если Y = 5Х1 + 2Х2 + Хъ, то ΔY = 5Δ1 + 2Δ2 + Δ3. Второй частный случай – функционал F имеет вид произведения. Если функциональная зависимость имеет вид Y = ![]() где П – знак произведения п сомножителей; αi – коэффициенты – показатели степени исходных величин Xi, то предельное значение относительной погрешности δY определяется по формуле ![]() ![]() где δi – предельные значения относительных погрешностей определения исходных величин Xi. Предельное значение абсолютной погрешности ΔY затем находится обычным образом: ΔY = δYY/100. Например, если функционал Y имеет вид Y = X12 X23/X35, то значение относительной погрешности δY = 2δ1 + 3δ2 + 5δ3. И хотя формально третье слагаемое должно входить в сумму со знаком минус, но, поскольку предельные значения отдельных погрешностей практически всегда симметричны (±), то в худшем случае (самое неблагоприятное сочетание значений и знаков всех составляющих) предел общей погрешности есть сумма модулей отдельных составляющих. ^ Рассмотрим пример расчета погрешности результата косвенного измерения активной мощности с помощью амперметра на нагрузке с известным значением сопротивления. При известных и постоянных значениях тока I в нагрузке и сопротивления R нагрузки активная мощность Р равна: Р = I2R. Значения величин I и R измеряются различными приборами со своими конкретными погрешностями, определяемыми, в частности, их классами точности. Погрешности этих исходных результатов могут быть найдены на основе паспортных данных и показаний используемых приборов (амперметра и омметра). Как показано ранее, для такого частного случая функциональной зависимости (функционал в виде произведения) суммарная предельная относительная погрешность δ может быть найдена как сумма предельных относительных погрешностей определения значения каждой составляющей с учетом их вклада в функционал: δ =2δI + δR. Предположим, что предельные относительные погрешности определения исходных величин, найденные по результатам прямых измерений тока и сопротивления и паспортным данным приборов, равны, соответственно, δI = ±1,5 %; δR = ±1 %. Тогда суммарная предельная относительная погрешность δ результата косвенного измерения мощности запишется в виде δ = ±(2·1,5 + 1) = ±4 %. Абсолютная суммарная погрешность Δ при уже найденном результате вычисления мощности Р может быть найдена обычным образом: Δ = δP/100. Конечно, в общем случае необходимо учитывать не только инструментальные погрешности (погрешности собственно приборов), но и возможные методические. |
![]() | Республики Беларусь Учреждение образования «Гродненский государственный... С. Е. Витун, заведующий кафедрой финансов и кредита уо «Гродненский государственный университет имени Янки Купалы», кандидат экономических... | ![]() | Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный... Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка» |
![]() | Учреждение образования «Гродненский государственный медицинский университет» Кафедра биохимии Рекомендовано Центральным научно-методическим советом уо “Гргму” (протокол № от 10. 06. 20010 г.) | ![]() | Министерство образования и науки РФ федеральное государственное бюджетное... «Московский государственный университет технологий и управления имени К. Г. Разумовского» |
![]() | Конкурс «Лучший инновационный проект студентов и аспирантов» проводится... «Чувашский государственный университет имени И. Н. Ульянова» в рамках всероссийского фестиваля науки, организуемого Министерством... | ![]() | Учреждение образования «гомельский государственный медицинский университет»... Т. М. Шаршакова, Н. П. Петрова, В. М. Дорофеев. ― Гомель: Учреждение образования «Гомельский государственный медицинский университет»,... |
![]() | Учреждение образования «гомельский государственный медицинский университет»... Т. М. Шаршакова, Н. П. Петрова, В. М. Дорофеев. ― Гомель: Учреждение образования «Гомельский государственный медицинский университет»,... | ![]() | Учреждение образования «гомельский государственный технический университет... Список использованных источников |
![]() | Государственное образвательное учреждение высшего профессионального образования Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королева” | ![]() | Кафедра акушерства и гинекологии Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «тамбовский государственный университет имени г.... |