Учреждение образования «гродненский государственный университет имени янки купалы» С. В. Васильев, В. И. Недолугов


НазваниеУчреждение образования «гродненский государственный университет имени янки купалы» С. В. Васильев, В. И. Недолугов
страница4/16
Дата публикации05.04.2013
Размер2.36 Mb.
ТипДокументы
userdocs.ru > Физика > Документы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16

^ 1.3.5. Методическая погрешность

Как известно, погрешность результата измерения определяется не только классом точности СИ. Источниками недостоверности результата могут быть и другие причины. Рассмотрим примеры, поясняющие появление методической составляющей общей по­грешности результата.

Представим эксперимент по косвенному измерению мощности на активной нагрузке R методом амперметра и вольтметра (рис. 5). В результате простого перемножения показаний вольт­метра UV и амперметра IА мы получаем не совсем то значение, которое следовало бы, поскольку в этом эксперименте возникает погрешность, определяемая не классами точности приборов, а другими их характеристиками (например, внутренними сопро­тивлениями) и методом их использования (например, схемой вклю­чения).

Вольтметр в этой схеме реагирует на сумму (UR + UA), т.е. на сумму падений напряжений на нагрузке R и на внутреннем со­противлении амперметра RA. Показания вольтметра UV, вычис­ленное Р и действительное Рд значения мощности, соответствен­но, равны:
UV =IA(RA +R); P = UVIA; РД = I2R.
Таким образом, в данном случае причина ошибки в наличии конечного (хоть и малого, но не нулевого) внутреннего сопротив­ления амперметра RA. Значение методической погрешности результата измерения мощности в абсолютном Δ и относительном δ ви­дах в данном случае можно оценить следующим образом:
Δ = P Pд=I 2A RA;

δ = Δ/ Pд ·100.
Зная значение сопротивления амперметра RA, можно, во-пер­вых, оценить значение методической погрешности для данного случая, а во-вторых, можно скорректировать (исправить) резуль­тат вычисления мощности.

Рассмотрим количественный пример. Пусть в схеме рис. 5, а использован амперметр с внутренним сопротивлением RA = 10 Ом. Получены показания вольтметра и амперметра: UV = 250 В, 1А = 2 А. Вычисленная по этим показаниям мощность Р = UV IA = 500 Вт.


а б

Рис. 5. Возникновение методической погрешности при различном подключении приборов: а – вольтметр – амперметр; б – амперметр – вольтметр
Абсолютная методическая погрешность Δ = IA RA = 4 · 10 = 40 Вт, что составляет 8 % результата измерения. Правда, в данном слу­чае, при точном знании сопротивления RA, знак и значение этой погрешности известны точно. Таким образом, эту составляющую в этом примере можно практически полностью скомпенсировать (простым уменьшением вычисленного результата Р на значение Δ = 40 Вт).

Отметим, что изменение схемы включения приборов (перенос амперметра ближе к источнику ЭДС Е, рис. 5, б) не исключает методическую погрешность, а просто несколько меняет ее приро­ду. В этом случае причиной погрешности будет конечное (не беско­нечно большое) внутреннее сопротивление RV вольтметра и, как следствие, текущий через него ток IV и, поэтому, несколько завы­шенное показание амперметра IA = IR + IV.

Чем меньше отношение значений сопротивления амперметра RA и нагрузки R в схеме рис. 5, а, тем лучше, т.е. тем меньше погрешность. Для второй схемы (см. рис. 5, б), чем выше со­противление вольтметра RV по сравнению с сопротивлением на­грузки R, тем лучше.

Можно было бы по отдельности измерять напряжение и ток, поочередно включая вольтметр и амперметр. Но при такой организации эксперимента необходимо иметь уверенность, что изме­ряемые величины не изменяются в процессе эксперимента. Иначе может появиться значительная динамическая погрешность.

^ 1.3.6. Погрешность взаимодействия

Эта составляющая общей погрешности результата возникает из-за конечных сопротивлений источника сигнала и прибора. На рис. 6 показан вольтметр, входное сопротивление RV кото­рого хоть и велико, но не бесконечно. При подключении вольт­метра к источнику ЭДС в цепи потечет ток I, определяемый значе­нием ЭДС Еx, а также значениями внутреннего сопротивления источника Rи и входного сопротивления прибора RV. Поэтому из­меряемое вольтметром напряжение UV всегда будет несколько мень­ше значения ЭДС Еx, что и приводит к появлению погрешности взаимодействия Δвз.



Рис. 6. Погрешность взаимодействия источника напряжения

Погрешность взаимодействия Δвз взаимодействия вольтметра и источника напряжения определяется и источника напряжения следующим образом:

U = Еx RV / (Rи + RV ), Δвз = UЕx = – Еx Rи /( Rи + RV ),
Δвз U Rи / RV , δвз Rи / RV 100.

При измерениях тока амперметрами так­же возникает погрешность взаимодействия (рис. 7).



Рис. 7. Влияние амперметра на ток в цепи Рис. 8. Погрешность взаимодействия прибора и источника напряжения

Амперметр имеет малое, но не нулевое внутреннее сопротив­ление RA, и при включении его в цепь ток в ней несколько умень­шается.

Если пренебречь малым значением внутреннего сопротивле­ния Rи, источника Е, считая, что оно гораздо меньше сопротивле­ния нагрузки Rн (Rи << Rн), то можно говорить о том, что ток в цепи с включенным амперметром определяется отношением зна­чения ЭДС Е к сумме сопротивлений нагрузки Rн и амперметра RA. А действительное значение тока Iд в замкнутой цепи без ампер­метра определяется только сопротивлением нагрузки Rн:

I = E/(Rн + RA); Iд = E/ Rн.

Разница между значениями токов (I Iд) и есть погрешность взаимодействия Δвз прибора и объекта исследования в данном случае. Абсолютное и относительное значения погрешности взаи­модействия равны соответственно:

Δвз = I Iд ERA/Rн2;

δвзRA/Rн100.

При работе с переменными напряжениями и токами эта со­ставляющая общей погрешности может быть заметно больше. Рас­смотрим, например, взаимодействие прибора и источника перио­дического напряжения. Поскольку входное сопротивление вольт­метра (или осциллографа) в общем случае есть комплексное со­противление Zвх, состоящее из активной части Rвх и емкостной Свх (рис. 8), то общее входное сопротивление есть параллельное со­единение активного и емкостного сопротивлений.

Погрешность взаимодействия прибора и источника периоди­ческого напряжения определяется следующим образом:

Δвз = UUД; ΔвзRи U / Zвх; δвзRи / Zвх100.

Погрешность взаимодействия в этом случае тем больше, чем меньше комплексное входное сопротивление ^ Zвх, т.е. чем меньше активная составляющая Rвх и чем больше значение входной ем­кости Свх. С ростом частоты сигнала емкостная составляющая Zвх сильно уменьшается, что приводит к увеличению погрешности вза­имодействия.

Правда, на низких частотах сигналов (а в электрических цепях промышленной частоты они сравнительно низкие верхняя гра­ница спектра обычно не выше сотен герц единиц килогерц) емкостная составляющая Свх (обычно это десятки сотни пикофарад) практически не проявляется и можно говорить только об активной составляющей Rвх общего входного сопротивления Zвх прибора.

^ 1.3.7. Динамическая погрешность

Динамическая погрешность – это погрешность СИ, возникаю­щая при измерении изменяющейся в процессе измерений физи­ческой величины.

Предположение о статической модели объекта (без имеющихся на то оснований) может привести к большим ошибкам. Инерцион­ность прибора при быстроменяющихся входных сигналах рождает динамическую погрешность результата измерения, а иногда и просто приводит к невозможности определить результат. Например: маг­нитоэлектрический амперметр не в состоянии зафиксировать крат­ковременный (длительностью менее 1 с) импульс тока.

На рис. 9 показано возникновение динамической погреш­ности Δд при протекании через магнитоэлектрический измери­тельный механизм быстро меняющегося тока. На рис. 9 изобра­жены кривая изменения тока i(t), текущего через механизм, и кри­вая изменения показаний α(t). Механическая инерционность под­вижной части прибора приводит к неизбежному отставанию ее реакции при быстрых изменениях тока. Возникающая при этом динамическая погрешность Δд тем больше, чем выше скорость изменения i(t) и чем больше мас­са подвижной части.


Рис.9. Динамическая погрешность Рис.10. Косвенное измерение мощности одним прибором

Меняющиеся, исследуемые сигналы могут приводить к зна­чительным погрешностям ре­зультатов косвенных измерений вследствие неодновременности выполнения различных исходных прямых измерений. Факти­чески это тоже динамическая по­грешность, но в данном случае она определяется не быстродействием отдельных приборов, а скоростью изменения исследуе­мых параметров и особенностя­ми организации эксперимента. Несинхронность получения от­дельных исходных результатов измерения как следствие выбран­ного метода (подхода) заставля­ет относить эту погрешность так­же и к методической, посколь­ку она не зависит от характери­стик (в частности, классов точ­ности) самих приборов.

Проиллюстрируем природу возникновения этой погрешности на примере косвенного измерения активной мощности в однофаз­ной электрической цепи одним прибором цифровым мультиметром с токовыми клещами. Поочередно (с некоторой естествен­ной временной задержкой Δt) измеряются текущие действующие значения напряжения U и тока I, а затем вычисляется значение активной мощности Р (рис. 10).

Предположим, что в момент времени t1 измерено действующее значение напряжения U(t1) = 220 В. Затем, скажем через 1 мин, в момент времени t2 этим же прибором измерено действующее зна­чение тока I(t2) = 3,0 А. Далее, по результатам этих исходных пря­мых измерений вычисляется значение активной мощности (нагрузку считаем чисто активной):

Р = U(t1) I(t2) = 220 · 3,0 = 660 Вт.

Между тем, реальные значения активной мощности РР в моменты времени t1 и t2 были равны, соответственно:

Р(t1) = U(t1) I(t2) = 220 · 3,3 = 726 Вт,

PP(t2) = U(t2) I(t2) = 240 · 3,0 = 720 Вт.

Таким образом, разница между вычисленным (660 Вт) и ре­альными (726 и 720 Вт) значениями активной мощности в дан­ном случае составляет около 10 %. Причем это без учета ин­струментальной погрешности прибора, погрешности взаимодей­ствия и др.

Если аналогичная методика используется для оценки мощно­сти в трехфазной электрической цепи, то ошибка может быть зна­чительнее за счет большего общего времени задержки Δ t.

^ 1.3.8. Субъективная погрешность

Различают нормальное (штатное, объяснимое, предсказуемое) проявление субъективности отсчитывания при фиксации результа­та измерения (отсчета) и ненормальное (непредсказуемое). Появле­ние субъективной погрешности естественно и типично при работе с аналоговыми стрелочными приборами в виде погрешности отсчи­тывания. Погрешность отсчитывания в общем случае складывается из двух составляющих: погрешности интерполяции и погрешности параллакса.

Первая составляющая погрешность интерполяции – неизбежно возникает при любой попытке определить положение указателя (стрелки) отсчетного устройства между двумя соседними делениями на шкале, т. е. оценить значение части де­ления. При статочном навыке оператора эта составляющая может иметь значение ± (0,2... 0,1) веса одного деления. У цифро­вых приборов есть похожая по природе составляющая погреш­ность квантования, но там она несубъективна.

^ Погрешность параллакса возникает при неперпендикулярном взгляде на шкалу в момент определения положения стрелки. Чем больше расстояние между шкалой прибора и стрел­кой, тем больше возможная погрешность параллакса ±Δ. Эта составляющая при тщательно выполняемом эксперименте также может быть сведена до значения ±(0,2...0,1) веса одного деле­ния. В конструкции сравнительно точных стрелочных приборов (класс точности 0,5 и больше) для устранения погрешности па­раллакса в плоскости шкалы устанавливают зеркало. Такая зер­кальная шкала позволяет обеспечить строго перпендикулярный взгляд на шкалу. Отсчитывание при этом необходимо производить таким образом, чтобы стрелка закрывала свое отражение в зеркале.

У циф­ровых приборов погрешности отсчитывания принципиально нет.

К субъективным же относятся и непредсказуемые заранее по­грешности, вызванные грубыми ошибками (промахами), как след­ствие низкой квалификации оператора и/или его плохого само­чувствия. Типичным примером такой субъективной погрешности является ошибка в отсчете и/или записи результата при работе с многодиапазонными приборами, а также при работе с прибо­рами с нелинейными шкалами.

^ 1.4. Обработка результатов измерений

Одно значение измеряемой величины (отдельный результат пря­мого измерения), получаемое в процессе измерительного экспе­римента, называется наблюдением. Окончательный результат изме­рения в общем случае находят, выполняя обработку нескольких наблюдений.

Процедура обработки заключается в общем случае в выполне­нии нескольких операций: исключение из ряда полученных на­блюдений явно ошибочных, определение числового значения (оценки) собственно результата измерения (для косвенных изме­рений по функциональной зависимости искомой величины от исходных), проведение статистической обработки, нахождение показателей точности измерения (оценки погрешности), выбор формы представления окончательного результата. При однократ­ных (одиночных) прямых измерениях результат измерения совпа­дает с наблюдением.

Запись окончательного (обработанного) результата любого из­мерения должна содержать численное значение результата, оцен­ку суммарной погрешности измерения и значение доверительной вероятности рдов, соответствующее этой погрешности. Например, корректная запись результата измерения сопротивления R может выглядеть так:

R = 106,2 Ом; Δ = ±2,5 Ом; рдов = 1.

Погрешность результата следует записывать одной или двумя значащими цифрами, причем вес младшего значащего разряда в числе результата измерения должен совпадать с весом младшего значащего разряда в числе погрешности. Скажем, неправильно за­писывать окончательный результат измерения напряжения таким образом: U = 224,6 В; Δ = ±5 В; рдов = 1.

^ 1.4.1. Обработка прямых измерений

Различают однократные (одиночные) и многократные (множе­ственные) прямые измерения.

Однократные измерения это самые простые по выполнению и обработке наиболее распространены в практике технических из­мерений и означают получение окончательного результата по одному разовому наблюдению (отсчету).

Рассмотрим вопрос определения оценок основной, допол­нительной (вызванной одной ВВ температурой окружающей среды) и суммарной инструментальных погрешностей. Предпо­ложим, цифровым мультиметром с диапазоном измерения пе­ременных напряжений 0...400 В получен результат измерения действующего значения напряжения в электрической цепи: U = 220,0 В. Класс точности прибора (предельное значение основной абсолютной погрешности Δп) на этом диапазоне задан таким об­разом:
Δп = ± (0,005 Хк + 0,005 Х),

где Хк верхнее значение диапазона измерения (ХК = 400 В); X измеренное значение (220,0 В).

В паспорте на прибор записано «... дополнительная погрешность на каждые 10 °С отличия от номинальной температуры +20 °С равна половине основной погрешности в пределах диапазона рабочих температур окружающей среды от 0 до +50 °С». Температура окру­жающей среды во время эксперимента была зафиксирована рав­ной + 35 °С. Все остальные ВВ, допустим, находились в пределах своих нормальных значений.

Для решения задачи воспользуемся наиболее простым (детер­минированным) подходом оценкой по наихудшему случаю, т.е. определим максимально возможные значения погрешностей при заданных условиях с доверительной вероятностью рдов = 1. Пре­дельное значение основной абсолютной погрешности:

Δо = ±(0,005 · 400 + 0,005 · 220) = ±(2,0+ 1,1) = ±3,1 В.

Предельное значение дополнительной абсолютной погрешно­сти Δд определяется так:

Δд =(1/2) Δо (3520)/10 = ±(1/2) · 3,1 · 15/10 ≈ ±2,3 В.

Суммарные инструментальные абсолютная Δ и относительная δ погрешности результата измерения:

Δ = Δо + Δд ≈ ±(3,1+ 2,3) = ±5,4 В; δ ≈ ±5,4 /220  100 ≈ ±2,5 %.

Напомним, что реальные погрешности могут иметь любые кон­кретные значения, не превышающие этих рассчитанных предель­ных значений.

Правильная запись окончательного результата этого измерения выглядит так:

Х = 220В, Δ =±5,4 В, рдов =1,

где X результат измерения; Δ предельное значение суммарной инструментальной абсолютной погрешности; рдов доверитель­ная вероятность того, что реальное значение погрешности не пре­взойдет рассчитанного значения Δ (реальная инструментальная погрешность в данном эксперименте ни при каких обстоятельствах не может превысить по модулю значения 5,4 В).

Отметим, что расчет суммарной погрешности результата из­мерения в общем случае предполагает нахождение максимально возможного числа составляющих (основной и дополнительной инструментальных, методической, взаимодействия, субъектив­ной).
^ 1.4.2. Многократные прямые измерения

В многократных (множественных) прямых измерениях получают ряд наблюдений (в общем случае различных) одной и той же фи­зической величины. При этом возможны две постановки задачи.

Первая постановка задачи: измеряемая величина неизменна, а множество различных наблюдений (отдельных результатов изме­рения) вызваны, скажем, наличием у инструмента заметных слу­чайных погрешностей. И тогда решаются вопросы, что принять за измеренное значение (за окончательный результат измерения) и как оценить суммарную погрешность результата.

Вторая постановка задачи: сама измеряемая величина случайна и тогда решается вопрос определения оценки математического ожи­дания этой случайной величины и оценки ее среднего квадратического отклонения. Математический аппарат решения обеих за­дач фактически общий, однако существо постановки принципи­ально разное.

Рассмотрим только первый случай как более распространен­ный в практике технических измерений. Допустим, имеем ряд на­блюдений

х1 х2, ..., хn, полученных одним прибором при измере­нии одной и той же неизменной величины X. Прибор имеет только случайную погрешность (его систематической погрешностью можно пренебречь Δс = 0). Тогда оценкой X* истинного значения измеря­емой величины, т.е. результатом измерения, следует считать сред­нее арифметическое всех исходных наблюдений хi :

.

Если же систематической погрешностью пренебречь нельзя и ее значение, предположим, известно, то необходимо скоррек­тировать полученный результат:

.

Если значение систематической погрешности Δс неизвестно, задача не имеет корректного решения.

Мерой достоверности найденной оценки служит оценка сред­него квадратического отклонения (сигма малая) этого средне­го арифметического :
.

^ 1.4.3. Обработка косвенных измерений

Косвенные измерения в практике электрических измерений встречаются довольно часто. Вопрос оценки погрешности резуль­тата измерения один из важнейших в таких экспериментах. Имея подробную исходную информацию о применяемых средствах из­мерения, измеряемых величинах и условиях проведения экспери­мента, можно достаточно строго решить задачу оценки суммарной погрешности результата измерения. Правда, требуется четко ого­варивать все допущения. Возможны два подхода к решению этой задачи: детерминированный и вероятностный, рассмотрим пер­вый подход.

^ Детерминированный подход (иногда называемый методом наи­худшего случая) более характерен для обычных технических изме­рений и экспресс-измерений с их обычно упрощенными моделя­ми процессов и подходами. Перед рассмотрением этого подхода оговорим необходимые допущения:

а) инструменты исправны, имеют реальные погрешности, соот­ветствующие своим классам точности. Причем их погрешности только систематические, т.е. не меняющиеся в течение данного эксперимента. Случайных погрешностей нет;

б) исходные измеряемые величины характеризуются неизмен­ными (в течение данного эксперимента) значениями основных параметров;

в) условия работы СИ нормальные или рабочие;

г) функциональная зависимость искомой величины Y от исходных величин Хi, известна достаточно точно;

д) оператор имеет достаточную квалификацию.

Если интересующая нас величина Y связана с исходными вели­чинами Хi, известной функциональной зависимостью F:

Y =F(X1, X2,, Xn )

и предельные значения абсолютных погрешностей Δi определения каждой исходной величины Хi известны, то предельное значение абсолютной погрешности ΔY результата измерения искомой вели­чины Y в общем случае можно определить по так называемой фор­муле накопления частных погрешностей:

ΔY =

где dF/dXi частные производные функционала F по каждой исходной величине в точках, соответствующих найденным значениям величин Xi; Δi предельные значения абсолютных погрешностей определения исходных величин Хi.

Рассмотрим два частных, но довольно распространенных, слу­чая функциональной зависимости F.

^ Первый частный случай функционал F имеет вид суммы. Если функциональная зависимость имеет вид

Y= ,

где ai коэффициенты функциональной зависимости, то пре­дельное значение абсолютной погрешности ΔY определяется по формуле

ΔY =.

Относительная погрешность δY, %, при этом может быть найдена обычным образом:

δY = ΔY /Y 100 .

Например, если Y = 5Х1 + 2 + Хъ, то ΔY = 5Δ1 + 2 + Δ3.

Второй частный случай функционал F имеет вид произведе­ния. Если функциональная зависимость имеет вид

Y =,

где П знак произведения п сомножителей; αi коэффициенты показатели степени исходных величин Xi, то предельное значение относительной погрешности δY определяется по формуле

= ,

где δi предельные значения относительных погрешностей опре­деления исходных величин Xi.

Предельное значение абсолютной погрешности ΔY затем находится обычным образом:

ΔY = δYY/100.

Например, если функционал Y имеет вид

Y = X12 X23/X35,

то значение относительной погрешности

δY = 1 + 2 + 3.

И хотя формально третье слагаемое должно входить в сумму со знаком минус, но, поскольку предельные значения отдельных погрешностей практически всегда симметричны (±), то в худшем случае (самое неблагоприятное сочетание значений и знаков всех составляющих) предел общей погрешности есть сумма модулей отдельных составляющих.

^ 1.4.4. Расчет погрешности результата косвенного измерения

Рассмотрим пример расчета погрешности результата косвенно­го измерения активной мощности с помощью амперметра на на­грузке с известным значением сопротивления. При известных и постоянных значениях тока I в нагрузке и сопротивления R на­грузки активная мощность Р равна:

Р = I2R.

Значения величин I и R измеряются различными приборами со своими конкретными погрешностями, определяемыми, в частно­сти, их классами точности. Погрешности этих исходных результа­тов могут быть найдены на основе паспортных данных и показа­ний используемых приборов (амперметра и омметра).

Как показано ранее, для такого частного случая функциональ­ной зависимости (функционал в виде произведения) суммарная предельная относительная погрешность δ может быть найдена как сумма предельных относительных погрешностей определения зна­чения каждой составляющей с учетом их вклада в функционал:

δ =I + δR.

Предположим, что предельные относительные погрешности определения исходных величин, найденные по результатам пря­мых измерений тока и сопротивления и паспортным данным при­боров, равны, соответственно, δI = ±1,5 %; δR = ±1 %. Тогда сум­марная предельная относительная погрешность δ результата кос­венного измерения мощности запишется в виде

δ = ±(2·1,5 + 1) = ±4 %.

Абсолютная суммарная погрешность Δ при уже найденном ре­зультате вычисления мощности Р может быть найдена обычным образом:

Δ = δP/100.

Конечно, в общем случае необходимо учитывать не только ин­струментальные погрешности (погрешности собственно приборов), но и возможные методические.


1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16

Похожие:

Учреждение образования «гродненский государственный университет имени янки купалы» С. В. Васильев, В. И. Недолугов iconРеспублики Беларусь Учреждение образования «Гродненский государственный...
С. Е. Витун, заведующий кафедрой финансов и кредита уо «Гродненский государственный университет имени Янки Купалы», кандидат экономических...
Учреждение образования «гродненский государственный университет имени янки купалы» С. В. Васильев, В. И. Недолугов iconРеспублики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный...
Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка»
Учреждение образования «гродненский государственный университет имени янки купалы» С. В. Васильев, В. И. Недолугов iconУчреждение образования «Гродненский государственный медицинский университет» Кафедра биохимии
Рекомендовано Центральным научно-методическим советом уо “Гргму” (протокол № от 10. 06. 20010 г.)
Учреждение образования «гродненский государственный университет имени янки купалы» С. В. Васильев, В. И. Недолугов iconМинистерство образования и науки РФ федеральное государственное бюджетное...
«Московский государственный университет технологий и управления имени К. Г. Разумовского»
Учреждение образования «гродненский государственный университет имени янки купалы» С. В. Васильев, В. И. Недолугов iconКонкурс «Лучший инновационный проект студентов и аспирантов» проводится...
«Чувашский государственный университет имени И. Н. Ульянова» в рамках всероссийского фестиваля науки, организуемого Министерством...
Учреждение образования «гродненский государственный университет имени янки купалы» С. В. Васильев, В. И. Недолугов iconУчреждение образования «гомельский государственный медицинский университет»...
Т. М. Шаршакова, Н. П. Петрова, В. М. Дорофеев. ― Гомель: Учреждение образования «Гомельский государственный медицинский университет»,...
Учреждение образования «гродненский государственный университет имени янки купалы» С. В. Васильев, В. И. Недолугов iconУчреждение образования «гомельский государственный медицинский университет»...
Т. М. Шаршакова, Н. П. Петрова, В. М. Дорофеев. ― Гомель: Учреждение образования «Гомельский государственный медицинский университет»,...
Учреждение образования «гродненский государственный университет имени янки купалы» С. В. Васильев, В. И. Недолугов iconУчреждение образования «гомельский государственный технический университет...
Список использованных источников
Учреждение образования «гродненский государственный университет имени янки купалы» С. В. Васильев, В. И. Недолугов iconГосударственное образвательное учреждение высшего профессионального образования
Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королева”
Учреждение образования «гродненский государственный университет имени янки купалы» С. В. Васильев, В. И. Недолугов iconКафедра акушерства и гинекологии
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «тамбовский государственный университет имени г....
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница