Лекція 19


НазваниеЛекція 19
страница1/13
Дата публикации01.05.2013
Размер1.15 Mb.
ТипЛекція
userdocs.ru > Физика > Лекція
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13
2-й семестр

Лекція 19.

1. Электростатическое поле в вакууме

1.1 Дискретность электрического заряда. Закон сохранения электрического заряда

Источником электромагнитного поля служит электрический заряд ЁC внутренняя характеристика элементарной частицы, определяющая ее способность вступать в электромагнитные взаимодействия. Различают два вида электрических зарядов ЁC положительный и отрицательный. Электрический заряд дискретен ЁC заряд любого тела составляет целое кратное от элементарного электрического заряда e=1,6„Є10-19 Кл. По знаку заряда все элементарные частицы можно разделить на два класса: отрицательно заряженные (например, электрон) и положительно заряженные (протон, позитрон и др.). Один из фундаментальных строгих законов природы ЁC закон сохранения электрического заряда: алгебраическая сумма электрических зарядов любой замкнутой (электрически изолированной) системы остается постоянной, какие бы процессы ни происходили внутри этой системы.

1.2 Закон Кулона. Напряженность электрического поля

Взаимодействие между неподвижными электрическими зарядами осуществляется посредством электрического поля. Представление об электрическом поле было введено в 30-х годах XIX в. английским физиком М. Фарадеем. Согласно Фарадею каждый покоящийся заряд создает вокруг себя электрическое поле; поле одного заряда действует на другой заряд, и наоборот, ЁC так осуществляется взаимодействие между зарядами.

Сила взаимодействия между двумя точечными неподвижными зарядами определяется законом Кулона: два точечных неподвижных заряда взаимодействуют друг с другом с силой, пропорциональной произведению зарядов и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

µ §,(1.1)где k - постоянная, зависящая от выбора системы единиц. Сила Кулона направлена по линии, соединяющей заряды. По третьему закону Ньютона кулоновские силы приложены к разным зарядам и направлены либо навстречу друг другу (если заряды разноименные), либо в противоположные стороны (если заряды одинакового знака). В СИ постоянная µ §, где ѓХ0 - электрическая постоянная СИ, ѓХ0=8,85„Є10-12 Кл2/(Н„Єм2).

Таким образом, для зарядов, расположенных в вакууме, закон Кулона имеет вид

µ §.(1.2)Электрический заряд в СИ измеряется в кулонах. Один кулон - это такой заряд, который протекает через поперечное сечение проводника за 1с при неизменной силе тока, равной 1А.

Силовой характеристикой электрического поля является напряженность µ § ЁC векторная величина, модуль которой равен силе, действующей со стороны электростатического поля на единичный заряд; а направление совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд

µ §(1.3)Поскольку сила, действующая на заряд, помещенный в среду с диэлектрической проницаемостью ѓХ, уменьшается в ѓХ раз, то при переходе из вакуума в среду напряженность поля также уменьшается в ѓХ раз:

µ §,(1.4)где Ес ЁC напряженность электростатического поля в среде.

Если электростатическое поле создается несколькими зарядами, то в соответствии с принципом суперпозиции суммарная напряженность поля в некоторой точке определяется как векторная сумма напряженностей, создаваемых в этой точке отдельными зарядами:

µ §µ §(1.5)1.3. Расчёт напряжённости поля точечного заряда и электрического диполя

1.3.1. Напряженность поля точечного заряда

Рис. 1.1

Поместим в точку А (рис. 1.1), находящуюся на расстоянии r от заряда Q, пробный заряд q и найдем силу взаимодействия между ними по закону Кулона. Тогда напряженность поля, создаваемого зарядом Q на расстоянии r, на основании (1.2) и (1.5) может быть найдена по формуле

µ §.(1.6)Если заряд расположен в среде с диэлектрической проницаемостью ѓХ, то

µ §.(1.7)1.3.2. Напряженность поля электрического диполя

Электрическим диполем называется совокупность двух точечных, одинаковых по величине, но противоположных по знаку зарядов, жестко закрепленных на расстоянии l друг от друга (рис. 1.2). Расстояние l называется плечом диполя, а вектор

µ §(1.8)µ §

Рис. 1.2

дипольным моментом (электрическим моментом диполя). Дипольный момент направлен вдоль оси диполя в сторону положительного заряда (рис. 1.2).Найдем теперь напряженность поля диполя, ограничиваясь случаем r>>l.
А. Напряженность поля в точке, находящейся на продолжении оси диполя

В соответствии с принципом суперпозиции напряженность поля в точке А (рис. 1.3)

µ §

Рис. 1.3

µ §

где µ § и µ § ЁC напряженность поля, создаваемого соответственно зарядами +Q и -Q. Поскольку векторы µ § и µ § направлены в противоположные стороны, то модуль вектора µ § будетµ §µ §, где в соответствии с (1.6) µ §. Таким образом, µ §.

Выражение в скобках преобразуем следующим образом. Из рис. 1.3 видно, что µ §, где r ЁC расстояние между точкой А и центром диполя. Далее имеем

µ §.

Поскольку r>>l, то значением µ § в знаменателе можно пренебречь, поэтомуµ §;

µ §.Так как Ql есть дипольный момент, то µ §

Б. Напряженность поля на перпендикуляре оси диполя

µ §

Рис. 1.4

Из рис. 1.4 видно, чтоµ §.Далееµ §,µ §,

Следовательно, µ §, где Pl=Ql ЁC дипольный момент. Таким образом,

µ §.(1.10)Из сопоставления (1.9) и (1.10) видно, что напряженность поля на оси диполя в 2 раза больше, чем на перпендикуляре к его оси. Отметим также, что напряженность поля диполя убывает как 1/r 3, т.е. быстрее, чем для точечного заряда, где Eѓо1/r 2.

1.4. Силовые линии. Поток вектора напряженности. Теорема Остроградского-Гаусса

Силовой линией электростатического поля называется линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора µ § (рис. 1.5).

Рис. 1.5

Свойства силовых линий:

а) силовые линии электростатического поля не пересекаются;

б) силовые линии электростатического поля разомкнуты - они начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных (или уходят в бесконечность).

Введем понятие потока вектора напряженности поля µ §. По определению элементарный поток вектора напряженности через площадку dS

µ §(1.11)где ѓС - угол между вектором µ § и нормалью к площадке (рис. 1.6).

Выражение (1.11) можно представить как скалярное произведение

µ §(1.12)где µ § ЁC единичный вектор, совпадающий с нормалью.

Суммарный поток вектора напряженности через какую-либо поверхность можно найти интегрированием (11.12) для всей поверхности µ § для замкнутой поверхности µ §

Важнейшую роль в электростатике играет теорема Остроградского   Гаусса, которая формулируется следующим образом: поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности:

µ §, (1.13)

Рис. 1.6
Доказательство. Рассмотрим простейший случай, когда замкнутая поверхность представляет собой сферу, в центре которой находится точечный заряд +Q (рис. 1.7). Выделим на сфере элементарную площадку dS. Нормаль к этой площадке и вектор µ § совпадают по направлению, поэтому µ §.

Рис. 1.7

Преобразуем подынтегральное выражение в (1.13) следующим образом:

µ §,

Принимая во внимание, что всюду на поверхности сферы E=const, и учитывая выражение (11.6), получим:

µ §

Теорема доказана для частного случая, когда внутри сферической поверхности имеется один заряд. Доказательство легко обобщается на случай произвольного числа зарядов и произвольной замкнутой поверхности.

В суммарном потоке, который создают заряды, расположенные за пределами замкнутой поверхности, можно выделить положительную и отрицательную части, которые взаимно компенсируются. Поэтому внешние по отношению к данной замкнутой поверхности заряды в теореме Остроградского ЁC Гаусса не учитываются.

Теорема Остроградского-Гаусса связывает заряды с создаваемыми ими электрическими полями и отражает тот факт, что источником электростатического поля служат неподвижные электрические заряды.

Эта теорема тесно связана с законом Кулона: если справедлив закон Кулона, то справедлива и теорема Остроградского-Гаусса, и наоборот. Если бы в законе Кулона показатель степени хотя бы незначительно отличался от двух, т.е. Fѓо1/r2+б, где б ЁC сколь угодно малое число, то теорема Остроградского-Гаусса нарушалась бы. Справедливость теоремы Остроградского-Гаусса проверена на опыте с гораздо большей точностью, чем закон Кулона.

1.5. Применение теоремы Остроградского-Гаусса для расчета полей

Теорема Остроградского-Гаусса в ряде случаев позволяет сравнительно просто рассчитать напряженность электростатического поля при заданном распределении зарядов. Рассмотрим несколько примеров.

1.5.1. Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости

Пусть имеется бесконечная равномерно заряженная плоскость с поверхностной плотностью заряда

µ § [Кл/м2]

Из соображений симметрии следует, что вектор µ § должен быть перпендикулярным к плоскости. Выберем замкнутую поверхность в виде цилиндра, боковая поверхность которого ориентирована вдоль вектора µ § (рис. 11.8). Суммарный поток вектора µ §, очевидно, составляет


Рис. 1.8

µ §.

Поток через боковую поверхность равен нулю, так как µ §ѓО µ § (рис. 1.8):

µ §.µ §

Поток через основание цилиндра:

µ §.

Таким образом, полный поток вектора Е через замкнутую поверхность µ §.

По теореме Остроградского-Гаусса µ §. Отсюда напряженность поля

µ §, (1.14)

Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью, не зависит от расстояния до нее. Поле, в котором вектор напряженности одинаков по величине и направлению, называется однородным.

11.5.2. Поле двух бесконечных равномерно заряженных плоскостей

Рассчитаем напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными плоскостями, равномерно заряженными с поверхностной плотностью заряда +у и -у (рис. 11.9).

Рис. 1.9

Согласно принципу суперпозиции суммарная напряженность поля

µ §,

где µ § и µ § ЁC напряженность поля, создаваемого соответственно положительно и отрицательно заряженными плоскостями.

В областях пространства I и III (рис. 1.9) векторы µ § и µ § направлены в противоположные стороны, поэтому суммарная напряженность µ §

В области II µ § и µ § параллельны и равны по модулю, поэтомуµ §.Используя предыдущий результат, получим µ §.

Аналогично можно показать, что если плоскости заряжены одноименно, то во внешних областях I и III напряженность поля определяется формулой (11.I5), а во внутренней области I µ §, что используется для электростатической защиты приборов.

11.5.3. Напряженность поля бесконечной равномерно заряженной нити с линейной плотностью заряда

µ §[Кл/м]

Рис. 1.10

Используя теорему Остроградского-Гаусса, можно показать, что в этом случае

µ §.(1.16)При выводе формулы (1.16) следует выбрать замкнутую поверхность в виде цилиндра (рис. 1.10) и учесть, что вектор µ § перпендикулярен к нити и поэтому поток вектора µ § через основания цилиндра равен нулю.

11.6. Работа по перемещению заряда в электростатическом поле. Теорема о циркуляции вектора µ §

Найдем элементарную работу по перемещению заряда q в поле, создаваемом зарядом Q:

µ §где ѓС ЁC угол между силой µ § и направлением перемещения µ §.

Из рис. 1.11 видно, что µ §.поэтому µ §

Суммарную работу но перемещению заряда q из точки А в точку B получим интегрированием выражения (11.17). Используя закон Кулона, получаемµ §. Окончательно

µ §, (1.18)

Если заряд перемещается из точки A в точку B по другому пути, то, проделав такие же выкладки, снова придем к формуле (11.18). Следовательно, работа в электростатическом поле не зависит от формы пути, а зависит лишь от выбора начальной и конечной точки. Кроме того, как видно из (11.18), работа по перемещению заряда в электростатическом поде по замкнутому контуру равна нулю, т.е. µ §, (1.19)


Рис. 1.11

Эти признаки означают, что электростатическое поле является потенциальным. В соответствии с результатом, полученным в §  3.3, работу потенциальных (консервативных) сил можно выразить через разность потенциальных энергий:

Из сопоставления (11.18) и (11.20) заключаем, что потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов

µ §.(1.20)µ §.(1.21)Введем теперь энергетическую характеристику электростатического поля ЁC потенциал. Потенциалом называется скалярная величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда, помещенного в данную точку поля:

µ §.(1.22)Единицей потенциала электростатического поля является вольт. Один вольт ЁC это потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией в 1 Дж: 1 В = 1 Дж/Кл.

Потенциал поля точечного заряда найдем, подставив (1.21) в (1.22):

µ §.(1.23)И, наконец, с помощью (1.22) выражение (1.20) для работы по перемещению заряда в электростатическом поле из одной точки в другую можно представить как произведение заряда на разность потенциалов:

µ §.(1.24)Преобразуем теперь выражение (11.19) следующим образом:

µ §.(1.25)где учтено, что сила, действующая на заряд в электростатическом поле,

µ §.(1.26)а кружок означает, что интегрирование проводится по замкнутому контуру.

Из (1.25) следует

µ §.(1.27)Интеграл, фигурирующий в (1.27), называется циркуляцией напряженности электростатического поля. Из (1.27) видно, что циркуляция вектора µ § равна нулю. Этот результат получен из того факта, что работа в электростатическом поле не зависит от формы пути. Поэтому равенство нулю циркуляции вектора µ § есть также признак того, что электростатическое поле является потенциальным.

11.7. Связь между напряженностью поля и потенциалом

Поскольку электростатическое поле является потенциальным, то для него выполняется соотношение (3.17), устанавливающее связь между консервативной силой ж потенциальное энергией. Если в формулу (3.17) подставить µ §,µ § то получимµ § , (1.28)

т.е. напряженность электростатического поля равна градиенту потенциала, взятому со знаком "ЁC''. Знак "ЁC" указывает, что напряженность поля направлена в сторону убыли потенциала.

Введем понятие эквипотенциальной поверхности, т.е. поверхности, в любой точке которой значение потенциала одно и то же: ц=const. Для поля точечного заряда эквипотенциальные поверхности имеют сферическую форму, для равномерно заряженной нити ЁC цилиндрическую и т. д. Вектор напряженности поля µ § всегда перпендикулярен к эквипотенциальной поверхности.

Если потенциал является функцией только одной координаты x, то выражение (1.28) упрощается:

µ §(1.29)где j ЁC единичный вектор, направленный вдоль оси х.Спроектируем (1.29) на ось x.

µ §(1.30)Для однородного электростатического поля (например, поля плоского конденсатора) выражение (2.30) упрощается:

.µ §(1.31)где x ЁC расстояние между точками поля, где потенциалы соответственно равны ц1 и ц2.

Формула (2.30) играет в приложениях двоякую роль. С одной стороны, зная распределение потенциала в пространстве, можно найти напряженность поля в любой точки. А с другой, наоборот, если известна напряженность поля, можно найти потенциал

µ §.(1.32)Проиллюстрируем применение формулы (11.32) на примерах.

1. Поле точечного заряда

µ §.(1.33)2. Поле электрического диполя на его оси

µ §.(1.34)3. Поле электрического диполя на перпендикуляре к его оси

µ §.(1.35)4. Поле заряженной нити

µ §.(1.36)5. Поле конденсатора

µ §.(1.37)

Лекція 20.

2. Электростатическое поле в диэлектрике

2.1. Поляризация диэлектриков

К диэлектрикам относится группа веществ, не проводящих электрический ток. Точнее, при равных условиях электропроводность диэлектриков в 1015-1020 раз ниже, чем у проводников (металлов). В отличие от проводников у диэлектриков нет свободных носителей зарядов, т.е. заряженных частиц, способных перемещаться под действием внешнего электрического поля, приводя к возникновению электрического тока. Однако у диэлектриков имеются “связанные” заряды, которые локализованы на отдельных атомах (молекулах). “Связанные” заряды не могут участвовать в электропроводности, но при внесении диэлектрика во внешнее электростатическое поле они смещаются от положения равновесия и при этом внутри объёма диэлектрика возникает внутреннее электрическое поле.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13

Похожие:

Лекція 19 iconРасписание пар групп ы 1Д на 2 семестр Понедельник 1 Інф пошукові...
Тдп ауд. 203 Стаднік І. В. (лекція) / Констутуц право Укр. Ауд. 203 Нікольська О. В. (лекція)
Лекція 19 iconЛекція Програмне забезпечення для аналізу діяльності торгового підприємства

Лекція 19 iconЛекція Програмне забезпечення для ведення обліку складської та торгової діяльності

Лекція 19 iconЛекція №3
Зм методика викладання образотворчого мистецтва в початкових класах як педагогічна наука І навчальний предмет
Лекція 19 iconЛекція 1 Тема: Київська Русь та Галицько-Волинське князівство
Місцеве самоврядування органів української державності у складі Російської держави
Лекція 19 iconЛекція 5
Примітка. Величини, зазначені в дужках, допускаються з урахуванням конкретної ситуації. Природні води містять різну кількість хімічних...
Лекція 19 iconЛекція з а 26 «Вагаюся з відповіддю»
...
Лекція 19 iconЛекція 8 система оподаткування підприємницької діяльності в україні
Податок на прибуток, додану вартість, акцизний збір, мито та інші загальнодержавні податки, збори І платежі
Лекція 19 iconЛекція 8 Інтерполяція
Для того щоб задача мала розв’язок та лише єдиний, будемо шукати функцію як поліном ступеня не вище :, такий, що,,…
Лекція 19 iconЛекція 9 Інтерполювання з кратними вузлами
При побудові інтерполяційних поліномів можна використати не лише значення функції у вузлах, а й значення її похідних
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница