Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности в статистике называется вариацией признака

Лекция №6 Показатели вариации. Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности в статистике называется вариацией признака. Она возникает в результате того, что его индивидуальные значения складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов, которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае. Средняя величина — это абстрактная, обобщающая характеристика признака изучаемой совокупности, но она не показывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя величина не дает представления о том, как отдельные значения изучаемого признака группируются вокруг средней, сосредоточены ли они вблизи или значительно отклоняются от нее. В некоторых случаях отдельные значения признака близко примыкают к средней арифметической и мало от нее отличаются. В таких случаях средняя хорошо представляет всю совокупность. В других, наоборот, отдельные значения совокупности далеко отстают от средней, и средняя плохо представляет всю совокупность. Колеблемость отдельных значений характеризуют показатели вариации. Термин "вариация" произошел от латинского variatio –“изменение, колеблемость, различие”. Однако не всякие различия принято называть вариацией. Под вариацией в статистике понимают такие количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов. Различают вариацию признака: случайную и систематическую. Анализ систематической вариации позволяет оценить степень зависимости изменений в изучаемом признаке от определяющих ее факторов. Например, изучая силу и характер вариации в выделяемой совокупности, можно оценить, насколько однородной является данная совокупность в количественном, а иногда и качественном отношении, а следовательно, насколько характерной является исчисленная средняя величина. Степень близости данных отдельных единиц хi к средней измеряется рядом абсолютных, средних и относительных показателей. ^ Абсолютные и средние показатели вариации и способы их расчета. Для характеристики совокупностей и исчисленных величин важно знать, какая вариация изучаемого признака скрывается за средним. Для характеристики колеблемости признака используется ряд показателей. Наиболее простой из них - размах вариации. Размах вариации - это разность между наибольшим () и наименьшим () значениями вариантов. Пример 1. Таблица 6.1 Группы предприятий по объему товарооборота, млн.руб. Число предприятий 90 — 100 28 100 — 110 48 110 — 120 20 120 — 130 4 ИТОГО 100 Определяем показатель размаха вариации: R = Этот показатель улавливает только крайние отклонения и не отражает отклонений всех вариант в ряду. Чтобы дать обобщающую характеристику распределению отклонений, исчисляют среднее линейное отклонение d, которое учитывает различие всех единиц изучаемой совокупности. Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая из отклонений индивидуальных значений от средней, без учета знака этих отклонений: . Порядок расчета среднего линейного отклонения следующий: 1) по значениям признака исчисляется средняя арифметическая: ; 2) определяются отклонения каждой варианты от средней ; 3) рассчитывается сумма абсолютных величин отклонений: ; 4) сумма абсолютных величин отклонений делится на число значений: . Пример 2. Таблица 6.2 Табельный номер рабочего // 1 2 2 3 3 12 4 15 5 18 Итого 50 d== Если данные наблюдения представлены в виде дискретного ряда распределения с частотами, среднее линейное отклонение исчисляется по формуле средней арифметической взвешенной: Порядок расчета среднего линейного отклонения взвешенного следующий: 1) вычисляется средняя арифметическая взвешенная: ; 2) определяются абсолютные отклонения вариант от средней //; 3) полученные отклонения умножаются на частоты ; 4) находится сумма взвешенных отклонений без учета знака: ; 5) сумма взвешенных отклонений делится на сумму частот: . ^ Расчет дисперсии и среднего квадратического отклонения по индивидуальным данным и в рядах распределения. Основными обобщающими показателями вариации в статистике являются дисперсии и среднее квадратическое отклонение. Дисперсия - это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней. Дисперсия обычно называется средним квадратом отклонений и обозначается . В зависимости от исходных данных дисперсия может вычисляться по средней арифметической простой или взвешенной: — дисперсия невзвешенная (простая); — дисперсия взвешенная. Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии и обозначается S: — среднее квадратическое отклонение невзвешенное; — среднее квадратическое отклонение взвешенное. ^ Среднее квадратическое отклонение - это обобщающая характеристика абсолютных размеров вариации признака в совокупности. Выражается оно в тех же единицах измерения, что и признак (в метрах, тоннах, процентах, гектарах и т.д.). Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю представляемую совокупность. Вычислению среднего квадратического отклонения предшествует расчет дисперсии. Порядок расчета дисперсии взвешенную: 1) определяют среднюю арифметическую взвешенную ; 2) определяются отклонения вариант от средней ; 3) возводят в квадрат отклонение каждой варианты от средней ; 4) умножают квадраты отклонений на веса (частоты) ; 5) суммируют полученные произведения ; 6) Полученную сумму делят на сумму весов . Пример 3. Таблица 6.3. Произведено продукции одним рабочим, шт. ( варианта) Число рабочих, 8 7 9 10 10 15 11 12 12 6 ИТОГО 50 Исчислим среднюю арифметическую взвешенную: . Значения отклонений от средней и их квадратов представлены в таблице 6.3. Определим дисперсию: = Среднее квадратическое отклонение будет равно: . Если исходные данные представлены в виде интервального ряда распределения, то сначала надо определить дискретное значение признака, а далее применить тот же метод, что изложен выше. Пример 4. Покажем расчет дисперсии для интервального ряда на данных о распределении посевной площади колхоза по урожайности пшеницы: Таблица 6.4 Урожайность пшеницы, ц/га Посевная площадь, га 14 - 16 100 16 - 18 300 18 - 20 400 20 - 22 200 ИТОГО 1000 Средняя арифметическая равна: . Исчислим дисперсию: Расчет дисперсии по формуле по индивидуальным данным и в рядах распределения. Техника вычисления дисперсии сложна, а при больших значениях вариант и частот может быть громоздкой. Расчеты можно упростить, используя свойства дисперсии. Свойства дисперсии. Уменьшение или увеличение весов (частот) варьирующего признака в определенное число раз дисперсии не изменяет. Уменьшение или увеличение каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину А дисперсии не изменяет. Уменьшение или увеличение каждого значения признака в какое-то число раз к соответственно уменьшает или увеличивает дисперсию в раз, а среднее квадратическое отклонение - в к раз. Дисперсия признака относительно произвольной величины всегда больше дисперсии относительно средней арифметической на квадрат разности между средней и произвольной величиной: . Если А равна нулю, то приходим к следующему равенству: , т.е. дисперсия признака равна разности между средним квадратом значений признака и квадратом средней. Каждое свойство при расчете дисперсии может быть применено самостоятельно или в сочетании с другими. Порядок расчета дисперсии простой: 1) определяют среднюю арифметическую ; 2) возводят в квадрат среднюю арифметическую; 3) возводят в квадрат каждую варианту ряда ; 4) находим сумму квадратов вариант ; 5) делят сумму квадратов вариант на их число, т.е. определяют средний квадрат ; 6) определяют разность между средним квадратом признака и квадратом средней . Пример 5. Имеются следующие данные о производительности труда рабочих: Таблица 6.4 Табельный номер рабочего Произведено продукции, шт. 1 8 2 9 3 10 4 11 5 12 ИТОГО 50 Произведем следующие расчеты: . Пример 6. Определить дисперсию в дискретном ряду распределения, используя табл. 6.5. Таблица 6.5. Произведено продукции 1 рабочим, шт. (х) Число рабочих, n 8 7 9 10 10 15 11 12 12 6 ИТОГО 50 Получим тот же результат, что в табл. 6.3. Рассмотрим расчет дисперсии в интервальном ряду распределения. Порядок расчета дисперсии взвешенной (по формуле ): определяют среднюю арифметическую ; возводят в квадрат полученную среднюю ; возводят в квадрат каждую варианту ряда ; умножают квадраты вариант на частоты ; суммируют полученные произведения ; делят полученную сумму на сумму весов и получают средний квадрат признака ; определяют разность между средним значением квадратов и квадратом средней арифметической, т.е. дисперсию . Пример 7. Имеются следующие данные о распределении посевной площади колхоза по урожайности пшеницы: Таблица 6.6 Урожайность пшеницы, ц/га Посевная площадь, га 14 - 16 100 16 - 18 300 18 - 20 400 20 - 22 200 ИТОГО 1000 В подобных примерах прежде всего определяется дискретное значение признака в каждом интервале, а затем применяется метод расчета, указанный выше: Средняя величина отражает тенденцию развития, т.е. действие главных причин. Среднее квадратическое отклонение измеряет силу воздействия прочих факторов. ^ Показатели относительного рассеивания. Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях (различные единицы наблюдения одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних, при сравнении разноименных совокупностей). Расчет показателей меры относительного рассеивания осуществляют как отношение абсолютного показателя рассеивания к средней арифметической, умножаемое на 100%. 1. ^ Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней. (1) 2. Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины. (2) 3. Коэффициент вариации. (3) Учитывая, что среднеквадратическое отклонение дает обобщающую характеристику колеблемости всех вариантов совокупности, коэффициент вариации является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин. При этом исходят из того, что если V больше 40 %, то это говорит о большой колеблемости признака в изучаемой совокупности.

Похожие:

	Задание Мода это а наиболее часто повторяемый вариант в совокупности... При увеличении значений частот в средней арифметической взвешенной в 2 раза значение средней величины признака		3 Анализ временных рядов 4 Основные понятия и определения Совокупность наблюдений некоторого явления (показателя), упорядоченная в зависимости от последовательности значений другого явления...
	20. Вариация альтернативного признака В статистике помимо показателей вариации количественных признаков широко используются показатели вариации качественных признаков...		Лабораторная работа №4 тема 3: статистические распределения и их основные характеристики Статистическое описание совокупности было бы неполным, если ограничиваться лишь показателями центральной тенденции: средними величинами,...
	Ряды динамики Рядом динамики называется последовательность значений статистического показателя (признака), упорядоченная в хронологическом порядке,...		Средние величины и показатели вариации При увеличении значений частот в средней арифметической взвешенной в 2 раза значение средней величины признака
	Разобрать задачу-эталон. Ответить на контрольные вопросы и тестовые задания в данном Оценить размер признака в совокупности, изменяющегося по сво­ей величине, позволяет лишь его обобщающая характеристика, назы- j ваемая...		23. Изучение форм распределения признака Из нашей статистики известно, что если увеличивается объем совокупности и снижается интервал группировки, то полигон или гистограмма...
	11. Расчет средней по интерв. Вариац. Ряду Вариационные ряды могут быть и интервальными. В этом случае для расчета средней полезно вспомнить, что арифметическая средняя как...		4. Абсолютные и относительные Статистический показатель представляет собой обобщающую количественную характеристику какого-либо свойства совокупности, группы....