Лабораторная работа №1

При
^

Лабораторная работа № 2
Вычисление приближенных значений функций с помощью разложения в ряд

Цель работы:

1. 
   Изучение численных методов вычисления значения функций с помощью степенных рядов.
   
2. 
   Решение практических задач, составление и отладка программ.
   

Теоретические сведения по теме работы

Пусть функция действительной переменной представляется в виде ряда:

f(x) = U₀(x) + U₁(x) + U₂(x) + … +U_n(x)+… (1)

В частности это может быть ряд Тейлора:

(2)

или при х₀ = 0 ряд Маклорена:



При различных вычислениях сумму ряда (2) заменяют ее частичной суммой, т.е. рассматривают сумму конечного числа первых членов ряда и получают приближенную формулу f(x) ≈  S_n(x).

Разность R_n(x) = f(х) – S_n(x) – остаточный член ряда и представляет собой погрешность, возникающую при замене значения функции f(x) значением частичной суммы S_n(x).

Остаточный член ряда Тейлора может быть выражен в форме Лагранжа

, где

Для вычисления f(x) при заданном значении x₀ вычисляют частичную сумму ряда. При вычислениях значений слагаемых - членов рядов происходят округления промежуточных результатов значений слагаемых. Отсюда следует, что к погрешности R_n(x) прибавляется погрешность при вычислении S_n(x). Если необходимо вычислить f(х) с точностью , то выбирают три положительных числа ₁, ₂, ₃ такие, что ₁ + ₂ + ₃ = . Число членов ряда выбирают настолько большим, чтобы |R_n(x)|≤  . Каждое из слагаемых U_k(x), где k = 0, l, 2, 3, ..., n, вычисляют с абсолютной погрешностью не большей /n .Задача вычисления суммы бесконечного ряда - это типичный пример итерационного циклического процесса. Ряд t₀, t₁, …, t_n … сходится, если сумма S_n(х)= t₀ + t₁ + … + t_n его первых (n+l) слагаемых при n→∞ стремится к некоторому пределу S, называемому суммой ряда. Общий член t_n сходящегося ряда при этом стремится к 0,



Следовательно, последовательность S₁(x), S₂(x), .... .S_n(x) является искомой последовательностью значений. Итерационные вычисления прекращаются при выполнении условия: |S_n(x) - S_n-1(x)| < s или |t_n| < s.

Примеры разложения некоторых элементарных функций.













Задания для самостоятельного выполнения

Задание.

1. Составить программу вычисления значения функции с помощью степенного ряда.

2. Провести вычисление по программе.

3. Сравнить численное решение с результатами, полученными стандартными методами программы Mathcad.

Исходные данные

Вычислить значение функции с помощью степенного ряда с точностью 10^-5: