Лабораторная работа №1


Скачать 357.72 Kb.
НазваниеЛабораторная работа №1
страница2/12
Дата публикации05.03.2013
Размер357.72 Kb.
ТипЛабораторная работа
userdocs.ru > Информатика > Лабораторная работа
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12
^

Лабораторная работа № 3
Уточнение значения корня уравнения вида F(x)=0


Цель работы:

Изучение численных методов решения уравнений вида F(x) итерационными методами.

Теоретические сведения по теме работы

Пусть дано уравнение f(x) = 0, где функция f(x) непрерывна на отрезке [ab] и дифференцируема на интервале ]a, b[. Всякое число x* [a, b], такое, что f(x*) = 0, называется корнем уравнения на отрезке [a, b]. Предположим, что найден отрезок [a, b] такой, что f(a) · f(b) < 0. Тогда согласно теореме Больцано-Коши внутри отрезка [a, b] существует точка c, в которой значение функции равно нулю, т.е. f(с) = 0, c  (ab). Итерационные методы состоят в построении последовательности вложенных отрезков {[anbn]  [anbn]  [an-1bn-1]  [ab]}, на концах которых функция принимает значения разных знаков. Процесс построения последовательности отрезков позволяет найти корень уравнения f(x) = 0 (нуль функции f(x)) c любой заданной точностью.

Под численным методом решения уравнений понимают метод нахождения численных значений корней уравнения с заданной точностью. Этот процесс состоит из следующих этапов: а) отделение корней; б) уточнение с заданной точностью значений корней.

Отделение корней производится графическим методом или методом проб. Уточнение корня производится следующими методами: методом простых итераций, методом хорд, методом касательных, методом дихотомии, методом проб, комбинированными методами.
^

Метод простых итераций (метод последовательных приближений)


Метод простых итераций решения уравнения f(x) = 0 состоит в замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением x = (x) и построении последовательности xn+1 = (xn), сходящейся при   к точному решению. Сформулируем достаточные условия сходимости метода простых итераций.

Теорема. ^ Пусть функция (x) определена и дифференцируема на [a, b], причем все ее значения (x)  [a, b]. Тогда, если существует число q такое, что, что (x)  q < 1 на отрезке [a, b], то последовательность xn+1 = (xn), (n = 0, 1, 2, …) сходится к единственному на [a, b] решению уравнения x = (x) при любом начальном значении x0  [a, b], т.е.



При этом, если на отрезке [a, b] производная (x) > 0, то



если (x) < 0, то

Опишем один шаг итерации. Исходя из найденного на предыдущем шаге значения xn-1, вычисляем = (xn-1). Если y – xn-1> , полагают xn =y и выполняют очередную итерацию. Если же  xn-1< , то вычисления заканчивают и за приближенное значение корня принимают величину xn = y. Погрешность полученного результата зависит от знака производной (x). При (x) > 0 корень найден с погрешностью  = q/(1 – q), если (x) < 0, то погрешность не превышает .

Метод допускает простую геометрическую интерпретацию. Построим графики функций = x и y = (x). Корнем x* уравнения x = (x) является абсцисса точки пересечения кривой y = (x) и прямой = x (рис. 2).



a) b)

Рис. 2

Взяв в качестве начальной произвольную точку x0[ab], строим ломаную линию. Абсциссы вершин этой ломаной представляют собой последовательные приближения корня x*. Из рисунков видно, что если (x) < 0 на отрезке [ab], то последовательные приближения xn = (xn-1) колеблются около корня x*, если же (x) > 0, то последовательные приближения сходятся к корню монотонно.

При использовании метода итерации основным моментом является выбор функции (x) в уравнении = (x), эквивалентном исходному. Для метода итерации следует подбирать функцию (x) так, чтобы (x) q<1. При этом следует помнить, что скорость сходимости последовательности {xn} к корню x* тем выше, чем меньше число q.

О приведении уравнения F(x) = 0 к виду = (x)

Один из методов приведения уравнения F(x) = 0 к уравнению вида = (x) заключается в следующем:

  1. Обе части уравнения F(x) = 0 умножают на некоторое число  0.

  2. Прибавляют к обеим частям уравнения x.

Получили уравнение вида = x · F(x). Для сходимости итерационной последовательности функция (x) = x · F(x) должна удовлетворять условиям теоремы о сходимости. Следовательно число С в уравнении должно быть специально подобранным:



Если

Если

Оценка погрешности итерационных вычислений

Если итерационная последовательность сходится к корню уравнения = (x), то каждый член итерационной последовательности является приближенным значением корня x*. Оценка точности приближения, т.е. величины |x* - xk| проводится по формуле: где xk, xk-1 – соседние члены итерационной последовательности, x* - точное значение корня уравнения F(x) = 0,

Как только получено значение x*, что выполняется неравенство |x* - xk| < , вычисление прекращают и в качестве приближения к корню x* с точностью выбирают xk.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12

Похожие:

Лабораторная работа №1 iconЛабораторная работа №3
Цель занятия: Работа в программе Проводник. Работа в системе окон Мой компьютер; быстрый поиск объектов; настройки пользовательского...
Лабораторная работа №1 iconЛабораторная работа №1
Работа в интегрированной среде borland pascal на примере программ линейной структуры
Лабораторная работа №1 iconЛабораторная работа № Работа с массивами и записями
Получить представление о том, что такое массив и научиться разрабатывать алгоритмы решения задач с использованием массивов в среде...
Лабораторная работа №1 iconЛабораторная работа Работа с почтовым клиентом
Майкрософт. Office Outlook 2010 помогает пользователям лучше распоряжаться временем и информацией, устанавливать любые контакты,...
Лабораторная работа №1 iconЛабораторная работа №6 Работа с отчетами
Получить практические навыки работы с отчетами в бд microsoft Office Access 2003, научиться создавать отчеты и задавать параметры...
Лабораторная работа №1 iconЛабораторная работа

Лабораторная работа №1 iconЛабораторная работа №3 Работа с данными в таблицах
Получить практические навыки работы с данными в бд microsoft Office Access 2003, научиться применять фильтры для отбора необходимых...
Лабораторная работа №1 iconЛабораторная работа №1 по рцб: «Практические основы Интернет-трейдинга»

Лабораторная работа №1 iconЛабораторная работа №1 «Анализ полной стоимости в логистике» По дисциплине: «Логистика»

Лабораторная работа №1 iconЛабораторная работа №74
Технология получения отверстия в заготовке электроэрозионной (электроискровой) обработкой
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница