Лабораторная работа №1
Скачать 357.72 Kb.
|
| Лабораторная работа № 3Уточнение значения корня уравнения вида F(x)=0 Метод простых итераций (метод последовательных приближений) Пусть функция |
| ^ Цель работы: Изучение численных методов решения уравнений вида F(x) итерационными методами. Теоретические сведения по теме работы Пусть дано уравнение f(x) = 0, где функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале ]a, b[. Всякое число x* [a, b], такое, что f(x*) = 0, называется корнем уравнения на отрезке [a, b]. Предположим, что найден отрезок [a, b] такой, что f(a) · f(b) < 0. Тогда согласно теореме Больцано-Коши внутри отрезка [a, b] существует точка c, в которой значение функции равно нулю, т.е. f(с) = 0, c (a, b). Итерационные методы состоят в построении последовательности вложенных отрезков {[an, bn] [an, bn] [an-1, bn-1] [a, b]}, на концах которых функция принимает значения разных знаков. Процесс построения последовательности отрезков позволяет найти корень уравнения f(x) = 0 (нуль функции f(x)) c любой заданной точностью. Под численным методом решения уравнений понимают метод нахождения численных значений корней уравнения с заданной точностью. Этот процесс состоит из следующих этапов: а) отделение корней; б) уточнение с заданной точностью значений корней. Отделение корней производится графическим методом или методом проб. Уточнение корня производится следующими методами: методом простых итераций, методом хорд, методом касательных, методом дихотомии, методом проб, комбинированными методами. ^ Метод простых итераций решения уравнения f(x) = 0 состоит в замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением x = (x) и построении последовательности xn+1 = (xn), сходящейся при n → ∞ к точному решению. Сформулируем достаточные условия сходимости метода простых итераций. Теорема. ^ (x) определена и дифференцируема на [a, b], причем все ее значения (x) [a, b]. Тогда, если существует число q такое, что, что (x) q < 1 на отрезке [a, b], то последовательность xn+1 = (xn), (n = 0, 1, 2, …) сходится к единственному на [a, b] решению уравнения x = (x) при любом начальном значении x0 [a, b], т.е.  При этом, если на отрезке [a, b] производная (x) > 0, то  если (x) < 0, то  Опишем один шаг итерации. Исходя из найденного на предыдущем шаге значения xn-1, вычисляем y = (xn-1). Если y – xn-1> , полагают xn =y и выполняют очередную итерацию. Если же y – xn-1< , то вычисления заканчивают и за приближенное значение корня принимают величину xn = y. Погрешность полученного результата зависит от знака производной (x). При (x) > 0 корень найден с погрешностью = q/(1 – q), если (x) < 0, то погрешность не превышает . Метод допускает простую геометрическую интерпретацию. Построим графики функций y = x и y = (x). Корнем x* уравнения x = (x) является абсцисса точки пересечения кривой y = (x) и прямой y = x (рис. 2).   a) b) Рис. 2 Взяв в качестве начальной произвольную точку x0[a, b], строим ломаную линию. Абсциссы вершин этой ломаной представляют собой последовательные приближения корня x*. Из рисунков видно, что если (x) < 0 на отрезке [a, b], то последовательные приближения xn = (xn-1) колеблются около корня x*, если же (x) > 0, то последовательные приближения сходятся к корню монотонно. При использовании метода итерации основным моментом является выбор функции (x) в уравнении x = (x), эквивалентном исходному. Для метода итерации следует подбирать функцию (x) так, чтобы (x) q<1. При этом следует помнить, что скорость сходимости последовательности {xn} к корню x* тем выше, чем меньше число q. О приведении уравнения F(x) = 0 к виду x = (x) Один из методов приведения уравнения F(x) = 0 к уравнению вида x = (x) заключается в следующем:
Получили уравнение вида x = x + C · F(x). Для сходимости итерационной последовательности функция (x) = x + C · F(x) должна удовлетворять условиям теоремы о сходимости. Следовательно число С в уравнении должно быть специально подобранным:  Если  Если  Оценка погрешности итерационных вычислений Если итерационная последовательность сходится к корню уравнения x = (x), то каждый член итерационной последовательности является приближенным значением корня x*. Оценка точности приближения, т.е. величины |x* - xk| проводится по формуле:  где xk, xk-1 – соседние члены итерационной последовательности, x* - точное значение корня уравнения F(x) = 0, Как только получено значение x*, что выполняется неравенство |x* - xk| < , вычисление прекращают и в качестве приближения к корню x* с точностью выбирают xk. |
Похожие:
 | Лабораторная работа №3 Цель занятия: Работа в программе Проводник. Работа в системе окон Мой компьютер; быстрый поиск объектов; настройки пользовательского... | | Лабораторная работа №1 Работа в интегрированной среде borland pascal на примере программ линейной структуры |
| Лабораторная работа № Работа с массивами и записями Получить представление о том, что такое массив и научиться разрабатывать алгоритмы решения задач с использованием массивов в среде... | | Лабораторная работа Работа с почтовым клиентом Майкрософт. Office Outlook 2010 помогает пользователям лучше распоряжаться временем и информацией, устанавливать любые контакты,... |
| Лабораторная работа №6 Работа с отчетами Получить практические навыки работы с отчетами в бд microsoft Office Access 2003, научиться создавать отчеты и задавать параметры... | | Лабораторная работа |
| Лабораторная работа №3 Работа с данными в таблицах Получить практические навыки работы с данными в бд microsoft Office Access 2003, научиться применять фильтры для отбора необходимых... | | Лабораторная работа №1 по рцб: «Практические основы Интернет-трейдинга» |
| Лабораторная работа №1 «Анализ полной стоимости в логистике» По дисциплине: «Логистика» | | Лабораторная работа №74 Технология получения отверстия в заготовке электроэрозионной (электроискровой) обработкой |