Лабораторная работа №1


Скачать 357.72 Kb.
НазваниеЛабораторная работа №1
страница4/12
Дата публикации05.03.2013
Размер357.72 Kb.
ТипЛабораторная работа
userdocs.ru > Информатика > Лабораторная работа
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12
^

Метод Ньютона (метод касательных)


Эффективным методом повышения точности решения уравнения f(x) = 0, является метод Ньютона (метод касательных). Метод состоит в построении итерационной последовательности , сходящейся к корню уравнения f(x) = 0. Сформулируем достаточные условия сходимости метода.

Теорема. ^ Пусть f(x) определена и дважды дифференцируема на [a, b], причем f(af(b) < 0, а производные '(x), ''(x) сохраняют знак на отрезке [a, b], тогда, исходя из начального приближения x0 Є [a, b], удовлетворяющего неравенству (x0''(x0) > 0, можно построить последовательность

, n = 0,1,2,…,

сходящуюся к единственному на [a, b] решению x* уравнения f(x) = 0.

Метод Ньютона допускает простую геометрическую интерпретацию, если через точку с координатами (xn;f (xn)), провести касательную, то абсцисса точки пересечения этой касательной с осью Ox и есть очередное приближение xn+1 корня уравнения f(x) = 0.

Для оценки погрешности n-го приближения корня можно воспользоваться неравенством



где M2 – наибольшее значение модуля второй производной |''(x)| на отрезке[a, b]; m1 – наименьшее значение модуля первой производной |f ΄(x)| на отрезке [a, b]. таким образом, если |xn – xn-1e, то |x*  xn M2 e2 / (2m1). Последнее соотношение означает, что при хорошем начальном приближении корня после каждой итерации число верных десятичных знаков в очередном приближении удваивается, т.е. процесс сходится очень быстро. Значит, если необходимо найти корень с точностью ε, то итерационный процесс можно прекращать, когда



Опишем один шаг итераций. Если на ( 1)-м шаге очередное приближение xn-1 не удовлетворяет условию окончания процесса, то вычисляем величины f(xn-1), f ΄(xn-1) и следующее приближение корня xn = xn-1 – f(xn-1) / f ΄(xn-1). При выполнении условия



величину xn принимаем за приближенное значение корня x*, вычисленное с точностью e.

Метод Ньютона эффективен, если известно хорошее начальное приближение для корня и в окрестности корня график функции имеет большую крутизну. В том случае процесс быстро сходится. Если же численное значение производной f ΄(x) вблизи корня мало, то процесс вычисления корня может оказаться очень долгим.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12

Похожие:

Лабораторная работа №1 iconЛабораторная работа №3
Цель занятия: Работа в программе Проводник. Работа в системе окон Мой компьютер; быстрый поиск объектов; настройки пользовательского...
Лабораторная работа №1 iconЛабораторная работа №1
Работа в интегрированной среде borland pascal на примере программ линейной структуры
Лабораторная работа №1 iconЛабораторная работа № Работа с массивами и записями
Получить представление о том, что такое массив и научиться разрабатывать алгоритмы решения задач с использованием массивов в среде...
Лабораторная работа №1 iconЛабораторная работа Работа с почтовым клиентом
Майкрософт. Office Outlook 2010 помогает пользователям лучше распоряжаться временем и информацией, устанавливать любые контакты,...
Лабораторная работа №1 iconЛабораторная работа №6 Работа с отчетами
Получить практические навыки работы с отчетами в бд microsoft Office Access 2003, научиться создавать отчеты и задавать параметры...
Лабораторная работа №1 iconЛабораторная работа

Лабораторная работа №1 iconЛабораторная работа №3 Работа с данными в таблицах
Получить практические навыки работы с данными в бд microsoft Office Access 2003, научиться применять фильтры для отбора необходимых...
Лабораторная работа №1 iconЛабораторная работа №1 по рцб: «Практические основы Интернет-трейдинга»

Лабораторная работа №1 iconЛабораторная работа №1 «Анализ полной стоимости в логистике» По дисциплине: «Логистика»

Лабораторная работа №1 iconЛабораторная работа №74
Технология получения отверстия в заготовке электроэрозионной (электроискровой) обработкой
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница