Асимптоты графика функции. Определение


Скачать 62.08 Kb.
НазваниеАсимптоты графика функции. Определение
Дата публикации22.05.2013
Размер62.08 Kb.
ТипДокументы
userdocs.ru > Математика > Документы




Асимптоты графика функции.
Определение. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если или .

Примеры. 1. Для функции прямая является вертикальной асимптотой, так как , .

2. Для функции прямая является вертикальной асимптотой, так как , .

3. Для функции прямые являются вертикальными асимптотами, так как , .

Определение. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при , если ().

Теорема. Для того чтобы прямая являлась наклонной асимптотой графика функции при необходимо и достаточно, чтобы

, .

Доказательство. Пусть прямая является наклонной асимптотой графика функции при . Тогда по определению наклонной асимптоты . Рассмотрим

,

.

Обратно, если и , то

, а, следовательно, прямая является наклонной асимптотой графика функции при . Аналогично доказывается теорема при . Теорема доказана.

Примеры. 1. Для функции прямая является вертикальной асимптотой, так как , . Найдём уравнение наклонной асимптоты. Рассмотрим случай . Из доказанной теоремы

, .

Таким образом, для функции прямая является наклонной асимптотой при . Аналогично получаем, что эта же прямая является наклонной асимптотой данной функции и при .
Достаточные условия локальных экстремумов функции.
Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Если или , то точка называется критической точкой функции . Точка называется стационарной точкой функции , если .

Теорема. Все точки локального экстремума находятся во множестве её критических точек.

Доказательство. Пусть функция имеет в точке локальный экстремум. Тогда если , то по теореме Ферма . Следовательно, точка является критической точкой данной функции. Теорема доказана.

Обратное утверждение не верно. Действительно, например, для функции в точке , но точка не является точкой локального экстремума для данной функции.

Вспомним обозначения правой и левой проколотых окрестностей точки .

Теорема (1-е достаточное условие локального экстремума функции). Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки (), дифференцируема в проколотой окрестности этой точки () и производная функции в и в сохраняет постоянный знак. Тогда если

а) , а , то функция имеет в точке строгий локальный минимум;

б) , а , то функция имеет в точке строгий локальный максимум;

в) или , то функция не имеет в точке локальный экстремум.

Доказательство. Докажем пункт а). Пункты б) и в) доказываются аналогично.

Пусть . Тогда по условию теоремы , и по теореме Лагранжа . Так как , то , откуда .

Пусть . Тогда по теореме Лагранжа . Так как , то , откуда . Таким образом мы получили, что , следовательно, функция имеет в точке строгий локальный минимум. Теорема доказана.

Теорема (2-е достаточное условие локального экстремума функции). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и , . Тогда если

1) и

а) , то функция имеет в точке строгий локальный минимум;

б) , то функция имеет в точке строгий локальный максимум;

2) , то функция не имеет в точке локальный экстремум.

Доказательство. Так как , , то по формуле Тейлора в имеет место равенство

.

Запишем данное равенство в виде . Обозначим . Так как ,то по лемме о сохранении знака (функция имеет такой же знак, что и ). Тогда если

1) и

а) , то в , т.е. , а, следовательно, функция имеет в точке строгий локальный минимум;

б) , то в , т.е. , а, следовательно, функция имеет в точке строгий локальный максимум;

2) , то в и в , т.е. имеет разные знаки в и в , следовательно, функция не имеет в точке локальный экстремум. Теорема доказана.

Следствие. При получаем, что если , а , то функция имеет в точке строгий локальный минимум; если , а , то функция имеет в точке строгий локальный максимум.

Пример. Найдём экстремумы функции . Сначала найдём критические точки данной функции.

.

Критические точки .

.

Так как , то, пользуясь следствием второго достаточного условия локального экстремума, заключаем, что данная функция имеет в точке локальный минимум. Так как , то данная функция имеет в точке локальный максимум.
Точки перегиба функции.

Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки (). Напомним, что уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид .

Определение. Функция называется выпуклой вверх (вогнутой) в точке , если

. (1)

Неравенство (1) можно записать в виде . Таким образом, функция выпукла вверх (вогнута) в точке , если график функции расположен ниже касательной в точке .

Примеры. Функции выпуклы вверх в любой точке своей области определения.

Определение. Функция называется выпуклой вниз (выпуклой) в точке , если

. (2)

Неравенство (2) можно записать в виде . Таким образом, функция выпукла вниз (выпукла) в точке , если график функции расположен выше касательной в точке .

Примеры. Функции выпуклы вниз в любой точке числовой оси.

Определение. Функция называется выпуклой вверх (вниз) на промежутке, если она выпукла вверх (вниз) в любой точке этого промежутка.

Определение. Пусть функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки (). Точка называется точкой перегиба функции , если на множестве функция выпукла вверх, а на множестве функция выпукла вниз, или, наоборот, если на множестве функция выпукла вниз, а на множестве функция выпукла вверх (т.е. при переходе через точку перегиба функции меняется направление выпуклости графика).

Похожие:

Асимптоты графика функции. Определение iconИнструкция для построения графика тригонометрической функции y=sin(X). Название функции
Синусоида представляет собой график функции y=sin(X). Синус – ограниченная периодическая функция. Перед построением графика необходимо...
Асимптоты графика функции. Определение iconМатематический анализ
Понятие функции. Определение предела функции. Левосторонний и правосторонний пределы
Асимптоты графика функции. Определение iconПоложение о проведении художественной выставки «deadline человечества»
Техники исполнения: Станковая живопись, уникальная графика, печатная графика, декоративное искусство, фотоискусство
Асимптоты графика функции. Определение icon15. Дайте определение предела функции в точке. Найдите, исходя из определения,   Определение
Определение: Пусть ф-я определена в некоторой проколотой окрестности точки . Пределом ф-и y = f(X) в точке  (или при ) называют...
Асимптоты графика функции. Определение icon4) Язык (определение, структура, функции). Определение
Природа и сущность языка: социальное явление, возникшее и развивающееся в силу потребности людей в общении, психическое явление,...
Асимптоты графика функции. Определение iconОпределение. Пусть предельная точка множества,. Функции f и g называются эквивалентными
Определение. Пусть предельная точка множества. Функции f и g называются эквивалентными при (), если
Асимптоты графика функции. Определение iconПеречень экзаменационных вопросов
Склады: определение и виды, функции складов и краткая характеристика складских операций
Асимптоты графика функции. Определение iconТеоретические вопросы
...
Асимптоты графика функции. Определение iconВопрос Дайте определение розничной и оптовой торговли. Перечислите...
Вопрос Дайте определение розничной и оптовой торговли. Перечислите основные функции торговли. Рассмотрите задачи розничной и оптовой...
Асимптоты графика функции. Определение iconПервая и вторая теоремы Больцано-Коши
Определение производной. Ее механический и геометрический смысл Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница