Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр)


НазваниеМетодические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр)
страница2/6
Дата публикации07.03.2013
Размер1.2 Mb.
ТипМетодические указания
userdocs.ru > Математика > Методические указания
1   2   3   4   5   6
^

Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ


§1.1. Матрицы и определители
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Матрица записывается в виде:



или сокращенно как А=(aij), где i=1,2,…,m; i=1,2,…,n.

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором или вектором-столбцом, вектором-строкой соответственно.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов и равно n, называется квадратной матрицей n-го порядка.

Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали (т.е. с индексами ij) равны нулю.

Единичной называется диагональная матрица с единицами на главной диагонали (обозначается Е).

Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю.

Примеры матриц: а) квадратная; б) диагональная; в) единичная; г) нулевая:

а) ; б) ; в) ; г) .

Каждой квадратной матрицей n-го порядка можно поставить в соответствие число Δ(detA), называемое ее определителем.

При n=1 А=(а1); Δ=detA=а1.

При n=2 ; Δ=a11a22-a12a22.

При n=3 ;

Δ= =a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13-a13a22a31-a21a12a33-

-a32a23a11.

Для вычисления определителей второго и третьего порядков можно пользоваться следующими схемами:

при n=2;

при n=3.

Основные свойства определителей:

  1. Значение определителя не изменяется, если заменить его строки столбцами и наоборот.

  2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

  3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

  4. Общий множитель элементов какого-либо ряда можно вынести за знак определителя в качестве сомножителя.

  5. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число.


^ Минором некоторого элемента aij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент аij. Обозначается минор как Мij.

Алгебраическим дополнением элемента aij называется минор Мij, умноженный на (-1)i+j, т.е. Аij =(-1)i+jMij.

Определитель любого порядка можно представить как сумму произведений элементов какого-либо ряда определителя на соответствующие им алгебраические дополнения.
_________________
1.1.1. Вычислить определители:

а) ; б) ; в) .

Ответ: а) 26; б) 7; в) 1.

      1. При каких значениях а обращается в ноль определитель Δ= ?

Ответ: ±2

      1. Вычислить определитель по правилу треугольников

а) .

Ответ: а) 47; б)0 .

      1. При каких значениях а обращается в ноль определитель

?

Ответ: (1;-2)

      1. Вычислить определитель путем разложения по элементам 3-го столбца

.

Ответ: (-48).

      1. Вычислить определитель с помощью разложения по элементам второй строки

.

Ответ: (-15).

      1. Вычислить определители

а)

Ответ: а) 0, б) 28.

      1. Вычислить определители



Ответ: а) -38; б) 27; в) -1; г) 2а; д) sin2-sin2.

      1. Вычислить определитель с помощью разложения по элементам какого-либо ряда и проверить по правилу треугольников



Ответ: а) 73; б) 23.

      1. Упростить и вычислить определители:



Ответ: а) -156; б) 0.

      1. Решить уравнение

.

Ответ: (2;3).
§1.2. Системы m линейных алгебраических уравнений

с m неизвестными
Система m линейных уравнений с m неизвестными имеет вид:

.

Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных

,

называется главным определителем системы.

Если Δ≠0, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено по правилу Крамера:

, где i=1,2,…, m.

Определители Δxi получаются из главного определителя системы путем замещения элементов i-го столбца столбцом свободных членов.

Пример. Решить систему уравнений

. (1)


Другим способом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса или метод исключения, который состоит из двух этапов. На первом этапе путем линейных преобразований уравнений системы заданная система приводится к ступенчатому, в частности, треугольному виду; на втором этапе определяются значения неизвестных. В качестве примера решим систему (1) методом Гаусса.

Разделим все члены первого уравнения системы (1) на коэффициент а11=2. Получим систему

. (2)

Умножим все члены первого уравнения на 3 и вычтем их из второго уравнения, затем из третьего уравнения вычтем первое, само первое уравнение системы (2) оставим без изменения. Тогда будем иметь

. (3)

Разделим все члены второго уравнения на 0,5:

. (4)

Умножим второе уравнение на -0,5 и вычтем его из третьего, при этом первое и второе уравнения системы (4) оставим без изменения

. (5)

На этом завершен так называемый прямой ход метода Гаусса. Неизвестные находятся в обратной последовательности. Из последнего уравнения находим х3=3, из второго следует х2, из первого х1=0,5-0,52+0,53=1.

Замечания. Следует иметь в виду, что если главный определитель системы Δ≠0, то система имеет единственное решение. Если Δ=0, но хотя бы один из определителей Δхi ≠0, то система не имеет решений. Если Δ=0 и все определители Δхi =0, то система имеет бесчисленное множество решений.

______________
1.2.1. Решить системы уравнений по правилу Крамера:

а) ; б) ; в) .

Ответ: а) (0;2); б) (5;6;10); в) (-1;0;1).
1.2.2. Решить систему уравнений двумя способами: по правилу Крамера и методом Гаусса.

.

Ответ: (2;-1;-3).
1.2.3. Решить системы уравнений методом Гаусса

а) ; б) ;

в) .

Ответ: а) решений нет; б) решений бесконечное множество;

в) (1;-1;2;3).

____________
1.2.4. Решить системы уравнений по правилу Крамера

а) ; б) .

Ответ: а) (5;-4); б) (2;-5;3).
1.2.5. Решить систему уравнений двумя способами

.

Ответ: (2;1;3).
1.2.6. Решить систему методом Гаусса

.

Ответ: (3;-4;-1;1).
1.3. Операции над матрицами
Суммой матриц А = (aij) и В = (bij) одинакового размера называется матрица С = (сij) того же размера, причем сij= aij + bij, i,j.

Свойства операции сложения матриц
Для любых матриц А, В и С одного размера выполняются равенства:

  1. А+В=В+А (коммутативность);

  2. (А+В)+С=А+(В+С)=А+В+С (ассоциативность).

Произведением матрицы А = (aij) на число  называется матрица В = (bij) того же размера, что и матрица А, причем bij= aij, i,j.
Свойства операции умножения матрицы на число


  1. (А)=()А (ассоциативность).

  2. (А+В)=А+В (дистрибутивность относительно сложения матриц).

  3. (+)А=А+А (дистрибутивность относительно сложения чисел).

Произведением АВ матриц А и В (размеров mn и nr соответственно) называется матрица С размера mr, такая, что сij= ai1 b1j+ a12 b2j+…+ aik bkj+…+ ain bnj= .

Таким образом, каждый элемент сij, находящийся в i-й строке и j-м столбце матрицы С, равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В.

Получение элемента сij схематично изображается так



j

Произведение АВ существует, только если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Свойства операции умножения матриц


  1. (АВ)С=А(ВС)=АВС (ассоциативность).

  2. (А+В)С=АС+ВС (дистрибутивность).

  3. А(В+С)=АВ+АС (дистрибутивность).

  4. АВВА (отсутствует коммутативность).

Коммутирующими (или перестановочными) называются матрицы А и В, для которых АВ=ВА.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к данной (обозначается АТ).

_________________
1.3.1. Найти линейные комбинации заданных матриц:

а) А-Е, ;

б) 4А-5В, .

1.3.2. Найти произведения матриц АВ и ВА (если они существуют):

а) ; б) А=(4 0 -2 3 1), ;

в) .

1.3.3. Проверить, коммутируют ли матрицы:

а) ;

б) .

1.3.4. Найти произведения матриц ААТ и АТА:

а) б) А=(1 2 3 4); в) .

1.3.5. Найти линейные комбинации матриц:

а) 5А-3В+2С, ;

б) А-Е, .

1.3.6. Найти произведения АВ и ВА (если это возможно):

а) ; б) .

1.3.7. Найти произведения ААТ и АТА:

а) б) .

________________________

Ответы:


      1. а) ; б) .

      2. а)

б) АВ=(31);

в) АВ не существует, .

      1. а) да; б) нет.

      2. а) ;

б) ААТ=(30); ;

в) ; .

      1. а) б) .

      2. а) , ВА – не существует;

б) ; .

      1. а) ;

б) .
^ 1.4. Обратная матрица.

Матричные уравнения и системы линейных уравнений
Обратной матрицей к квадратной матрице А называется такая матрица (обозначается А-1), что А-1А=А А-1=Е.

Замечание. Если матрица А-1 существует, то она единственна.

Минором Мij к элементу аij квадратной матрицы А называется определитель, вычисленный из элементов матрицы А, оставшихся после вычеркивания i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением Аij к элементу аij квадратной матрицы А=(aij) называется произведение Аij=(-1)i+jMij.

Присоединенной матрицей к квадратной матрице А=(aij) называется матрица , составленная из алгебраических дополнений Аij к элементам aij матрицы А.

Теорема. Если квадратная матрица А – невырожденная (т.е. detA0), то

. (*)

Метод присоединенной матрицы вычисления обратной матрицы к невырожденной матрице ^ А состоит в применении формулы (*).

Матричные уравнения простейшего вида с неизвестной матрицей Х записываются следующим образом:

АХ=В, ХА=В, АХС=В.

В этих уравнениях А,В,С,Х – матрицы таких размеров, что все используемые операции умножения возможны, и с обеих сторон от знака равенства стоят матрицы одинаковых размеров.

Если в этих уравнениях матрицы А и С невырожденные, то их решения записываются следующим образом:

а) для уравнения АХ=ВХ=А-1В;

б) для уравнения ХА=ВХ=ВА-1;

в) для уравнения АХС=ВХ=А-1ВС-1.
Решение систем линейных уравнений

с помощью обратной матрицы
Пусть система из n линейных уравнений с n неизвестными записана в матричной форме:

АХ=В,

где А=(aij) – матрица коэффициентов системы размера nn,

- столбец неизвестных,

- столбец свободных членов.

Если определитель матрицы ^ А не равен нулю, то система совместна и определена, и ее решение задается формулой:

Х=А-1В.

____________________

      1. Найти матрицу, обратную к данной: а) ; б) ;

в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .

      1. Решить матричные уравнения: а) ;

б) ; в) ; г)

д) .

      1. Решить системы уравнений, используя обратную матрицу: а) ; б) ; в) .

      2. Решить матричные уравнения:

а) ; б) .

1.4.5. Решить систему уравнений:

.

____________________

Ответы:
1.4.1. а) ; б) ; в) ; г) ; д) А-1 – не существует;

е) ; ж) .

1.4.2. а) ; б) ; в) Х – не существует; г) ;

д) .

1.4.3. а) (-2;2;1); б) (1;2;-3); в) невозможно решить.

1.4.4. а) ; б) .

1.4.5. (2;-3;2).
^ 1.5. Собственные числа и собственные векторы матрицы
Ненулевой вектор х называется собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному числу , если

Ах=х.

Вместо слов «собственное число» говорят также собственное значение, характеристическое число или характеристическое значение.

Собственными числами матрицы ^ А являются корни уравнения |A-E|=0, называемого характеристическим уравнением матрицы А.

Собственные векторы находим для каждого собственного значения i, как ненулевое решение однородной системы линейных уравнений (А-iЕ)Х=0.

_____________________
1.5.1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы:

а) ; б) ; в) .
Ответы:

1.5.1. а) 1=4, 2=9, х1= , х2= ; б) 1=0, 2=25, х1= , х2= ; в) 1=2, 2=3, 3=6, .

1   2   3   4   5   6

Похожие:

Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания к изучению дисциплины, планы семинарских занятий,...
Нятий, методические рекомендации по подготовке к семинарскому занятию, выполнению самостоятельной работы и зачёту для студентов 1-го...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания по выполнению практических занятий для студентов...
Теория электрических цепей: Методические указания по выполнению практических занятий / В. Р. Комельков. Екатеринбург: Уртиси гоу...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания к семинарским занятиям для студентов 4 курса...
Английский язык [Текст] + [Электронный ресурс]: методические указания к семинарским занятиям для студентов 4 курса очной формы обучения...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconУчебный курс «Психология и педагогика»
Психология и педагогика: методические указания к семинарским и практическим занятиям для студентов технических специальностей очной...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания по выполнению контрольной работы для студентов...
Методические указания предназначены для студентов фармацевтических вузов заочной формы обучения
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания по организации самостоятельной работы и аудиторных...
Методические указания предназначены для студентов первого курса, обучающихся на специальности 141403. 65 «Атомные станции: проектирование,...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания к выполнению практических занятий для студентов...
Методические указания к выполнению практических занятий для студентов всех форм обучения специальности 080105 – «Финансы и кредит»...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания к выполнению практических занятий для студентов...
Методические указания к выполнению практических занятий для студентов всех форм обучения специальности 080105 – «Финансы и кредит»...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconРасписание учебных занятий студентов 4 курса очной формы обучения...

Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconРасписание учебных занятий студентов 4 курса очной формы обучения...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница